九年级数学上思维特训(十三)：反比例函数图象的几何性质应用 (2)

思维特训(十三)　反比例函数图象的几何性质应用
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反比例函数图象与图形的面积相结合的题目是中考命题的热点，这类问题通常涉及两个方面：一是根据反比例函数图象上点的坐标并结合图形的性质求图形的面积，解决这类问题的基本思路是借助点的坐标表示线段的长度，并将一般转化为特殊，注意反比例函数图象中k的几何意义的应用；二是已知图形的面积求反比例函数y＝中的k值，解决这类问题的基本思路是根据面积求图象上点的坐标．
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类型一　求图形的面积
1．如图13－S－1，点E，F在反比例函数y＝的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE∶BF＝1∶3，则△OEF的面积是________．
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图13－S－1
　　　
2．如图13－S－2，点C，D在双曲线y＝(x＞0)上，点A，B在x轴上，且OA＝AB，CO＝CA，DA＝DB，则S△OCA＋S△ADB＝________．
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图13－S－2
3．2017·恩施州 如图13－S－3，∠AOB＝90°，反比例函数y＝－(x＜0)的图象过点A(－1，a)，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象过点B，且AB∥x轴．
(1)求a和k的值；
(2)过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y＝于另一点C，求△OBC的面积．
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图13－S－3
4．如图13－S－4，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB⊥x轴，垂足为Q，已知∠ACB＝60°，点A，C，P均在反比例函数y＝的图象上，作PF⊥x轴于点F，AD⊥y轴于点D，延长DA，FP交于点E，且P为EF的中点．
(1)求点B的坐标；
(2)求四边形AOPE的面积．
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图13－S－4
类型二　求y＝中的k值
5．如图13－S－5，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF＝4，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点E，则k＝________．
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图13－S－5
6．如图13－S－6，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD＝30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A，B′和B分别是对应点)．若AB＝1，反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好经过点A′，B，则k的值为________．
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图13－S－6
7．如图13－S－8，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为(4，2)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点F的坐标．
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图13－S－8
8．(1)如图13－S－7①，过反比例函数y＝(x＞0)图象上任意一点P(x，y)，分别向x轴、y轴作垂线，垂线段分别为PA，PB，求证：S矩形OAPB＝k，S△OAP＝k，S△OPB＝k；
(2)如图13－S－7②，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB，BC交于点D，E，若四边形ODBE的面积为9，求k的值．
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图13－S－7

详解详析
1.　[解析] 作EP⊥y轴于点P，EC⊥x轴于点C，FD⊥x轴于点D，FH⊥y轴于点H，如图所示：
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∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，∴EP∥FH，∴△BPE∽△BHF，∴＝＝，即HF＝3PE.
设E点的坐标为(t，)，则F点的坐标为(3t，)．
∵S△OEF＋S△OFD＝S△OEC＋S梯形ECDF，而S△OFD＝S△OEC＝×2＝1，
∴S△OEF＝S梯形ECDF＝(＋)(3t－t)＝.
2．4　[解析] 作CM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，连接OD，如图，
∵CO＝CA，DA＝DB，
∴OM＝AM＝OA，AN＝BN＝AB，
∴S△MOC＝S△MAC，S△NAD＝S△NBD.
∵点C，D在双曲线y＝(x＞0)上，∴S△MOC＝S△NOD＝×3＝1.5.
又∵OA＝AB，
∴S△NAD＝S△OAD＝S△NOD＝0.5，
∴S△OCA＋S△ADB＝2S△MOC＋2S△NAD＝2×1.5＋2×0.5＝4.
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3．解：(1)∵反比例函数y＝－(x＜0)的图象过点A(－1，a)，∴a＝－＝2，∴A(－1，2)．
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∴AE＝2，OE＝1.
∵AB∥x轴，∴BF＝2.
∵∠AOB＝90°，∴∠EAO＋∠AOE＝∠AOE＋∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，
∴△AEO∽△OFB，∴＝，∴OF＝4，
∴B(4，2)，∴k＝4×2＝8.
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(2)∵直线OA过点A(－1，2)，∴直线OA的函数表达式为y＝－2x.
∵MN∥OA，∴设直线MN的函数表达式为y＝－2x＋b，∴2＝－2×4＋b，∴b＝10，
∴直线MN的函数表达式为y＝－2x＋10.
∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，
∴M(5，0)，N(0，10)，
解得或∴C(1，8)，
∴S△OBC＝S△OMN－S△OCN－S△OBM＝×5×10－×10×1－×5×2＝15.
4．解：(1)∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴AD·AQ＝4 .
又∵∠ACB＝60°，∴BC∶BA＝AD∶AQ＝1∶.
设AD＝x，则AQ＝x，∴x·x＝4，
解得x＝2(x＝－2不合题意，舍去)，
∴点A的坐标为(2，2 )，
∴点B的坐标为(2，－2 )．
(2)∵点A的坐标为(2，2 )，∴AQ＝EF＝2 .
∵P为EF的中点，∴PF＝.
∵点P在函数y＝的图象上，
∴点P的坐标为(4，)，即OF＝4，
∴S矩形ODEF＝4×2 ＝8 ，
∴S四边形AOPE＝S矩形ODEF－S△OAD－S△OPF＝8 －2 －2 ＝4 .
5．8　[解析] 设正方形ABOC和正方形DOFE的边长分别是m，n，则AB＝OB＝m，DE＝EF＝OF＝n，∴BF＝OB＋OF＝m＋n，∴S△ADF＝S梯形ABOD＋S△DOF－S△ABF＝m(m＋n)＋n2－m(m＋n)＝n2＝4，∴n2＝8.
∵点E(n，n)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴k＝n2＝8.
6.　[解析] ∵四边形OABC是矩形，AB＝1，∴设B(m，1)，∴OA＝BC＝m.
∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，∴OA′＝OA＝m，∠A′OD＝∠AOD＝30°，∴∠A′OA＝60°.过点A′作A′E⊥OA于点E，∴OE＝m，A′E＝m，∴A′(m，m)．
∵反比例函数y＝(k≠0)的图象恰好经过点A′，B，∴m·m＝m，∴m＝，∴k＝.
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7．解：(1)把A(4，2)代入y＝，得2＝，
解得k＝8，∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)如图，分别过点A，C，F作AE⊥x轴于点E，CG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H，
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∵四边形OBCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝BC.
∵AE⊥x轴，CG⊥x轴，∴AE∥CG，
∴△AOE∽△COG，∴＝＝＝，
∴CG＝2AE＝4，OG＝2OE＝8.
设BC＝x，则BG＝8－x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得BC 2－BG2＝CG2，即x2－(8－x)2＝42，
解得x＝5，∴OB＝BC＝5，BG＝3.
设点F的横坐标为m，则点F的纵坐标为，
∵FH⊥x轴，CG⊥x轴，∴FH∥CG，
∴△BFH∽△BCG，∴＝，
即＝，解得m1＝6，m2＝－1(舍去)，
∴＝，∴点F的坐标为(6，)．
8．解：(1)∵点P(x，y)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴xy＝k.
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，∴四边形OAPB是矩形，∴PB＝OA＝x，OB＝PA＝y，
∴S矩形OAPB＝OA·OB＝xy＝k，S△OAP＝OA·PA＝xy＝k，S△OPB＝OB·PB＝xy＝k.
(2)如图，由题意得点E，M，D都位于反比例函数y＝的图象上，则S△OCE＝，S△OAD＝.
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG＝|k|.
又∵M为矩形OABC对角线的交点，
∴S矩形OABC＝4S?ONMG＝4|k|.
∵反比例函数y＝的图象在第一象限，k＞0，
∴＋＋9＝4k，解得k＝3.
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