九年级数学上思维特训(十四)含答案：反比例函数的综合应用

思维特训(十四)　反比例函数的综合应用
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与反比例函数图象有关的探索问题主要体现在两个方面，一是探索存在性，二是探究图形的形状及数量关系等．解决有关问题需要把反比例函数的图象及图形的性质等综合在一起，还有要注意一些数学思想的灵活应用．
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类型一　存在性问题
1．如图14－S－1，一次函数y＝k1x＋b(k1≠0)与反比例函数y＝(k2≠0)的图象相交于点A(－1，2)，B(m，－1)．
(1)求这两个函数的表达式．
(2)在x轴上是否存在点P(n，0)(n＞0)，使△ABP为等腰三角形？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
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图14－S－1
2．如图14－S－2，一次函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC.
(1)若点C在反比例函数y＝的图象上，求该反比例函数的表达式．
(2)点P(2，m)在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中的反比例函数图象上？如果在，求出P点的坐标；如果不在，请加以说明．
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图14－S－2
3．2017·牡丹江 已知：如图14－S－3，直线y＝x＋b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x2－7x－8＝0的一个根，请解答下列问题：
(1)求点B的坐标．
(2)双曲线y＝(k≠0，x＞0)与直线AB交于点C，且AC＝5，求k的值．
(3)在(2)的条件下，点E在线段AB上，AE＝，直线l⊥y轴，垂足为P(0，7)，点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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图14－S－3
类型二　探索关系问题
4．如图14－S－4，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(x＞0)的图象与直线y＝x－2相交于点A(3，m)．
(1)求k，m的值．
(2)已知点P(n，n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x－2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝(x＞0)的图象于点N.
①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
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图14－S－4
5．2017·德州 有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y＝x与y＝(k≠0)的图象的性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y＝x与y＝，当k＞0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：
(1)如图14－S－5所示，设函数y＝x与y＝(k≠0)图象的交点为A，B，已知点A的坐标为(－k，－1)，则点B的坐标为________；
(2)若P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PM＝PN.
证明过程如下：设P(m，)，直线PA的函数表达式为y＝ax＋b(a≠0)．
则解得
∴直线PA的函数表达式为________．
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为(1，k)(k≠1)时，判断△PAB的形状，并用含k的式子表示出△PAB的面积．
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图14－S－5

详解详析
1．解：(1)把A(－1，2)代入y＝，得到k2＝－2，
∴反比例函数的表达式为y＝－.
∵点B(m，－1)在反比例函数y＝－的图象上，
∴m＝2，由题意得点A(－1，2)，B(2，－1)在一次函数y＝k1x＋b的图象上，∴
解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋1.
(2)∵A(－1，2)，B(2，－1)，∴AB＝3.
当PA＝PB时，(n＋1)2＋22＝(n－2)2＋1，
∴n＝0.∵n＞0，∴n＝0不合题意，舍去；
当AP＝AB时，22＋(n＋1)2＝(3)2.
∵n＞0，∴n＝－1＋；
③当BP＝BA时，12＋(n－2)2＝(3)2.
∵n＞0，∴n＝2＋.
综上所述，n＝－1＋或2＋.
2．解：(1)在y＝－x＋1中，令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝1，∴A(，0)，B(0，1)，
∴∠BAO＝30°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，
∴∠CAO＝90°.
在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB＝2，
∴AC＝2，∴C(，2)．
∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×＝2，∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)∵点P(2，m)在第一象限，∴AD＝OD－OA＝2－＝，PD＝m.
当△ADP∽△AOB时，则有＝，即＝，解得m＝1，此时P点坐标为(2，1)；
当△PDA∽△AOB时，则有＝，
即＝，解得m＝3，
此时P点坐标为(2，3)．
把P(2，3)代入y＝可得3≠，∴点P(2，3)不在反比例函数图象上；
把P(2，1)代入y＝可得1＝，∴点P(2，1)在反比例函数图象上．
综上可知，P点坐标为(2，1)．
3．解：(1)解方程x2－7x－8＝0得x＝8或x＝－1.
∵线段OA的长是方程x2－7x－8＝0的一个根，∴OA＝8，∴A(－8，0)．
将A(－8，0)代入y＝x＋b，得－4＋b＝0，
∴b＝4，∴B(0，4)．
(2)在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝4，∴AB＝4.
如图①，过点C作CH⊥x轴于点H，
则CH∥OB，∴△AOB∽△AHC，
∴＝＝，即＝＝，
解得CH＝5，AH＝10，
∴OH＝10－8＝2，∴C(2，5)．
∵双曲线y＝(k≠0，x＞0)经过点C，
∴k＝2×5＝10.
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(3)存在，分两种情况：
①当CE为以点C，E，M，N为顶点的矩形的一边时，过点E作EG⊥x轴于点G，作EM⊥AC交直线l于点M，如图②所示，∴EG∥OB，
∴△AGE∽△AOB，
∴＝＝＝＝，
∴EG＝OB＝1，AG＝AO＝2，
∴OG＝8－2＝6，∴E(－6，1)．
∵EM⊥AC，∴设直线EM的函数表达式为y＝－2x＋c，把E(－6，1)代入，得12＋c＝1，
解得c＝－11，∴直线EM的函数表达式为y＝－2x－11，当y＝7时，7＝－2x－11，∴x＝－9，
∴M(－9，7)．
∵C(2，5)，∴点N的坐标为(－1，11)；
当CE为以点C，E，M，N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为(－7，3)；
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②当CE为以点C，E，M，N为顶点的矩形的对角线时，分别过点E，C作EG⊥l于点G，CH⊥l于点H，如图③所示，则∠EGM＝∠MHC＝90°，EG＝7－1＝6，CH＝7－5＝2.
∵四边形EMCN是矩形，∴∠EMC＝90°，由角的互余关系得∠GEM＝∠HMC，
∴△EGM∽△MHC，∴＝，
∴GM·MH＝CH·EG＝2×6＝12.
又∵GM＋MH＝6＋2＝8，∴GM＝2，MH＝6，
∴点M的坐标为(－4，7)．
∵E(－6，1)，C(2，5)，∴N(0，－1)；
当CE为以点C，E，M，N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为(－4，－1)．
综上所述，存在点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为(－1，11)或(－7，3)或
(－4，－1)或(0，－1)．
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4．解：(1)将A(3，m)代入y＝x－2，得m＝3－2＝1，∴A(3，1)．将A(3，1)代入y＝，得k＝3×1＝3.
(2)①PM＝PN.理由：当n＝1时，P(1，1)，把y＝1代入y＝x－2，得x－2＝1，∴x＝3，∴M(3，1)，∴PM＝2.把x＝1代入y＝，得y＝3，
∴N(1，3)，∴PN＝2，∴PM＝PN.
②P(n，n)，点P在直线y＝x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x－2于点M，
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M(n＋2，n)，∴PM＝2.同理可得PN＝|－n|.∵PN≥PM，即PN≥2，即|3－n2|≥2n，
即或
解得0＜n≤1或n≥3.
5．解：(1)由正、反比例函数图象的对称性可知，点A，B关于原点O对称，
∵点A的坐标为(－k，－1)，
∴点B的坐标为(k，1)．
(2)①证明过程如下，设P(m，)，直线PA的函数表达式为y＝ax＋b(a≠0)．
则解得
∴直线PA的函数表达式为y＝x＋－1.
当y＝0时，x＝m－k，
∴点M的坐标为(m－k，0)．
过点P作PH⊥x轴于点H，如图①所示，∵点P的坐标为(m，)，∴点H的坐标为(m，0)，
∴MH＝xH－xM＝m－(m－k)＝k.同理可得HN＝k，∴PM＝PN.
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②由①可知，在△PMN中，PM＝PN，∴△PMN为等腰三角形，且MH＝HN＝k.
当P点坐标为(1，k)时，PH＝k，∴MH＝HN＝PH，∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°，∴△PAB为直角三角形．
当k＞1时，如图①，S△PAB＝S△PMN－S△OBN＋S△OAM＝MN·PH－ON·yB＋OM·|yA|＝×2k×k－(k＋1)×1＋(k－1)×1＝k2－1；
当0＜k＜1时，如图②，S△PAB＝S△OBN－S△PMN＋S△OAM＝ON·yB－k2＋OM·|yA|＝(k＋1)×1－k2＋ (1－k)×1＝1－k2.