高二第一单元正弦定理余弦定理测试-含答案解析

高二第一单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且，，则　　
A. B. C. D. 2
在锐角中，，，则BC的取值范围为　　
A. B. C. D.
在中，，，，那么满足条件的? ???
A. 有一个解 B. 有两个解 C. 无解 D. 不能确定
在中，若，，，则B等于　　
A. B. C. D.
在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，且，则角C的值为　　
A. B. C. D.
符合下列条件的三角形有且只有一个的是　　
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，
在中，，若，则面积的最大值为　　
A. B. C. D.
在中，若，则这个三角形的最大内角为　　
A. B. C. D.
如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧选定一点C，测出AC的距离为50m，，，则A，B两点的距离为　　


A. ?m B. 50?m C. 25?m D. ?m
在中，已知，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是　　
A. B. C. D.
在中，若，，且，则AC等于　　
A. B. 4 C. D.
若，则是　　
A. 等边三角形 B. 直角三角形，且有一个角是
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形，且有一个角是
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度单位：：，，，，且与互补，则AC的长为______ km．

在中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量，，若向量，则角C?的大小为______ ．
在中，如果，，，则的面积为______ ．
中，已知，，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
已知在中，A，B，C为其内角，若，判断三角形的形状．







设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的最大值．







在中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，
求B大小；
若，，求b的值．







如图，在中，，，角平分线，求此三角形面积．













已知中，，求；若的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．







已知，中a，b，c分别是A，B，C的对边，关于x的方程的解集为空集．
求角C的最大值；
若，，求当C最大时的值．








答案和解析
【答案】
1. C 2. B 3. C 4. C 5. C 6. D 7. C
8. A 9. A 10. A 11. D 12. C
13. 7??
14. ??
15. ??
16. ??
17. 解：在中，，
，
，
．
故为等腰三角形．??
18. 解：Ⅰ在中，，
由正弦定理得

即，
则；
Ⅱ由得


当且仅当时，等号成立，
故当时，
的最大值为．??
19. 解：，
根据正弦定理，得．
是三角形内角，，
．
，，或；
由，，
，解得：．
再由，得
当时，，；
当时，，．??
20. 解：设，是的角平分线，．
设，则．
在与中，分别利用余弦定理可得：
，．
．
解得．
，．
．
此三角形面积．??
21. 解：由，得，
，，．
又，．

，
当，即时，．??
22. 解：不等式的解集是空集，
，即，
整理得：，
解得：，
，
则角C的最大值为；
当时，，
，
由余弦定理得，
，，，
，
．??
【解析】
1. 解：、B、C依次成等差数列

由余弦定理得：
得：
由三角形面积公式得：
故选C
先求得角B，再由余弦定理求得边c，然后由正弦定理求得面积．
本题主要考查正余弦定理的应用．
2. 解：锐角中，，
，，解之得，
，且?，
，
，得，
，得
故选：B．
根据三角形为锐角三角形，解不等式得再由正弦定理，得，结合余弦函数的单调性加以计算，即可得到BC的取值范围．
本题给出锐角三角形的一个角是另一角的二倍，求边BC的取值范围，着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
3. 【分析】
本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．
【解答】
解：已知中，，，，
那么由正弦定理可得，
解得，
故B不存在，
故选C．
4. 解：由余弦定理的推论得，，
因为，所以，
故选：C．
由余弦定理的推论，把数据代入求值，根据内角的范围求出角B．
本题考查余弦定理的推论在解三角形中的应用，属于基础题．
5. 解：
，
，
．
又，
，
，
，
．
故选C
把代入余弦定理求得的值，进而求得A，又根据利用正弦定理把边换成角的正弦，根据求得，进而求得，则B可求，最后根据三角形内角和求得C．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，同角三角函数基本关系的应用．
6. 解：A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里，故这样的三角形不存在．
B有2个解，由正弦定理可得，，故B，或．
C无解，由于，，，这与三角形的内角和相矛盾．
D有唯一解，，，，，故有唯一解．
故选D．
本题考查正弦定理的应用，三角形的解的个数判断，根据三角函数的值求角根据三角函数的值求角是解题的难点．
7. 解：，，
，即，当且仅当时取等号，此时．
面积．
故选：C．
利用基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．
本题考查了基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，属于基础题．
8. 解：在中，，
由正弦定理可得：，
不妨取，，．
．
．
故选：A．
利用正弦定理和余弦定理即可得出．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．
9. 解：在中，，

由正弦定理可得：

故选：A．
先利用三角形的内角和求出，再利用正弦定理，即可得出结论．
本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，求三角形的边，属于中档题．
10. 解：在中，，，，
由正弦定理得：，
，
，
要使三角形有两解，得到，即，
，
解得：，
故选：A．
利用正弦定理列出关系式，将a，b，的值代入表示出，根据B的度数确定出A的范围，要使三角形有两解确定出A的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可．
此题考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
11. 解：，
，
根据余弦定理，
，
，
故选：D．
利用余弦定理和向量的数量积代入计算即可．
本题考查了数量积运算、余弦定理的应用，属于基础题．
12. 解：中，由于，且，，，
，，是等腰直角三角形，
故选：C．
由条件利用正弦定理可得，，可得?，，可得是等腰直角三角形．
本题主要考查正弦定理的应用，判断三角形的形状，属于基础题．
13. 7?解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
，
，，
，
．
．
故答案为7．
分别在和中使用余弦定理解出AC，列方程解出，得出AC．
本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．
14. 解：向量，，向量，
，
，
，
又是在三角形中，
．
故答案为：．
根据两个向量，求得三角形三边的关系，利用余弦定理求得角A．
本题是一个解三角形的问题，兼有向量与余弦定理的运算，由于向量兼有代数和几何两个方面的重要特征，解决这类问题时，首先要重视对向量表达式的理解；其次要善于运用向量的坐标运算，解决问题．
15. 解：：在中，如果，故
又，由余弦定理，可得：，
解得，故是等腰三角形，，．
故的面积为，
故答案为．
由在中，由正弦定理求得，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形内角和为，即可求出A角的大小，再由的面积为?运算求得结果．
本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理，求得，是解题的关键，属于中档题．
16. 解：由正弦定理可得：，
，
由三角形中大边对大角可知A为锐角，
可解得：．
故答案为：．
由正弦定理可得：，由三角形中大边对大角可知A为锐角，从而可解得．
本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．

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