5 探索与表达规律
第1课时 探索数字与图形规律
关键问答
①解决规律探索类问题，我们一般会使用哪种数学思想方法？
1．①已知一组数据，请写出第5个数，并用代数式表示第n个数．
(1)1，2，3，4，________，…，________；(2)2，4，6，8，________，…，________；
(3)3，5，7，9，________，…，________；(4)1，4，9，16，________，…，________．
2．宁宁同学设计了一个计算程序，如下表：
输入数据
1
2
3
4
5
…
输出数据
a
…
根据表格中的数据的对应关系，可得a的值是________．
命题点 1 数字间的规律问题 [热度：94%]
模型建立
3.②小雨按一定规律写下了一串数：1，2，4，7，11，16，…，则第7个数是( )
A．20 B．21 C．22 D．23
②若一组数据均为整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以考虑奇、偶、平方等方面的规律．若一组数据均为分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系．
4．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256.根据以上规律，22018的末位数字是( )
A．2 B．4 C．8 D．6
5．③观察下列各式：(1)1＝12；(2)2＋3＋4＝32；(3)3＋4＋5＋6＋7＝52；(4)4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；….请你根据观察得到的规律判断下列各式中正确的是( )
A．1005＋1006＋1007＋…＋3016＝20112 B．1005＋1006＋1007＋…＋3017＝20112
C．1006＋1007＋1008＋…＋3016＝20112 D．1007＋1008＋1009＋…＋3017＝20112
解题突破
③根据等式找规律，要注意观察等式中各部分与等式左边的项数的关系．等式左边数的个数恰好等于等式右边的幂的底数；等式左边首末两项的和恰好等于等式右边幂的底数的两倍．
6．④2017·武汉按照一定规律排列的n个数：－2，4，－8，16，－32，64，…，若最后三个数的和为768，则n为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
解题突破
④根据数字规律用含n的式子把最后三个数表示出来，再根据和为768列方程求解.
命题点 2 图表中的数字规律问题 [热度：93%]
7．如图3－5－1所示的各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可知m的值是( )
图3－5－1
A.38 B．52 C．66 D．74
8.⑤将正整数依次按下表规律排成4列，根据表中的排列规律，数2018应在( )
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
3
第2行
6
5
4
第3行
7
8
9
第4行
12
11
10
…
A．第672行第2列 B．第672行第3列
C．第673行第2列 D．第673行第3列
解题突破
⑤奇数行3个数依次递增，偶数行3个数依次递减，先确定2018在第几行，再确定它在第几列.
命题点 3 探索周期性变化规律 [热度：92%]
9．观察图3－5－2中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2018应标在( )
图3－5－2
A．第504个正方形的左下角 B．第505个正方形的左上角
C．第504个正方形的右下角 D．第505个正方形的右上角
10.⑥如图3－5－3所示的运算程序中，若开始输入的值为48，第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…，则第2018次输出的结果为________．
图3－5－3
模型建立
⑥根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律进行计算即可
11．⑦一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝(n为不小于2的整数)，则a2018的值为________．
方法点拨
⑦先求出几个数，找出循环周期及数字变化规律，再求出相应节点上的数.
12．观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×________＝________×25；
②________×396＝693×________．
(2)设这类等式左边两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子，并证明．
详解详析
5 探索与表达规律
第1课时 探索数字与图形规律
1．(1)5 n (2)10 2n (3)11 2n＋1 (4)25 n2
2.
3．C
4．B [解析] 由规律可得：2n的末位数字每4个数循环一次．
因为＝504……2，
所以22018的末位数字为4.
5．C
6．B [解析] 由题意，得第n个数为(－2)n，那么(－2)n－2＋(－2)n－1＋(－2)n＝768.当n为偶数时，整理，得3×2n－2＝768，解得n＝10；当n为奇数时，整理，得－3×2n－2＝768，则求不出整数n.故选B.
7．D
8．C [解析] 因为2018÷3＝672……2，所以数2018排在第673行第2列．故选C.
9．D [解析] 每个正方形上有4个数字，且4个数字从右下角逆时针由小到大排列，＝504……2，则2018应标在第505个正方形中右上角的位置．
10．1 [解析] 将48代入程序计算，发现从第3次输出的结果开始每6个数据为一个循环，然后依据这个规律推导计算即可．
11．2 [解析] 由a1＝，an＝依次求出a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，a6＝－1，…，可见每三个数为一个循环，2018÷3＝672……2，则a2018的值为2.
12．解：(1)①因为5＋2＝7，
所以左边的三位数是275，右边的三位数是572，
即52×275＝572×25；
②因为左边的三位数是396，
所以左边的两位数是63，右边的两位数是36，
即63×396＝693×36.
故答案为①275，572；②63，36.
(2)因为左边两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，
所以左边的两位数是10a＋b，三位数是100b＋10(a＋b)＋a，
右边的两位数是10b＋a，三位数是100a＋10(a＋b)＋b，
所以一般规律的式子为(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．
证明：因为左边＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]
＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)
＝(10a＋b)(110b＋11a)
＝11(10a＋b)(10b＋a)，
右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)
＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)
＝(110a＋11b)(10b＋a)
＝11(10a＋b)(10b＋a)，
所以左边＝右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．
【关键问答】
①从特殊到一般的思想方法．
第2课时 借助运算解释规律和现象
关键问答
①填空：
□○△☆□○△☆□○________☆.
1．①如图3－5－4，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2018个图案是( )
图3－5－4
图3－5－5
2.如图3－5－6所示是用火柴棒搭成的图形，请写出第④个图形需要________根火柴棒，猜想第个图形需要________根火柴棒．
图3－5－6
命题点 1 图形数量递增规律猜想型 [热度：96%]
3．②观察如图3－5－7所示的一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )
图3－5－7
A．43 B．45 C．51 D．53
解题突破
②列出部分图形中星星的颗数，根据变化找出每个图形中星星的数量变化规律，然后根据数量变化规律计算结果
4．③如图3－5－8，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★，第n个图形中共有________个★.
图3－5－8
方法点拨
③解决这类问题首先从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”的增加，后一个图形与前一个图形在数量上的变化情况，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
5．用同样大小的黑色棋子按图3－5－9所示的规律摆放，则第239个图形中共有________枚棋子．
图3－5－9
6．④如图3－5－10是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有________个涂有阴影的小正方形(用含n的代数式表示)．
图3－5－10
解题突破
④根据图形的变化规律，探索相邻两个图形中涂有阴影的小正方形的个数之间的关系
命题点 2 关于图形周长和面积的归纳猜想 [热度：90%]
7．观察图3－5－11：
当图中有1个梯形时，图形的周长＝5；
当图中有2个梯形时，图形的周长＝8；
当图中有3个梯形时，图形的周长＝________；
当图中有4个梯形时，图形的周长＝________；
根据上述结论可推断出，当图中有n个梯形时，图形的周长为________．
图3－5－11
8．⑤如图3－5－12，边长分别为1，2，3，4，…，2017，2018的正方形叠放在一起，则图中阴影部分的面积和为________．
图3－5－12
方法点拨
⑤每一个阴影部分的面积等于两个相邻正方形面积的差，这样可以将阴影部分的面积看作边长为偶数的正方形的面积减去边长为奇数的正方形的面积
9．⑥如图3－5－13，将边长分别为1，2，3，5，…的若干个正方形按照一定的规律拼成不同的长方形，依次记作长方形①，长方形②，长方形③，长方形④，…，据此回答下列问题：
(1)组成长方形的正方形的个数为________；
(2)求长方形⑥的周长．
图3－5－13
解题突破
⑥针对此类题型，首先要找出发生变化的是哪部分，然后寻找规律，找出各部分变化前后的联系．
10．⑦建模是数学的核心素养之一，小明在计算＋＋＋…＋时利用了如图3－5－14所示的正方形模型．
设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为＋；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为＋＋；
…
由此计算＋＋＋…＋的结果是__________(用含n的代数式表示)．
图3－5－14
解题突破
⑦解决此类题型的关键是搞清楚图形分割前后的面积关系
11．⑧已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n(n为大于2的整数)等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形(如图3－5－15所示)．
图3－5－15
(1)当n＝5时，共向外作出了________个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为________；
(2)当n＝k时，共向外作出了________个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为________；(用含k的式子表示)
(3)若大等边三角形的面积为100，则当n＝10时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？
解题突破
⑧由当n＝3，n＝4时，向外作出的小等边三角形的个数，分析向外作出的小等边三角形的个数与n的关系，即n每增加1，向外作出的小等边三角形的数量增加3
详解详析
第2课时 借助运算解释规律和现象
1．B [解析] 根据题意可知图案是4个一循环．因为2018÷4＝504……2，所以第2018个图案与第2个图案相同．故选B.
2．13 (3n＋1)
3．C [解析] 图形①中星星的颗数为2；
图形②中星星的颗数为6＝2＋4；
图形③中星星的颗数为11＝2＋4＋5；
图形④中星星的颗数为17＝2＋4＋5＋6；
图形⑤中星星的颗数为24＝2＋4＋5＋6＋7；
…
图形⑧中星星的颗数为51＝2＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10.
4．28 (3n＋1)
5．718 [解析] 观察图形知：
第1个图形中有3＋1＝4(枚)棋子，
第2个图形中有3×2＋1＝7(枚)棋子，
第3个图形中有3×3＋1＝10(枚)棋子，
第4个图形中有3×4＋1＝13(枚)棋子，
…
第n个图形中有(3n＋1)枚棋子，
当n＝239时，3×239＋1＝718(枚)．
故答案为718.
6．(4n＋1)
[解析] 第1个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5；
第2个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5×2－1＝9；
第3个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5×3－2＝13；
…
第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5n－(n－1)＝4n＋1.
7．11 14 3n＋2 [解析] 当图中有3个梯形时，图形的周长为11，当图中有4个梯形时，图形的周长为14.
总结规律：每增加一个梯形，图形的周长增加3，
则当图中有n个梯形时，图形的周长为5＋3(n－1)＝3n＋2.
8．2037171 [解析] 第一个阴影部分的面积等于第二个正方形的面积减去第一个正方形的面积，第二个阴影部分的面积等于第四个正方形的面积减去第三个正方形的面积，依此类推，最后一个阴影部分的面积等于最后一个正方形的面积减去倒数第二个正方形的面积．
图中阴影部分的面积为(22－1)＋(42－32)＋…＋(20182－20172)＝(2＋1)×(2－1)＋(4＋3)×(4－3)＋…＋(2018＋2017)×(2018－2017)＝1＋2＋3＋4＋…＋2017＋2018＝＝2037171.
9．[解析] (1)结合图形分析得到正方形的个数；
(2)根据长方形的周长计算公式，找出第个长方形与前一个长方形的长、宽之间的关系，然后计算结果．
解：(1)第①个长方形中，正方形的个数为2；
第②个长方形中，正方形的个数为3；
第③个长方形中，正方形的个数为4；
…
第个长方形中，正方形的个数为n＋1.
(2)第①个长方形的周长为2×(1＋2)；
第②个长方形的周长为2×(2＋3)；
第③个长方形的周长为2×(3＋5)；
第④个长方形的周长为2×(5＋8)；
…
第个长方形的宽为前一个长方形的长，
第个长方形的长为前一个长方形长与宽的和．
故第⑤个长方形的周长为2×(8＋13)，第⑥个长方形的周长为2×(13＋21)＝68.
10.－
[解析] 第1次分割，阴影部分的面积为，空白部分的面积为1－＝；
第2次分割，阴影部分的面积之和为＋，空白部分的面积为1－(＋)＝；
第3次分割，阴影部分的面积之和为＋＋，空白部分的面积为1－(＋＋)＝；
…
第n次分割，所有阴影部分的面积之和为＋＋＋…＋，空白部分的面积是.
根据第n次的分割图可知＋＋＋…＋＝1－，
将上述等式两边同时除以2，得＋＋＋…＋＝－.
11．解：(1)n＝5对应图中第三个图形，共向外作出了3×3＝9(个)小等边三角形，每个小等边三角形的面积为·S＝S.
(2)当n＝k时，共向外作出了3(k－2)个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为S.
(3)当S＝100，n＝10时，3(n－2)＝3×(10－2)＝24(个)，S＝×100＝24.
即共向外作出了24个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为24.
第2课时 代数式求值
关键问答
①代数式的值由什么决定？
1．①已知a＝4，b＝－1，则代数式2a－b－3的值为( )
A．4 B．6 C．7 D．12
2．若m＝－1，n＝2，则m2－2n＋1的值是( )
A．6 B．0 C．－2 D．－4
3．若2x＋3＝5，则6x＋10等于________．
命题点 1 求代数式的值 [热度：94%]
4．②下列代数式中，a不能取0的是( )
A.a B. C. D．2a－b
易错警示
②字母的取值必须使这个代数式有意义
5．当x＝0，y＝－8时，下列代数式的值最小的是( )
A．x＋y B．x－y C．xy D.
6．③当x＝6，y＝4时，求下列各代数式的值．
(1)(x＋y)(x－y); (2)x2＋2xy＋y2.
易错警示
③代数式求值时要注意：(1)一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替；(2)如果代数式里省略了乘号，那么用数值代替字母时要添上乘号，代入负数和分数时要加上括号；(3)代入时，不能改变原式中的运算符号及数字
7.④已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，求－cd＋m的值．
解题突破
④互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数，解题时要注意分类讨论.
命题点 2 利用数值转换机求代数式的值 [热度：95%]
8．如图3－2－2是一数值转换机的示意图，若输入的x值为32，则输出的结果为( )
图3－2－2
A．50 B．80 C．110 D．130
9.⑤如图3－2－3所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，则第2018次输出的结果为________．
图3－2－3
解题突破
⑤根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算.
命题点 3 利用整体法求值 [热度：96%]
10.⑥已知－x＋2y＝5，则5(x－2y)2－3(x－2y)－60的值是( )
A．80 B．10 C．210 D．40
解题突破
⑥先通过改变符号变换已知代数式，再利用整体代入法进行计算．
11．⑦当x＝1时，代数式ax3－3bx＋2的值是8，则当x＝－1时，这个代数式的值是( )
A．－8 B．－4 C．4 D．8
解题突破
⑦把x＝1代入代数式求出a，b的关系式，再把x＝－1代入进行计算即可得解．
12．⑧已知m2－2m－1＝0，则代数式2m2－4m＋2018的值为________．
方法点拨
⑧解此类题的一般思路：不具体求出字母的值，把已知式或所求式进行变形，变为含同一整体的式子，然后代入求值
命题点 4 利用代数式求值解决实际问题 [热度：98%]
13．⑨某人步行5小时，先沿平坦道路走，然后上山，再沿来时的路线返回．若在平坦道路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人这5小时共走了多少千米？
解题突破
⑨把5小时所走路程分为平路和山路，把时间分为走平路的时间和走山路的时间，得上山时间为下山时间的2倍，总路程＝平路的速度×平路时间＋上山的速度×上山时间＋下山的速度×下山时间．
14．⑩如图3－2－4，在长和宽分别为a，b的长方形中，有两个半径相同的扇形，
(1)用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S；
(2)当a＝5 cm，b＝2 cm时，求阴影部分的面积(π≈3)．
图3－2－4
方法点拨
⑩计算不规则图形的面积通常将其转化为规则图形面积的和(差)求解.
15．?某地区的手机收费标准有以下两种方式，用户可任选其一：
A方式：月租费20元，通话费用为0.25元/分；
B方式：月租费25元，通话费用为0.20元/分．
(1)某用户某月打电话x分钟，则A方式应交付费用：__________元；B方式应交付费用：__________元．(用含x的代数式表示)
(2)某用户估计一个月内打电话的时间为25小时，你认为采用哪种方式更合算？
解题突破
?应交付费用＝月租费＋通话费用．
16．?设f(x)＝，定义f(1)是当x＝1时，代数式的值，即f(1)＝＝，同理f(2)＝＝，f()＝＝，…，根据此运算求f(1)＋f()＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋…＋f()＋f(n)的值．(用含n的代数式表示)
解题突破
?分别求出f(3)，f()，f(4)，f()的值，结合f(2)，f寻找规律，利用规律计算f(1)＋f＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋…＋f＋f(n)的值．
17．?某卖场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．十一期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台(x＞10)．
(1)若该客户按方案一购买，需付款____________元．若该客户按方案二购买，需付款____________元．(用含x的代数式表示)
(2)若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
(3)当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元．
解题突破
?(1)根据题目提供的两种不同的优惠方案列出代数式即可；
(2)将x＝30代入列出的代数式中计算即可得到费用，然后比较费用的大小即可得到哪种方案更合算；
(3)根据题意可以得到先按方案一购买20台微波炉获赠10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉更省钱．
详解详析
第2课时 代数式求值
1．B 2.C 3.16
4．B [解析] 在中，a在分母中，当a＝0时，没有意义．
5．A [解析] 将x＝0，y＝－8分别代入这四个代数式中，其值分别为－8，8，0，0.故选A.
6．解：(1)将x＝6，y＝4代入(x＋y)(x－y)，得
原式＝(6＋4)×(6－4)＝10×2＝20.
(2)将x＝6，y＝4代入x2＋2xy＋y2，得
原式＝62＋2×6×4＋42＝36＋48＋16＝100.
7．解：因为a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，
所以a＋b＝0，cd＝1，m＝±2.
当m＝2时，－cd＋m＝0－1＋2＝1；
当m＝－2时，－cd＋m＝0－1－2＝－3.
8．D [解析] 当x＝32，＝×(32－2)＝50＜90；当x＝50，＝×(50－2)＝80＜90；当x＝80，＝×(80－2)＝130＞90，即输入的x值为32，则输出的结果为130.故选D.
9．4 [解析] 由设计的程序，可得依次输出的结果是50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1，…，发现从8开始循环．则2018－4＝2014，2014÷4＝503……2，故第2018次输出的结果是4.故答案为4.
10．A [解析] 根据－x＋2y＝5，可知x－2y＝－5，故原式＝5(x－2y)2－3(x－2y)－60＝5×(－5)2－3×(－5)－60＝125＋15－60＝80.
11．B [解析] 当x＝1时，ax3－3bx＋2＝a－3b＋2＝8，所以3b＝a－6.当x＝－1时，ax3－3bx＋2＝－a＋3b＋2＝－a＋a－6＋2＝－4.故选B.
12．2020 [解析] 因为m2－2m－1＝0，所以m2－2m＝1，所以原式＝2(m2－2m)＋2018＝2020，故答案为2020.
13．解：设此人平路走了x小时，则上山和下山共走了(5－x)小时．
因为上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，在路程相等的情况下，可知上山的时间为下山时间的两倍，所以上山用了(5－x)小时，下山用了(5－x)小时．
此人所走的总路程＝平路＋上山＋下山，
即4x＋3×(5－x)＋6×(5－x)＝20.
答：此人这5小时共走了20千米．
14．解：(1)根据题意，得S＝ab－πb2.
(2)当a＝5 cm，b＝2 cm时，S≈5×2－×3×22＝10－6＝4(cm2)．
15．解：(1)(20＋0.25x) (25＋0.20x)
(2)25小时＝1500分．当x＝1500时，
A方式总费用为20＋0.25×1500＝395(元)；
B方式总费用为25＋0.20×1500＝325(元)．
因为395＞325，
所以采用B方式更合算．
16．解：由题意可知f(3)＝＝，f()＝＝，f(4)＝，f()＝，
所以f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(n)＋f()＝1，
所以原式＝＋(n－1)＝n－.
17．解：(1)方案一：800×10＋200(x－10)＝(200x＋6000)元，
方案二：(800×10＋200x)×90%＝(180x＋7200)元．
故答案为(200x＋6000)，(180x＋7200)．
(2)当x＝30时，方案一：200×30＋6000＝12000(元)；
方案二：180×30＋7200＝12600(元)，
所以按方案一购买较合算．
(3)先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台微波炉，
共需付款10×800＋200×20×90%＝11600(元)．
【关键问答】
①代数式的值由字母的取值决定．
2 代数式
第1课时 代数式
关键问答
①代数式中可以有运算符号吗？可以有等号吗？单独的一个数或一个字母是代数式吗？
1.①在①2x，②3x－2≠5，③3x－2y－z，④x＞3，⑤(x＋3)2，⑥y＝2x＋1中，是代数式的有________．(只填序号)
2．填空：(1)a，b的平方和表示为__________，a，b和的平方表示为________；
(2)a，b的平方差表示为________，a，b差的平方表示为________．
3．小明在考试前到文具店买了2支2B铅笔和一副三角尺，2B铅笔每支x元，三角尺每副2元，小明共花了__________元．
命题点 1 代数式的意义 [热度：88%]
4．②下列各式中符合代数式书写要求的有( )
①1x2y；②ab÷c2；③；④；⑤2×(a＋b)；⑥ah·2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
方法点拨
②代数式的书写要求：
(1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；
(2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
(3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
5．下列关于“代数式3x＋2y”的意义叙述不正确的有( )
①x的3倍加上y的2倍的和；②小明跑步的速度为x千米/时，步行的速度为y千米/时，则小明跑步3小时后步行2小时，共走了(3x＋2y)千米；③某小商品以每个3元的价格卖出了x个，又以每个2元的价格卖出了y个，则共卖了(3x＋2y)元．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个命题点 2 列代数式 [热度：90%]
6．③“x的与y的和”可表示为( )
A.(x＋y) B．x＋＋y C．x＋y D.x＋y
方法点拨
③理解关键词语，弄清数量关系．列代数式时，应正确理解问题中的和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分、增加、减少、提高、降低等关键词，一般可按文字语言先读先写．
7．今年苹果的价格比去年便宜了20%，已知今年苹果的价格是每千克a元，则去年苹果的价格是每千克( )
A．(1＋20%)a元 B．(1－20%)a元 C.元 D.元
8．如图3－2－1，A和B是高度同为h的圆柱形容器，底面半径分别为r和R，且r＜R.一水龙头单独向容器A注水，用T分钟可以注满容器A.现将两容器在它们高度的一半处用一根细管连通(细管的容积忽略不计)，仍用该水龙头向容器A注水，则2T分钟时，容器A中水的高度是________．(注：若圆柱体的底面半径为R，高为h，体积为V，则V＝πR2h)
图3－2－1
详解详析
2 代数式
第1课时 代数式
1．①③⑤
2．(1)a2＋b2 (a＋b)2 (2)a2－b2 (a－b)2
3．(2x＋2)
4．B [解析] 各式中符合代数式书写要求的有③，④，共2个，故选B.
5．D
6．D
7．C [解析] 去年的价格×(1－20%)＝今年的价格，可求得去年苹果的价格．
8.h或 [解析] 由题意得容器A的容积＝πr2h，容器B的容积＝πR2h，
该水龙头用T分钟可以注满容器A，则它的注水速度为，注水2T分钟时注入的水的体积＝2πr2h，
容器A，B高度的一半处的容积之和为πh(r2＋R2)．
①当2T分钟时注入水的体积2πr2h小于或等于两个容器的容积之和的一半时，容器A中水的高度为.
2πr2h≤πh(r2＋R2)，3r2 ≤R2，
即当3r2 ≤R2时，容器A中水的高度为.
②当2T分钟时注入水的体积2πr2h大于两个容器的容积之和的一半时，
2πr2h>πh(r2＋R2)，3r2>R2，
即当3r2>R2时，容器A中水的高度等于注入的水的体积除以两个圆柱形容器的底面积之和，即水的高度＝＝.
综上所述，当3r2≤R2时，容器A中水的高度是h；当3r2 >R2时，容器A中水的高度是.
【关键问答】
①可以；不可以；是．
4 整式的加减
第1课时 合并同类项
关键问答
①怎样识别同类项？
1．①下列各组式子中，两个单项式是同类项的是( )
A．2a与a2 B．5a2b与－ba2 C．xy2与x2y D．5a2b与5a2c
2．合并同类项－4a2b＋3a2b＝(－4＋3)a2b＝－a2b时，依据的运算律是( )
A．加法交换律 B．乘法交换律
C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律
3．下列合并同类项正确的是( )
A．a3＋a2＝a5 B．3x－2x＝2
C．3x2＋2x2＝6x2 D．x2y＋yx2＝2x2y
命题点 1 同类项的概念 [热度：92%]
4．下列各组中的两项，不是同类项的是( )
A．a2b与－3ab2 B．－x2y与2yx2
C．2πr与π2r D．35与53
5．若－4xm＋2y4与2x3yn－1为同类项，则m－n的值为( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－2
命题点 2 合并同类项 [热度：96%]
6.②下列各式中的计算，正确的是( )
A．－12x＋7x＝－5x B．5y2－3y2＝2
C．3a＋2b＝5ab D．4m2n－2mn2＝2mn
方法点拨
②合并同类项时，注意将同类项的系数相加，并把所得结果作为结果的系数，要确保同类项的字母和字母对应的指数不变
7．③若am＋1b3与(n－1)a2b3是同类项，且它们合并后结果是0，则( )
A．m＝2，n＝2 B．m＝1，n＝2
C．m＝2，n＝0 D．m＝1，n＝0
解题突破
③若合并同类项后结果是0，则结果的系数为0，则原来两个单项式的系数互为相反数．
8．④若x为有理数，|x|－x表示的数是( )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
解题突破
④先根据绝对值的性质(一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0)化简|x|，再合并同类项.
9．把(a－b)当成一个整体合并同类项：4(a－b)2－2(a－b)＋5(a－b)＋3(a－b)2＝________．
10．合并同类项：
(1)5x2y＋xy2－3x2y－7xy2; (2)4a2＋3b2＋2ab－4a2－2b2.
11．单项式2x3ym与单项式－xn－1y2m－3的和仍是单项式，求这两个单项式的和．
命题点 3 利用合并同类项化简求值 [热度：97%]
12.⑤先化简，再求值：2x3＋4x－x2－x＋3x2－2x3，其中x＝－3.
易错警示
⑤带分数与字母作乘法时，通常把带分数写成假分数．代入数值计算时，通常把省略的乘号补充出来，还要把负数加上括号.
13．先化简，再求值：2a3＋3a2b－ab2－3a2b＋ab2＋b3，其中a＝3，b＝2.
14.⑥已知x＋y＝，xy＝－，求代数式x＋3y－3xy－2xy＋4x＋2y的值．
方法点拨
⑥整体代入是化简求值题中常用的一种方法，解题时要多观察化简后的式子，看能否运用此种方法解决，使问题简单化.
15．⑦如图3－4－1，试用含字母a，b的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积，并求出当a＝12 cm，b＝4 cm，π≈3.14时，各阴影部分的面积．
图3－4－1
解题突破
⑦图①中，阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积；图②中，阴影部分的面积＝两个正方形的面积和－一个直角三角形的面积．
16．⑧如果关于x的代数式－2x2＋mx＋nx2－5x－1的值与x的取值无关，求m，n的值．
解题突破
⑧若代数式的值与x的取值无关，则无论x取任何值，代数式的值都不变，那么与x有关的项的系数应该满足什么条件？
17.⑨“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图3－4－2，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”形图案(阴影部分)．设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x，y，剪去的小长方形的长和宽也分别为x，y.
(1)用含a，x，y的式子表示“囧”的面积S；
(2)当a＝20，x＝5，y＝4时，求S的值．
图3－4－2
方法点拨
⑨根据图形特征，把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和(差)求解.
详解详析
4 整式的加减
第1课时 合并同类项
1．B 2.C 3.D
4．A [解析] 选项B，同类项与字母顺序无关．选项C，π表示一个常数．选项D，35与53都是常数．
5．A [解析] 由题意，得m＋2＝3，4＝n－1，所以m＝1，n＝5，所以m－n＝－4.
6．A
7．D [解析] 由题意，得m＋1＝2，1＋(n－1)＝0，所以m＝1，n＝0.
8．D [解析] (1)若x≥0，则|x|－x＝x－x＝0；(2)若x＜0，则|x|－x＝－x－x＝－2x＞0.由(1)(2)可得|x|－x表示的数是非负数．故选D.
9．7(a－b)2＋3(a－b) [解析] 原式＝4(a－b)2＋3(a－b)2－2(a－b)＋5(a－b)＝(4＋3)(a－b)2＋(－2＋5)(a－b)＝7(a－b)2＋3(a－b)．
10．解：(1)原式＝(5x2y－3x2y)＋(xy2－7xy2)
＝(5－3)x2y＋(1－7)xy2
＝2x2y－6xy2.
(2)原式＝(4－4)a2＋2ab＋(3－2)b2
＝2ab＋b2.
11．解：依题意，得n－1＝3，m＝2m－3，
解得n＝4，m＝3.
把m＝3，n＝4代入2x3ym＋(－xn－1y2m－3)＝2x3y3＋(－x3y3)＝x3y3.
12．解：2x3＋4x－x2－x＋3x2－2x3＝2x3－2x3－x2＋3x2＋4x－x＝x2＋3x.
当x＝－3时，原式＝×(－3)2＋3×(－3)＝24－9＝15.
13．解：原式＝2a3＋(3a2b－3a2b)＋(－ab2＋ab2)＋b3＝2a3＋b3.当a＝3，b＝2时，原式＝2×33＋23＝2×27＋8＝62.
14．解：x＋3y－3xy－2xy＋4x＋2y＝x＋4x＋3y＋2y－3xy－2xy＝5x＋5y－5xy＝5(x＋y)－5xy.
当x＋y＝，xy＝－时，原式＝5(x＋y)－5xy＝5×－5×(－)＝.
15．解：图①：S阴影＝ab－·()2π＝ab－b2.
将a＝12 cm，b＝4 cm，π≈3.14代入ab－b2，得S阴影≈41.72 cm2；
图②：S阴影＝a2＋b2－a(a＋b)＝a2＋b2－ab.
将a＝12 cm，b＝4 cm代入a2＋b2－ab，得S阴影＝64 cm2.
16．解：－2x2＋mx＋nx2－5x－1
＝(－2x2＋nx2)＋(mx－5x)－1
＝(－2＋n)x2＋(m－5)x－1.
因为代数式的值与x的取值无关，
所以－2＋n＝0，m－5＝0，所以n＝2，m＝5.
17．解：(1)S＝a2－xy×2－xy＝a2－2xy.
(2)当a＝20，x＝5，y＝4时，
S＝a2－2xy
＝202－2×5×4
＝400－40
＝360.
【关键问答】
①(1)所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项．
(2)同类项与系数无关，与字母顺序无关．
第2课时 整式的加减
关键问答
①去括号的依据是什么？
②减去一个多项式，在列式时应注意什么？
1．①下列各式中正确的是( )
A．－(x－6)＝－x－6 B．－a＋b＝－(a＋b)
C．30－x＝5(6－x) D．3(x－8)＝3x－24
2．化简x＋y－(x－y)的结果为( )
A．2x B．2y C．0 D．－2y
3．②整式－2b减去a－b后所得的结果为( )
A．a－3b B．－a－3b C．－a－2b D．－a－b
命题点 1 去括号法则的运用 [热度：90%]
4．下列各式与代数式－b＋c不相等的是( )
A．－(－c－b) B．－b－(－c) C．＋(c－b) D．＋[－(b－c)]
5．③下列添括号正确的是( )
A．a＋b－c＝a＋(b－c) B．a＋b－c＝a－(b－c)
C．a－b－c＝a－(b－c) D．a－b＋c＝a＋(b－c)
方法点拨
③添加括号时，若括号前为“＋”号，则添加括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前为“－”号，则添加括号后，括号里的各项都改变符号
6．下列去括号错误的是( )
A．3a2－(2a－b＋5c)＝3a2－2a＋b－5c
B．5x2＋(－2x＋y)－(3z－w)＝5x2－2x＋y－3z＋w
C．2m2－3(m－1)＝2m2－3m－1
D．－(2x－y)－(－x2＋y2)＝－2x＋y＋x2－y2
7．在括号内填上恰当的项：ax－bx－ay＋by＝(ax－bx)－(________)．
8．添括号：(－a＋2b＋3c)(a＋2b－3c)＝[2b－(________)][2b＋(a－3c)]．
9．④化简与计算：
(1)2x－(x＋3y)－(－x－y)＋(x－y)；
(2)5(a2b－3ab2)－2(a2b－7ab2)．
方法点拨
④去括号时，运用乘法对加法的分配律，先把括号前的数字与括号里的各项相乘，如果括号前是“＋”号，去括号后，括号里的各项都不改变符号；如果括号前是“－”号，去括号后，括号里的各项都要改变符号．当有多重括号时，要注意去各个括号的顺序．
10．先化简，再求值：－2(mn－3m2)－[m2－5(mn－m2)＋2mn]，其中m＝1，n＝－2.
命题点 2 整式的加减及求值 [热度：94%]
11．若M＝2a2b，N＝3ab2，P＝－4a2b，则下列各式正确的是( )
A．M＋N＝5a3b3 B．N＋P＝－ab
C．M＋P＝－2a2b D．M－P＝2a2b
12．⑤若A＝4x2－3x－2，B＝4x2－3x－4，则A，B的大小关系是________．
解题突破
⑤比较两个整式的大小，可以将两个整式作差．
13．⑥多项式5x2y＋7x3－2y3与另一个多项式的和为3x2y－y3，求另一个多项式．
易错警示
⑥进行多项式的加减运算时，注意括号的使用
14．已知：A＝2x2－3xy＋2y2，B＝2x2＋xy－3y2，求：
(1)A＋B；(2)A－(B－2A)．
．
15．⑦有这样一道题：“计算(2x3－3x2y－2xy2)－(x3－2xy2＋y3)＋(－x3＋3x2y－y3)的值，其中x＝，y＝－1”．甲同学把“x＝”错抄成“x＝－”，但他的计算结果也是正确的，试说明原因，并求出这个结果．
解题突破
⑦如果代数式的值与某个字母的取值无关，那么化简后的代数式中不含该字母
16.⑧佳佳做一道题“已知两个多项式A，B，计算A－B”．佳佳误将A－B看作A＋B，求得结果是9x2－2x＋7.若B＝x2＋3x－2，计算A－B的正确结果．
方法点拨
⑧解决复原型问题时，应先由错误的结果中正确的因素，确定问题中的已知条件，然后再由已知条件按要求求解.
命题点 3 利用整式的加减解决实际问题 [热度：95%]
17．将一根铁丝围成一个长方形，它的一边长为2a＋b，另一边比这边长a－b，则该长方形的周长是( )
A．5a＋b B．10a＋3b C．10a＋2b D．10a＋6b
18.⑨环岛是为了减少车辆行驶冲突，在多个交通路口交汇的地方设置的交通设施，多为圆形，它使车辆按统一方向行驶，将冲突点转变为通行点，能有效地减少交通事故的发生，如图3－4－3是该交通环岛的简化模型(因一部分路段FG施工，禁止从路段EF行驶过来的车辆在环岛内通行，只能往环岛外行驶)，某时段内该交通环岛的进出机动车辆数如图所示，图中箭头方向表示车辆的行驶方向．
(1)求该时段内路段AB上的机动车辆数x1；
(2)求该时段内从F口驶出的机动车辆数x2；
(3)若a＝10，b＝4，求该时段内路段CD上的机动车辆数x3.
图3－4－3
解题突破
⑨弄清交通环岛的简化模型表示的数量关系是解题的关键.
19.⑩定义：若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
(1)3与________是关于1的平衡数，5－x与________是关于1的平衡数；(用含x的代数式表示)
(2)若a＝2x2－3(x2＋x)＋4，b＝2x－[3x－(4x＋x2)－2]，判断a与b是不是关于1的平衡数，并说明理由．
解题突破
⑩(1)根据定义构造方程求解；(2)构造整式的加法运算，根据定义判断即可.
详解详析
第2课时 整式的加减
1．D
2．B 3.D
4．A [解析] 因为－(－c－b)＝c＋b，与－b＋c不相等，故选项A符合题意；－b－(－c)＝－b＋c，与－b＋c相等，故选项B不符合题意；＋(c－b)＝c－b，与－b＋c相等，故选项C不符合题意；＋[－(b－c)]＝－(b－c)＝－b＋c，与－b＋c相等，故选项D不符合题意．故选A.
5．A [解析] B选项应为a＋b－c＝a－(－b＋c)．C选项应为a－b－c＝a－(b＋c)．D选项应为a－b＋c＝a＋(－b＋c)．
6．C [解析] 选项C：2m2－3(m－1)＝2m2－(3m－3)＝2m2－3m＋3.
7．ay－by
8．a－3c
9．解：(1)原式＝2x－x－3y＋x＋y＋x－y＝3x－3y.
(2)原式＝5a2b－15ab2－2a2b＋14ab2＝3a2b－ab2.
10．解：原式＝－2mn＋6m2－m2＋5(mn－m2)－2mn
＝－2mn＋6m2－m2＋5mn－5m2－2mn
＝mn.
当m＝1，n＝－2时，原式＝1×(－2)＝－2.
11．C [解析] M，N，P代表三个整式．其中M，P为同类项，只有M，P可以合并．从C，D中选择即可．
12．A＞B [解析] A－B＝4x2－3x－2－(4x2－3x－4)＝4x2－3x－2－4x2＋3x＋4＝2＞0，故A＞B.
13．解：(3x2y－y3)－(5x2y＋7x3－2y3)
＝3x2y－y3－5x2y－7x3＋2y3
＝－2x2y－7x3＋y3.
14．解：(1)A＋B
＝(2x2－3xy＋2y2)＋(2x2＋xy－3y2)
＝4x2－2xy－y2.
(2)A－(B－2A)
＝3A－B
＝3(2x2－3xy＋2y2)－(2x2＋xy－3y2)
＝6x2－9xy＋6y2－2x2－xy＋3y2
＝4x2－10xy＋9y2.
15．解：(2x3－3x2y－2xy2)－(x3－2xy2＋y3)＋(－x3＋3x2y－y3)
＝2x3－3x2y－2xy2－x3＋2xy2－y3－x3＋3x2y－y3
＝－2y3.
因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x的取值无关．
当x＝，y＝－1时，原式＝－2×(－1)3＝2.
16．解：因为A＋B＝9x2－2x＋7，B＝x2＋3x－2，
所以A＝9x2－2x＋7－(x2＋3x－2)
＝9x2－2x＋7－x2－3x＋2
＝8x2－5x＋9，
所以A－B＝8x2－5x＋9－(x2＋3x－2)
＝8x2－5x＋9－x2－3x＋2
＝7x2－8x＋11.
17．C [解析] 另一边长为2a＋b＋a－b＝3a，所以该长方形的周长为2(2a＋b＋3a)＝2(5a＋b)＝10a＋2b.
18．解：(1)根据题意，得a－b＋a＋b＝2a，
则该时段内路段AB上的机动车辆数x1为2a.
(2)根据题意，得x3＝x1－(a－b)＋2b＝a＋3b，x2＝x3－a＋2a＝2a＋3b，
则该时段内从F口驶出的机动车辆数x2为2a＋3b.
(3)当a＝10，b＝4时，x3＝a＋3b＝10＋12＝22，
则该时段内路段CD上的机动车辆数x3为22.
19．解：(1)设3关于1的平衡数为a，则3＋a＝2，解得a＝－1，
所以3与－1是关于1的平衡数．
设5－x关于1的平衡数为b，则5－x＋b＝2，解得b＝2－(5－x)＝x－3，
所以5－x与x－3是关于1的平衡数．
故答案为－1，x－3.
(2)a与b不是关于1的平衡数．理由如下：
因为a＝2x2－3(x2＋x)＋4，b＝2x－[3x－(4x＋x2)－2]，
所以a＋b＝2x2－3(x2＋x)＋4＋2x－[3x－(4x＋x2)－2]＝2x2－3x2－3x＋4＋2x－3x＋4x＋x2＋2＝6≠2，
所以a与b不是关于1的平衡数．
【关键问答】
①乘法对加法的分配律．
②应注意给多项式加上括号．
1 字母表示数
关键问答
①用字母表示数，书写时要注意什么？
1．①下列式子，符合用字母表示数时的书写格式的是( )
A．a÷3 B．2x C．a×3 D.
2．苹果每千克售价为3元，2千克售价为______元，a千克售价为______元．
3．如果a，b分别表示两个数，那么加法交换律可表示为____________．
命题点 1 用字母表示数 [热度：89%]
4．②一件服装降价10%后卖x元，则原价为( )
A.x元 B.x元 C.x元 D．10x元
解题突破
②原价×(1－降价率)＝实际售价．
5．一个两位数，个位上的数字是x，且x比十位上的数字大5，那么这个两位数是( )
A．10(x＋5)＋x B．10(x－5)＋x C．10x＋5 D．10x＋(x＋5)
6．国家规定初中每班的标准人数为a人，某中学七年级共有六个班，各班人数情况如下表：
班级
七(1)班
七(2)班
七(3)班
七(4)班
七(5)班
七(6)班
与每班标准人数的差值(单位：人)
＋5
＋3
－5
＋4
0
－2
用含a的式子表示该中学七年级学生总人数为________人．
命题点 2 用字母表示运算律、公式及法则 [热度：90%]
7.③圆柱的高为x，底面半径等于r，则圆柱的体积是( )
A.πr2x B.πr2x C．πr2x D.πr2x
模型建立
③圆柱的体积＝底面积×高.
8．根据要求写出相应的式子：
(1)用字母表示加法结合律：__________；(2)用字母表示乘法对加法的分配律：__________．
命题点 3 用字母表示规律 [热度：95%]
9.④用棋子摆出如图3－1－1所示的一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子( )
图3－1－1
A．4n枚 B．(4n－4)枚 C．(4n＋4)枚 D．n2枚
解题突破
④根据数字变化规律，通过观察、分析、归纳，找出其中的数量关系，并整理出相应的式子.
10．⑤如图3－1－2，阴影部分的面积为______________________________(用含字母a，b的式子表示)．
图3－1－2
方法点拨
⑤用转化法求阴影部分的面积．
详解详析
第三章 整式及其加减
1 字母表示数
1．D 2.6 3a 3.a＋b＝b＋a
4． C
[解析] 原价为＝x元．
5．B [解析] 由题意可知，个位数字为x，十位数字为x－5.两位数可表示为10(x－5)＋x.
6．(6a＋5) [解析] 该中学七年级学生总人数为6a＋(5＋3－5＋4＋0－2)＝(6a＋5)人，故答案为(6a＋5)．
7．C
8．(1)a＋b＋c＝a＋(b＋c) (2)(a＋b)c＝ac＋bc
9．A [解析] 第1个“口”字用4枚棋子，第2个“口”字用8枚棋子，第3个“口”字用12枚棋子……依据1，4；2，8；3，12这种倍数关系可知第n个“口”字用4n枚棋子．
10．a2＋b2－b(a＋b)－a2－b(b－a)
[解析] 用两个正方形的面积和减去三个空白部分三角形的面积即为阴影部分的面积．
【关键问答】
①(1)式子中出现的乘号通常写作“·”或省略不写；
(2)数字与字母相乘时，数字写在字母前面；
(3)除法运算用分数的形式表示；
(4)式子若是和或差的形式，后面有单位时一定要用括号把式子括起来．
3 整式
关键问答
①是单项式吗？是多项式吗？
②单独的一个数或一个字母是单项式吗？
1．①②在代数式：①a2；②；③x2－x－1；④－2；⑤；⑥－ab中，单项式有________，多项式有________．(填序号)
2．单项式－ab4的系数是________，次数是________．
3．多项式－x3y＋2x－5，其中最高次项是________，最高次项的次数是________，常数项是________．
命题点 1 单项式及有关概念 [热度：92%]
4．③在代数式x2－3x，2πx2y，，－5，a，0，中，单项式的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
方法点拨
③判断一个代数式是不是单项式，关键就是看式子中的数与字母或字母与字母之间是不是纯粹的乘积关系，单独的一个数或一个字母也是单项式．如果一个代数式中含有加、减的关系，那么它就不是单项式；分母有字母(π除外)的式子一定不是单项式
5．④单项式－的系数与次数分别是( )
A．3，3 B．－，3 C．－，4 D．－π，3
易错警示
④(1)系数也包括前面的符号；
π表示一个数．
6．⑤已知(a－1)x2ya＋1是关于x，y的五次单项式，则这个单项式的系数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
解题突破
⑤根据单项式的次数先求得a，从而确定单项式，再求单项式的系数．
7．⑥下列说法正确的是( )
A．单项式b的次数是0 B.是一次单项式
C．24x3是7次单项式 D．－a的系数是－1
易错警示
⑥单项式的次数是所有字母指数的和，24是数命题点 2 多项式及有关概念 [热度：94%]
8．⑦多项式－x2－x＋1的各项分别是( )
A．－x2，x，1 B．－x2，－x，1
C．x2，x，1 D．x2，－x，＋1
易错警示
⑦多项式的项包括其前面的符号
9．⑧下列对于多项式1－2x＋x2的说法，错误的是( )
A．是二次三项式 B．由1，2x，x2三项组成
C．最高次项的系数是 D．一次项的系数是－2
易错警示
⑧(1)不可以把多项式中各项的次数的和看作多项式的次数．(2)写出多项式的每一项时，不要漏掉“－”，如2a－b中的项分别是2a，－b.
10．按某种标准把多项式进行分类时，3x3－4和a2b＋ab2＋1属于同一类，则下列哪一个多项式也属于此类( )
A．abc－1 B．x2－y C．3x2＋2xy4 D．m2＋2mn＋n2
11．多项式x|m|－x＋m－4是关于x的四次三项式，则m的值是( )
A．4 B．－2 C．－4 D．4或－4
12．如果一个多项式是五次多项式，那么它任何一项的次数( )
A．都小于5 B．都等于5 C．都不小于5 D．都不大于5
13．如果xn－(m－1)x＋2是关于x的三次二项式，那么m2＋n＝________．
解题突破
⑨x的一次项，是指这个单项式只含有一个字母x，且次数为1.
方法点拨
⑩多项式不含有哪一项，这一项的系数就为0.14.⑨⑩若多项式x2＋(k－1)x＋3中不含有x的一次项，则k＝________．
15．一个关于a，b的多项式，除常数项为－1外，其余各项的次数都是3，系数都为－1，并且各项都不相同，这个多项式最多有几项？请将这个多项式写出来．
16.?我们做如下规定：把一个多项式按照同一个字母的指数从大到小的顺序排列，常数项放在最后，叫做这个多项式按此字母的降幂排列；把一个多项式按照同一个字母的指数从小到大的顺序排列，常数项放在最前，叫做这个多项式按此字母的升幂排列．
依据规定把多项式3mn2－2m2n3＋5－8m3n重新排列：
(1)按m的降幂排列；
(2)按n的升幂排列．
方法点拨
?按某一字母的升幂排列或降幂排列，指的是只按这一字母的指数自小到大(升幂)或自大到小(降幂)依据加法交换律来重新把项进行排序.
17．将(a－b)看成一个字母，把代数式－(a－b)2－2－(a－b)3＋2(a－b)按字母(a－b)降幂排列，若设x＝a－b.
(1)将上述代数式改写成关于x的多项式．
(2)已知a＝b＋2，先求x，并求出上述代数式的值．
详解详析
3 整式
1．①④⑥ ③⑤
2．－ 5
3．－x3y 4 －5
4．D [解析] 式子x2－3x，有减法运算，式子分母中含字母，都不是单项式，另外四个都是单项式．故选D.
5．D
6．A [解析] 由题意，得a＋1＋2＝5，解得a＝2，则这个单项式的系数是a－1＝1，故选A.
7．D
8．B
9．B
10．A [解析] 3x3－4和a2b＋ab2＋1属于同一类，都是三次多项式，A.abc－1是三次多项式，故本选项符合题意；B.x2－y是二次多项式，故本选项不符合题意；C.3x2＋2xy4是五次多项式，故本选项不符合题意；D.m2＋2mn＋n2是二次多项式，故本选项不符合题意．故选A.
11．C [解析] 因为多项式x|m|－x＋m－4是关于x的四次三项式，
所以|m|＝4，m－4≠0，
所以m＝－4.
故选C.
12．D [解析] 多项式的次数为各项中次数最高的项的次数．既然为五次多项式，也就是各项的次数最高为5次，任何一项的次数只能小于或等于5.
13．4 [解析] 由题意，得n＝3，m＝1，所以m2＋n＝4.
14．1 [解析] 多项式x2＋(k－1)x＋3中不含有x的一次项，即(k－1)x＝0，所以k－1＝0，解得k＝1.
15．解：这个多项式最多有五项，即－a3－ab2－a2b－b3－1.
16．解：(1)按m的降幂排列为－8m3n－2m2n3＋3mn2＋5.
(2)按n的升幂排列为5－8m3n＋3mn2－2m2n3.
17．解：按字母(a－b)降幂排列为－(a－b)3－(a－b)2＋2(a－b)－2.
(1)改写为－x3－x2＋2x－2.
(2)由题意知x＝a－b＝2，所以原式＝－23－22＋2×2－2＝－10.
【关键问答】
①不是，不是．
②是．
