新湘教版 数学 八年级上 2.4.2作线段的垂直平分线 教学设计
课题
2.4.2作线段的垂直平分线
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.会利用尺规作已知线段的垂直平分线及过一点作已知直线的垂线；
2.能利用线段的垂直平分线的的作法解决相关的实际问题.
重点
线段垂直平分线的作法.
难点
线段垂直平分线的作法的实际应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
前面，我们学习了线段的垂直平分线的相关知识，请同学们回答：
问题1：什么是线段的垂直平分线？
答案：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
问题2：线段的垂直平分线有什么性质？
答案：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
问题3：什么是尺规作图？
答案：用无刻度的直尺和圆规作图，称为尺规作图.
学生回答老师所提出的问题.
通过复习线段的垂直平分线的知识，为垂直平分线作法的理论探究作好铺垫。
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
想一想：如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线
作法：如图所示：
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
追问1：直线CD为什么是线段AB的垂直平分线？
证明：连接CA、CB、DA、DB，
由作图过程可知：
CA＝CB，DA＝DB，
∴直线CD垂直平分线段AB.
（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）
追问2：通过这种作图方法，你还得得到什么结论呢？
归纳：利用线段的垂直平分线的作法，可以确定线段的中点.
思考：结合线段垂直平分线的作法，如何过一点P作已知直线l 的垂线呢？
分析：由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
点P与已知直线l的位置关系有两种：点P在直线l上或点P在直线l外.
解：有两种情况：
则直线CP为所求作的直线.
（2）点P在直线l 外：
作法：①以P 为圆心，以大于点P 到直线l 的距离的线段的长为半径画弧，交直线l 于点A、B；
②分别以A、B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点C；
③过点C、P作直线CP.
则直线CP为所求作的直线.
练习1：如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点即满足条件.
答案；公共汽车站的位置如图所示
练习2：如图，作出△ABC的BC边上的高.
答：线段AD就是所求作的BC边上的高.
仔细观察老师的操作，然后独立进行模仿作图，作图后思考并回答老师所提出的问题..
认真听老师的讲解及作图，然后独立作图.
认真审题并与同伴交流，完成练习题，并细心听老师的讲评.
掌握线段的垂直平分线的作法，并理解用这种方法找线段的中点..
对线段垂直平分线的作法进行深入应用.掌握过一点作已知直线的垂线的作法.
提高学生对线段的垂直平分线的作法的实际应用能力.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）
A．∠A的平分线 B．AC边的中线
C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
答案：D
2．如图，点M、N是线段AB的垂直平分线l上的两点，那么下列错误的是( )
A．AM＝BM B．AN＝BN
C．AO＝BO D．AM＝AN
答案：D
3.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
答案：D
4.如图，已知点A、点B以及直线l. 用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
解：如图所示，点P就是所求作的点.
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
分析：学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
答：如图所示，学校的位置在点O处.
在师的引导下完成问题.
对所学知识进行整合提高
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？
答：线段垂直平分线及垂线的画法.
2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？
答：线段垂直平分线的画法；
线段垂直平分线作法的应用：
（1）作线段的中点；（2）过一点作已知直线的垂线.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第72页习题2.4A 组第5题
能力作业
教材第73页习题2.4B 组第7题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
2.4.2作线段的垂直平分线
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为8，AB=6，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．22 C．14 D．16
第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AD，∠B=20°，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠CAD=40° B．∠ACD=70° C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB=90°
3．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
4．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，则下列结论正确的是（ ）
A．CD+DB=AB B．CD+AD=AB C．CD+AC=AB D．AD+AC=AB
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是_____．
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为________．
8．如图所示，已知线段AB=6，现按照以下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D；
②连结CD交AB于点P．
则线段PB的长为_____．
9．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC=5，CD=2，那么AD=__ ___．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，已知直线l及点A、B，求作⊙O，使得⊙O经过点A、B，且圆心O在直线l上.(保留作图痕迹，不写作法)
11．如图，已知△ABC中，∠B>90°，请用尺规作出AB边的高线CD(请留作图痕迹，不写作法)
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．
试题解析
1．C
2．A
【解析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN＝CN，∠B＝∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD＝AD可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD的度数，进而可得出结论．
解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，
∵∠B＝20°，
∴∠B＝∠BCD＝20°，
∴∠CDA＝20°＋20°＝40°．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD＝12(180°?40°)＝70°，
∴A错误，B正确；
∵CD＝AD，BD＝CD，
∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C正确；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°＋20°＝90°，故D正确．
故选：A．
3．B
【解析】根据作法可知MN是AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.
解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选B．
4．B
【解析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
解：已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
5．B
【解析】作弧后可知MN⊥CB，且CD=DB.
解：由题意性质可知MN是BC的垂直平分线，则MN⊥CB，且CD=DB，则CD+AD=AB.
6．10
【解析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7，
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，
故答案为：10．
7．105°
【解析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．
解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD．
∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°．
∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°．
故答案为：105°．
8．3
【解析】根据作图得出CD是线段AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解：∵分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D，
∴AC=BC，AD=BD，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴PB=12AB=3．
故答案为3．
9．3
【解析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
解: 由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，
∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC?DC=5?2=3.
故答案为：3.
【解析】先作线段AB的垂直平分线交l于点O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆即可．
解：如图，⊙O为所作．
11．作图见解析.
【解析】延长AB，以点C为圆心，大于点C到直线AB的距离的长为半径画弧，交AB的延长线于点M和点N，再作线段MN的垂直平分线CD即可．
解：如图，延长AB，
以点C为圆心，大于点C到直线AB的距离的长为半径画弧，
交AB的延长线于点M和点N，
分别以M、N为圆心，以大于MN一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点C以及这点作直线，交MN于点D，
则线段CD即为所求作的.
12．（1）作图见解析；（2）△CDB的周长为13．
【解析】(1)根据垂直平分线的性质可得:线段垂直平分线的点到线段两端点距离相等, 作点D到点A的距离与点D到点C的距离相等,即作线段AC的垂直平分线与AB的交点即为点D.
(2)根据（1）可得DE垂直平分线线段AC,继而可得AD=DC,因此△CDB的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB,根据AB+AC+BC=21,BC=5,可得AB=AC=8,
因此△CDB的周长为13．
解：（1）点D如图所示,
（2）∵DE垂直平分线线段AC,
∴AD=DC,
∴△CDB的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB,
∵AB+AC+BC=21,BC=5,
∴AB=AC=8,
∴△CDB的周长为13．
课件20张PPT。作线段的垂直平分线数学湘教版 八年级上新知导入1、什么是线段的垂直平分线？
垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
2、线段的垂直平分线有什么性质？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3、什么是尺规作图？
用无刻度的直尺和圆规作图，称为尺规作图.
想一想：如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线作法：如图所示：
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线． 新知讲解想一想：如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线新知讲解 直线CD为什么是线段AB的垂直平分线？证明：
连接CA、CB、DA、DB，
由作图过程可知：
CA＝CB，DA＝DB，
∴直线CD垂直平分线段AB.
（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）想一想：如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线新知讲解 通过这种作图方法，你还得得到什么结论呢？证明：
∵直线CD垂直平分线段AB.
∴它们的交点就是线段AB的中点.确定线段的中点. 思考：结合线段垂直平分线的作法，如何过一点P作已知直线l 的垂线呢？ 分析：由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.点P与已知直线1的位置关系有两种：点P在直线1上或点P在直线1外.
新知讲解（1）点P在直线l 上：新知讲解作法：①在直线l上点P的两旁分别截取线段
PA、PB，使PA＝PB；
②分别以A、B为圆心，以大于 AB的
长为半径画弧，两弧交于点C；
③过点C、P作直线CP.
则直线CP为所求作的直线.（2）点P在直线l 外：新知讲解作法：①以P 为圆心，以大于点P 到直线l 的距离
的线段的长为半径画弧，交直线l 于点A、B；
②分别以A、B为圆心，以大于 AB的
长为半径画弧，两弧交于点C；
③过点C、P作直线CP.
则直线CP为所求作的直线.新知讲解 练习1：如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点即满足条件.公路新知讲解练习2：如图，作出△ABC的BC边上的高.ABCD答：线段AD就是所求作的BC边上的高.课堂练习 1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）
A．∠A的平分线
B．AC边的中线
C．BC边的高线
D．AB边的垂直平分线
D课堂练习 2．如图，点M、N是线段AB的垂直平分线l上的两点，那么下列错误的是( )
A．AM＝BM
B．AN＝BN
C．AO＝BO
D．AM＝AND课堂练习3.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确
B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确 D课堂练习 4.如图，已知点A、点B以及直线l. 用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；解：如图所示，
点P就是所求作的点.P拓展提高 如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.BC 分析：学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.A 答：如图所示，学校的位置在点O处.O课堂总结1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？线段垂直平分线及垂线的画法.2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？线段垂直平分线的画法；
线段垂直平分线作法的应用：
（1）作线段的中点；（2）过一点作已知直线的垂线.
板书设计
课题：2.4.2作线段的垂直平分线??
教师板演区?
学生展示区1.作线段垂直平分线
（确定线段的中点）
2. 过一点作已知直线的垂线.基础作业
教材第72页习题2.4A 组第5题
能力作业
教材第72页习题2.4B 组第7题
作业布置
