新湘教版 数学 八年级上 2.4.1线段的垂直平分线 教学设计
课题
2.4.1线段的垂直平分线
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.理解线段垂直平分线的性质及其推论；
2..能利用线段的垂直平分线的性质及推论进行简单的推理、判断、计算.
重点
线段垂直平分线的性质定理及判定定理.
难点
线段垂直平分线性质定理及推论的实际应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
前面，我们学习了轴对称的相关知识，请同学们回答：
问题1：什么是轴对称图形？
答案：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形.
问题2：什么是对称轴？
答案：折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴.
学生回答老师所提出的问题.
通过回答老师的问题，复习轴对称的知识，为垂直平分线的性质探究作好铺垫。
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA′有什么关系？
答案：我发现
讲解：我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点A与点A′关于直线l 对称，如果沿直线l 折叠:
则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，
即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
归纳：我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
强调：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
探究：
（1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的垂直平分线 MN；
（2）在线段AB的垂直平分线MN上任取一点P, 连接PA，PB，
答案：
（3）测量PA、PB的长度，你有什么发现？
答案：PA=PB
（4）你能证明这个发现吗？
证明：∵直线MN是线段AB 的垂直平分线，
∴点A与点B关于直线MN对称
∴沿直线MN折叠，点A与点B重合.
从而线段PA与线段PB重合
∴ PA= PB.
归纳：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
∵ AO =BO，MN⊥AB，
∴ PA =PB．
思考：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
探讨过程：
有两种情况：
（1）当点P在线段AB上时，
因为PA=PB，
所以点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.
（2）当点P在线段AB外时，如图所示.
符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
例：已知：如图，在△ABC中，AB,BC垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB
同理 OB=OC
∴OA=OC
∴点O在AC的垂直平分线上
追问1：三角形三边的垂直平分线有什么特点呢？
答案：它们交于一点
追问2：这个点与三角形的三个顶点有什么关系呢？
答案：这个点到三角形三个顶点的距离相等.
归纳：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等.
练习： 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
解：∵ DE是AB的垂直平分线
∴ AE=BE
∴ ∠BAE＝∠B＝30°
又∵∠CAE+∠BAE=∠BAC
∴ ∠CAE＝∠BAC-∠BAE
＝80°-30°
＝50°
对比：角的平分线与线段的垂直平分线
角的平分线
线段的垂直平分线
定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
在老师的问题要求下，自已利用轴对称的性质进行猜想，并仔细观察老师的演示，并用语言叙述线段的垂直平分线的概念.
按照老师的要求进行操作，猜想并验证结论，组内交流后与老师共同得出垂直平分线的性质定理及判定定理
认真审题并与同伴交流，完成例题与练习题，并细心听老师的讲评.
学生根据老师的提问回答问题.
认识线段的垂直平分线的概念..
探究线段垂直平分线的性质定理与判定定理
理解并掌握等腰三角形的判定定理.
提高学生应用线段垂直平分线的性质及推论解决实际问题的能力.
对角的平分线和线段的垂直平分线进行对比辨析.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )
A．11 B．10 C．9 D．8
答案：B
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
答案：A
3.如图，△ABC中，AB=9cm,AC＝15cm，BC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，求△ABD的周长.
解：∵ DE是BC的垂直平分线
∴ BD=DC
∴ △ABD的周长
=AB+BD+AD
=AB+DC+AD
=AB+AC
=9+15=24(cm)
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明：∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 AB与CD相交于点O
∴AO=BO.
在师的引导下完成问题.
对所学知识进行整合提高.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？
答案：线段垂直平分线的性质定理、判定定理及尺规作图的方法.
2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？
答案：性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第72页习题2.4A 组第2、3、4题
能力作业
教材第73页习题2.4B 组第6题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
2.4.1线段的垂直平分线
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．为了丰富学生的课余生活,某校举行联欢晚会,在联欢晚会上,有A,B,C三名同学站在一个三角形三个顶点的位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,凳子应放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三边高的交点处 D．三边垂直平分线的交点处
2．如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于点E,若AE=4?cm,则B,E两点之间的距离是（ ）
A．2?m B．3cm C．4cm D．5cm
第2题图 第4题图 第5题图
3．下列说法错误的是（ ）
A．若E,D是线段AB的垂直平分线上的两点,则AD=BD,AE=BE
B．若AD=BD,AE=BE,D,E是不同的两点,则直线DE是线段AB的垂直平分线
C．若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上
D．若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
4．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
5．如图，在四边形ABCD中，点D在线段AB、BC的垂直平分线上，若∠D=110°，则∠B度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．线段是轴对称图形，它的一条对称轴是_____________，线段本身所在的直线也是它的一条对称轴．
7．如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是_____．
8．如图,MP,NQ分别垂直平分AB,AC,且BC=6 cm,则△APQ的周长为__________.
第7题图 第8题图 第9题图
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C=40°，则∠BAE的度数为___________°．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图,在△ABC中,AB=AC,DE是△ABE的对称轴,△BCE的周长为14,BC=6,求AB的长.
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数.
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
试题解析
1．D
【解析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
∴为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，这个点一定是三边的垂线的交点
故选：D．
2．C
【解析】首先连接BE，由DE是线段AB的垂直平分线，即可得BE=AE=4cm.
解：如图所示：连接BE，
∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴BE=AE， ∵AE=4，
∴BE＝4.
故选C.
3．D
【解析】根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，对各选项进行逐个验证，与之相符合的是正确的，反之，是错误的．
解：A选项：∵E是线段AB的垂直平分线上的点，
∴AE=BE．
同理AD=BD．
故A正确，与题意不符； B选项：若AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上．
同理E在AB的垂直平分线上．
∴直线DE是线段AB的垂直平分线．
故B正确； C选项：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，
故C正确，与题意不符； D选项：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定过点P的直线是线段AB的垂直平分线．
故D错误，与题意相符． 故选：D．
4．C
【解析】利用线段垂直平分线的性质知∠E=∠EAC AC=CE，等量代换得AB=CE=AC，利用三角形的外角性质得∠B=∠ACB=2∠E，从而根据三角形的内角和计算．
解：连接AC
∵CM⊥AE
∴∠E=∠EAC AC=CE（线段垂直平分线的性质）
∵AB+BC=BE（已知）
BC+CE=BE
∴AB=CE=AC（等量代换）
∴∠B=∠ACB=2∠E（外角性质）
∵∠B+∠E+105°=180°（三角形内角和）
∴∠B+∠B+105°=180°
解得∠B=50°．
故选C．
5．D
【解析】连接BD，根据线段的垂直平分线性质可得BD=AD，DC=BD，由等腰三角形的性质可得∠A=∠ABD，∠C=∠CBD，即可得∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C，根据四边形的内角和为360°即可求出答案．
解：接BD，
∵点D在线段AB、BC的垂直平分线上，
∴BD=AD，DC=BD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠CBD，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C，
∴∠ABC=（360°﹣∠D）÷2=125°．
故选D．
6．线段的垂直平分线
【解析】线段的对称轴为线段的中垂线．
解：线段是轴对称图形，它的一条对称轴是线段的垂直平分线，线段本身所在的直线也是它的一条对称轴．
7．16
【解析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可求出AE=BE，进而求出△BCE的周长.
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AC=10cm，BC=6cm，
∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10+6=16cm．
故答案为：16
8．6 cm
【解析】由MP、NQ分别垂直平分AB、AC，根据线段垂直平分线的性质，可得BP=AP，CQ=AQ，继而求得△APQ的周长等于BC．
解：∵MP、NQ分别垂直平分AB、AC，
∴BP=AP，CQ=AQ，
∵BC=6cm，
∴△APQ的周长为：AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC=6cm.
故答案为： 6 cm.
9．10
【解析】∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C=40°，
∵在Rt△ABC中,∠B=90°，
∴∠BAC=90°?∠C=50°，
∴∠BAE=∠BAC?∠EAC=10°.
故答案为：10.
10．8
【解析】由DE是△ABE的对称轴，根据轴对称的性质可得AE=BE，再由C△BCE=BC+CE+BE=14，可得BC+AC=14，从而求得AB的长.
解：因为DE是△ABE的对称轴,
所以AE=BE.
所以C△BCE=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14.
因为BC=6,所以AC=8.
所以AB=AC=8.
11．∠B＝36°.
【解析】首先设∠CAE＝x°，由∠CAE：∠DAE＝1：2，可求得∠DAE＝2x°，又由DE是AB的垂直平分线，易求得∠B＝∠DAE＝2x°，然后由在Rt△ABC中，∠C＝90°，即可求得∠B的度数．
解：设∠CAE＝x°，
∵∠CAE：∠DAE＝1：2，
∴∠DAE＝2x°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAE＝2x°，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∴2x＋3x＝90°，
解得：x＝18，
∴∠B＝36°，
故答案为：36°
12．（1）证明见解析；（2）a﹣b+b+b=a+b．
【解析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；
（2）由（1）知：AD=CD=CB=b，由△BCD的周长是a，可得AB=a﹣b，由AB=AC，可得AC=a﹣b，进而得到△ACD的周长=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b．
（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，
∴AB=a﹣b，
∵AB=AC，
∴AC=a﹣b，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b．
课件23张PPT。线段的垂直平分线数学湘教版 八年级上新知导入1、什么是轴对称图形？
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形.
2、什么是对称轴？
折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴. 观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA′有什么关系？新知讲解 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点A与点A′关于直线l 对称，如果沿直线l 折叠:新知讲解则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，
即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.新知讲解我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.NMPOAB●（2）在线段AB的垂直平分线MN上任取一点P, 连接PA，PB，（3）测量PA、PB的长度，你有什么发现？PA=PB（4）你能证明这个发现吗？探究：
（1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的垂直平分线 MN； 新知讲解证明：∵直线MN是线段AB 的垂直平分线，∴沿直线MN折叠，点A与点B重合. ∴点A与点B关于直线MN对称从而线段PA与线段PB重合∴ PA= PB.线段垂直平分线的性质定理：新知讲解NMPOAB●线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．符号语言：∵ AO =BO，MN⊥AB，
∴ PA =PB． 思考：我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？新知讲解有两种情况：（1）当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.（2）当点P在线段AB外时，如图所示.因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即 PC⊥AB，且AC=BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.新知讲解到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：新知讲解符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．新知讲解证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB
同理 OB=OC
∴OA=OC
∴点O在AC的垂直平分线上例：已知：如图，在△ABC中，AB,BC垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.新知讲解证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB
同理 OB=OC
∴OA=OB=OC例：已知：如图，在△ABC中，AB,BC垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.想一想：三角形三边的垂直平分线有什么特点呢？它们交于一点 这个点与三角形的三个顶点有什么关系呢？ 这个点到三角形三个顶点的距离相等.三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等.练习： 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.解：∵ DE是AB的垂直平分线∴ AE=BE∴ ∠BAE＝∠B＝30°又∵∠CAE+∠BAE=∠BAC ∴ ∠CAE＝∠BAC-∠BAE＝80°-30°
＝50°新知讲解新知讲解角的平分线与线段的垂直平分线课堂练习 1.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )
A．11 B．10 C．9 D．8B2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACBA课堂练习课堂练习 3.如图，△ABC中，AB=9cm,AC＝15cm，BC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，求△ABD的周长.解：∵ DE是BC的垂直平分线∴ BD=DC∴ △ABD的周长
=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC =9+15=24(cm) 已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.证明： ∵ AC =BC，AD=BD，∴ CD为线段AB的垂直平分线.又 AB与CD相交于点O∴AO=BO.拓展提高课堂总结1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？线段垂直平分线的性质定理、判定定理.2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.板书设计
课题：2.4.1线段的垂直平分线??
教师板演区?
学生展示区1.线段的垂直平分线
2.线段垂直平分线的性质定理和逆定理基础作业
教材第72页习题2.4A 组第2、3、4题
能力作业
教材第73页习题2.4B 组第6题作业布置
