三角形的边角关系、命题与证明单元测试卷
满分150分，考试时间120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是(?? )
A.?1，2，3????????????????????????????B.?3，4，5????????????????????????????C.?3，1，1????????????????????????????D.?3，4，7
2.已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（?? ）
A.?5个????????????????????????????????????B.?4个?????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????D.?2个
3.下列说法正确的是（? ）
A.?命题一定是正确的????????B.?不正确的判断就不是命题????????C.?真命题都是公理????????D.?定理都是真命题
4.若 ，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（?? ）
A.6 B.7 C.8 D.7或8
5.四条线段的长分别为5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成（? ）个三角形．
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
6.下列说法中正确的是( ??)
A.?三角形的角平分线和中线都是线段??????????????????????B.?三角形的角平分线和中线都是射线 C.?三角形的角平分线是射线,而中线是线段??????????????D.?三角形的角平分线是线段,而中线是射线
7.下列说法中正确的个数有（? ）①三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点； ②三角形的中线都是过顶点平分对边的直线；③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形； ④三角形的一个外角大于与它不相邻的每个内角；
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
8.如图所示的图形中x的值是（???? ）。
A.?60°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?70°???????????????????????????????????????D.?80°
9.已知下列命题：①若a≤0，则|a|=-a；②若ma2＞na2，则m＞n；③同位角相等，两直线平行；④对顶角相等． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（?? ）
A.?1 个?????????????????????????????????????B.?2 个?????????????????????????????????????C.?3 个?????????????????????????????????????D.?4 个
10.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=50°，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（??? ）
①∠ACB=70°；②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；④∠CFE=40°．
A.?①②????????????????????????????????????B.?③④????????????????????????????????????C.?①③????????????????????????????????????D.?①②③
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°．当检验工人量得的∠BDC的度数不等于________度时，就可判定此零件不合格？?
?????
12.等腰△ABC中，AB=AC，AC边上中线BD将△ABC的周长分成15和6两部分，则等腰△ABC的腰AB的长为________．
13.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=________．
14.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是________．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15.（8分）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞ （AB+AC）．
16.（8分）命题“如果两个角有公共顶点且互补，那么这两个角是邻补角”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．
17.（8分）在△ABC中，已知∠A= ∠B= ∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．
18.（8分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=30°，∠E=20°，求∠ACE和∠BAC的度数
（10分）已知AD为△ABC的中线，AB=5 cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，求AC的长度.
20.（10分）如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C＝2∠B，∠BFC－∠BEC＝20°，求∠C的度数．
21.（12分）如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=54°，∠C=66°，求∠DAC、∠BOA的度数．
22.（12分）如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？
23.（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求△ABC各边的长．
三角形的边角关系、命题与证明单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是(?? )
A.?1，2，3????????????????????????????B.?3，4，5????????????????????????????C.?3，1，1????????????????????????????D.?3，4，7
解：A、1+2=3，无法形成三角形，故不符合题意； B、 ，能够形成三角形，故符合题意； C、 ，无法形成三角形，故不符合题意； D、3+4=7，无法形成三角形，故不符合题意； 故答案为：B。
2.已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（?? ）
A.?5个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?2个
解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1，共3个
故答案为：C
3.下列说法正确的是（? ）
A.?命题一定是正确的????????B.?不正确的判断就不是命题????????C.?真命题都是公理????????D.?定理都是真命题
解：A．命题不一定是正确的，有假命题存在
不正确的判断是假命题 C．真命题不只是公理，也有定理和其他 D．定理都是真命题，定理是经过推理得出的，都是真命题，正确。 故答案为：D
4.若 ，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（?? ）
A.6 B.7 C.8 D.7或8
解：∵（a-2）2+|b-3|=0， ∴a-2=0，b-3=0， 解得a=2，b=3， ①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理， 即等腰三角形的周长是2+2+3=7； ②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理， 即等腰三角形的周长是3+3+2=8． 故答案为：D
5.四条线段的长分别为5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成（? ）个三角形．
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
解：首先发现每三条可以组合为5、6、8；5、6、13；5、8、13；6、8、13；再根据三角形的三边关系，可知能构成三角形的为：5、6、8和6、8、13． 因此可构成2个三角形． 故答案为：B。
6.下列说法中正确的是( ??)
A.?三角形的角平分线和中线都是线段??????????????????????B.?三角形的角平分线和中线都是射线 C.?三角形的角平分线是射线,而中线是线段??????????????D.?三角形的角平分线是线段,而中线是射线
解：三角形的角平分线和中线都是线段．
故答案为：A
7.下列说法中正确的个数有（? ）①三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点； ②三角形的中线都是过顶点平分对边的直线；③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC一定是直角三角形； ④三角形的一个外角大于与它不相邻的每个内角；
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
解：A、错误，只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部；B、错误，三角形中线是过顶点平分对边的线段； C、错误，由三角形内角和是180°得，该三角形是等边三角形 D、正确，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 故答案为：B
8.如图所示的图形中x的值是（???? ）。
A.?60°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?70°???????????????????????????????????????D.?80°
解：由三角形的外角性质得：（x+70）=x+（x+10），所以x=60°
故答案为：A
9.已知下列命题：①若a≤0，则|a|=-a；②若ma2＞na2，则m＞n；③同位角相等，两直线平行；④对顶角相等． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（?? ）
A.?1 个?????????????????????????????????????B.?2 个?????????????????????????????????????C.?3 个?????????????????????????????????????D.?4 个
解：①若a≤0，则|a|=-a，是真命题，逆命题是若|a|=-a则a≤0，是真命题， ②若ma2＞na2，则m＞n，是真命题， 逆命题是若m＞n，则ma2＞na2，是假命题， ③同位角相等，两直线平行，是真命题， 逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题， ④对顶角相等，是真命题， 逆命题是相等的角是对顶角，是假命题， 原命题与逆命题均为真命题的个数是2个； 故答案为：B．
如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=50°，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（??? ）
①∠ACB=70°；②∠BFC=115°；③∠BDF=130°；④∠CFE=40°．
A.?①②????????????????????????????????????B.?③④????????????????????????????????????C.?①③????????????????????????????????????D.?①②③
解：∵∠A=60°，∠ABC=50°，∴∠C=180°-∠A-∠ABC=70°，所以①正确； ∵∠B、∠C的平分线相交于F， ∴∠BFC=90°+ ∠A=120°，所以②错误； ∵DE∥BC， ∴∠BDF=180°-∠ABC=130°，所以③正确； ∵CF平分∠BCE， ∴∠BCF= ∠ACB=35°， ∵DE∥BC， ∴∠CFE=∠BCF=35°，所以④正确． 故答案为：C
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°．当检验工人量得的∠BDC的度数不等于________度时，就可判定此零件不合格？
??????
解：延长CD交AB于E．∵∠BED=∠A+∠C，∠BDC=∠BED+∠B，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°， ∴∠BDC=∠A+∠C+∠B=90°+21°+32°=143°． 故当检验工人量得∠BDC≠143°时，就可判定此零件不合格． 故答案为：143°
12.等腰△ABC中，AB=AC，AC边上中线BD将△ABC的周长分成15和6两部分，则等腰△ABC的腰AB的长为________．
解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=BD=X， ∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分， ∴有两种情况： ①当3X=15，且X+Y=6， 解得X=5，Y=1， ∴三边长分别为10，10，1； ②当X+Y=15且3X=6时 解得X=2,Y=13.此时腰围4 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三遍，而4+4=8＜13 故这种情况不存在 ∴腰长只能是10 故答案为：10
13.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=________．
解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， 而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A， 而∠BOC=110°， ∴90°+ ∠A=110° ∴∠A=40°． 故答案为40°．
14.如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各内角的度数是________．
解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，∴可设这一内角为x，则它的外角为4x， ∴x+4x=180°， 解得x=36°， 4x=144°， 又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍， ∴这两个与它不相邻的内角分别为：72°、72°， ∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°． 故答案为：36°，72°，72°．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15.（8分）已知：△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AD+BD＞ （AB+AC）．
证明：∵BD+AD＞AB，CD+AD＞AC，∴BD+AD+CD+AD＞AB+AC． ∵AD是BC边上的中线，BD=CD， ∴AD+BD＞ （AB+AC）．
16.（8分）命题“如果两个角有公共顶点且互补，那么这两个角是邻补角”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．
解：它是假命题． 例如：∠AOB=60°，∠COD=120°，∠AOB和∠COD有公共顶点且互补，但它们不是邻补角．
17.（8分）在△ABC中，已知∠A= ∠B= ∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．
解：根据题意，得3∠A=∠B，5∠A=∠C. 由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°， 则∠A+3∠A+5∠A=180°， 解得∠A=20°. 则∠B=3∠A=60°， ∠C=5∠A=100°
18.（8分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=30°，∠E=20°，求∠ACE和∠BAC的度数
解：∵∠B=30°，∠E=20°， ∴∠ECD=∠B+∠E=50°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ECD=50°， ∴∠ACD=2∠ECD=100°， ∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=100°﹣30°=70°.
（10分）已知AD为△ABC的中线，AB=5 cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，求AC的长度.
解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD. ∵△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm， ∴(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2 cm， ∴AC=AB-2=5-2=3(cm).
20.（10分）如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C＝2∠B，∠BFC－∠BEC＝20°，求∠C的度数．
解：由三角形的外角性质，得∠BFC＝∠A＋∠C，∠BEC＝∠A＋∠B. ∵∠BFC－∠BEC＝20°，∴(∠A＋∠C)－(∠A＋∠B)＝20°，即∠C－∠B＝20°. ∵∠C＝2∠B，∴∠B＝20°，∠C＝40°
21.（12分）如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=54°，∠C=66°，求∠DAC、∠BOA的度数．
解：∵AD是高，∴∠ADC=90° ，∵∠C=66°， ∴∠DAC=180°﹣90°﹣66°=24° ∵∠BAC=54°，∠C=66°，AE是角平分线， ∴∠BAO=27°，∠ABC=60° ∵BF是∠ABC的角平分线 ， ∴∠ABO=30°， ∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=123°.
（12分）如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？
解：如图， 在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，则∠EBC=75°，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向， 则∠FAB=30°，∠CAF=25°，∠EBA=30°，∴∠ABC=∠EBC﹣∠EBA=75°﹣30°=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣30°﹣25°=80°．答：从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°．
23.（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求△ABC各边的长．
解：设AB＝2xcm，BC＝ycm.有以下两种情况： ( 1 )当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时，
?,
解得
即AB＝AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系； ( 2 )当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，
?解得
即AB＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系． 综上所述，AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm.
