3.1.1 随机事件的概率
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列事件中，不可能事件为( )
A．三角形内角和为180°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
解析：若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
答案：C
2．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0，1]之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：由概率与频率的有关概念知，C正确．
答案：C
3．“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
解析：掷出的3枚骰子全是6点，可能发生．但发生的可能性较小．
答案：D
4．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是( )
A．3件都是正品 B．至少有一件是次品
C．3件都是次品 D．至少有一件是正品
解析：12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件．
答案：D
二、填空题
5．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，不同的结果共有____________个．
解析：结果：(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)．
答案：3
6．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
解析：设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验．
答案：500
7．已知α，β，γ是不重合的平面，a，b是不重合的直线，判断下列说法正确的是________．
(1)“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件；
(2)“若a∥b，a?α，则b∥α”是必然事件；
(3)“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件；
(4)“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件．
解析：(1)错误，因为?b⊥α，故是必然事件，不是随机事件．
(2)错误，因为?b∥α或b?α，故是随机事件，不是必然事件．
(3)错误，因为当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故是随机事件，不是必然事件．
(4)正确，因为如果两条直线垂直于同一平面，则此两直线必平行，故此是不可能事件．
答案：(4)
三、解答题
8．从含有两个正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有可能结果；
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A对应的结果．
解：(1)试验所有结果：(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，b1)，(a2，a1)，(b1，a1)，(b1，a2)．共6种．
(2)事件A对应的结果为：(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．
9．某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
解：(1)当x＝1时，y＝2，3，4；当x＝2时，y＝1，3，4；当x＝3时，y＝1，2，4；当x＝4时，y＝1，2，3.因此，这个试验的所有结果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号是2”为事件A，
则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．
B级 能力提升
1．某医院治疗一种疾病的治愈率为.那么，前4个病人都没有治愈，第5个患者治愈的概率是( )
A．1 B. C. D．0
解析：每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人被治愈的概率仍为.
答案：B
2．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为________．
解析：P＝＝0.03.
答案：0.03
3．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6 000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
解：(1)因为20×400＝8 000，
所以摸到红球的频率为：＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论频率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个，根据题意得：
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．
所以估计袋中红球接近15个．
3.1.2 概率的意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．
答案：A
2．事件A发生的概率接近于0，则 ( )
A．事件A不可能发生 B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生 D．事件A发生的可能性很大
答案：B
3．一枚质地均匀的硬币如果连续抛掷100次，那么第99次出现反面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
解析：由于每次试验出现正、反面朝上的概率是相等的，均为.
答案：C
4．从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
解析：抽出的样本中次品的频率为，即10%，所以样本中次品率为10%，所以总体中次品率大约为10%.
答案：D
5．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( )
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
解析：落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．
答案：A
二、填空题
6．利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为________．(保留两位小数)
解析：所求概率为≈0.21.
答案：0.21
7．给出下列三个结论：
①小王任意买1张电影票，座号是3的倍数的可能性比座号是5的倍数的可能性大；
②高一(1)班有女生22人，男生23人，从中任找1人，则找出的女生可能性大于找出男生的可能性；
③掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相同．
其中正确结论的序号为________．
答案：①③
8．某地区牛患某种病的概率为0.25，且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药________(填“有效”或“无效”)．
解析：若此药无效，则12头牛都不患病的概率为(1－0.25)12≈0.032，这个概率很小，故该事件基本上不会发生，所以此药有效．
答案：有效
三、解答题
9．某转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
①如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
②为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
解：①为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
②为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
10．社会调查人员希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．
1965年Stanley·L.Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法．Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题，两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的，另一个是无关紧要的，这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题．
假如在调查运动员服用兴奋剂情况的时候，无关紧要的问题是：你的身份证号码的尾数是奇数吗；敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗．然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
例如我们把这个方法用于200个被调查的运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂．
解：因为掷硬币出现正面的概率是0.5，大约有100人回答了第一个问题，因为身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂．
B级 能力提升
1．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类．在我国的云南及周边各省都有分布．春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了9 000只小蜜蜂和1 000只黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1 000只小蜜蜂和9 000只黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理( )
A．甲 B．乙
C．甲和乙 D．以上都对
解析：从养蜂人甲放的蜜蜂中，捕获一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，而从养蜂人乙放的蜜蜂中，捕获一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，所以，现在捕获的这只小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大．
答案：B
2．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)．
492 496 494 495 498
497 501 502 504 496
497 503 506 508 507
492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为________．
解析：袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25.
答案：0.25
3．设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？
(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？
解：父母的基因分别为rd，rd.则孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性为rr，rd，rd，dd，共4种，故具有dd基因的可能性为，具有rr基因的可能性也为，具有rd基因的可能性为.
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是.
(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为.
3.1.3 概率的基本性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分
C．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒
D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
答案：C
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
解析：结合对立事件可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即至多有一张移动卡．
答案：A
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析：甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.
答案：D
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A?D B．B∩D＝?
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝(至少有一弹击中飞机)，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.
答案：D
5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
解析：由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
答案：D
二、填空题
6．同时掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是________．
解析：记既不出现5点也不出现6点的事件为A，则P(A)＝，5点或6点至少有一个的事件为B.
因A∩B＝?，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故5点或6点至少有一个出现的概率为.
答案：
7．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析：设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝.
答案：
8．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．
解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为
P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
三、解答题
9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表所示．
医生人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生至少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋z＝0.44，
所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等侯”为事件D，“4人排队等侯”为事件E，“5人及5人以上排队等侯”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C.
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝
0．1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：记“至少3人排队等侯”为事件H，则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：记“至少3人排队等侯”为事件H，则其对立事件为事件G，
所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
B级 能力提升
1．从1，2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．
答案：C
2．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．
解析：P(A)＋P(B)＝1－＝，
又P(A)＝2P(B)，
所以P(A)＝，P(B)＝.
所以P()＝1－P(A)＝.
答案：
3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A、B、C、D，则有
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.
3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
答案：C
2．小明同学的QQ密码是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )
A. B. C. D.
解析：只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是.
答案：D
3．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．
答案：D
4．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B 中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是( )
A. B. C. D.
解析：A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，
所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.
答案：C
5．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
解析：10个数据落在区间[22，30)内的数据有22，22，27，29共4个，因此，所求的频率即概率为＝0.4.故选B.
答案：B
二、填空题
6．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．
解：总的取法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种．
故所求概率为＝.
答案：
7．分别从集合A＝{1，2，3，4}和集合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________．
解析：基本事件总数为4×4＝16，记事件M＝{两数之积为偶数}，则M包含的基本事件有12个，从而所求概率为＝.
答案：
8．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
解析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为×＝.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为×＝.
答案：
三、解答题
9．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据(单位：人)如下表所示．
项目
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加一个社团的共有45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
10．(2015·天津卷)设甲、乙、丙3个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这3个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这3个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设事件A为“编号为A5和A6的2名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
B级 能力提升
1．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
答案：C
2．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
解析：2本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，由Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为＝.
答案：
3．(2016·山东卷)某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解：用数对(x，y)表示儿童两次转动转盘记录的数，其活动记录与奖励情况如下：
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
显然，基本事件总数为16.
(1)xy≤3情况有5种，所以小亮获得玩具的概率＝.
(2)xy≥8情况有6种，所以获得水杯的概率＝＝.
所以小亮获得饮料的概率＝1－－＝＜，即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
3.3.2 均匀随机数的产生
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )
A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型．
答案：A
2．有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：A中奖概率为，B中奖概率为，C中奖概率为，D中奖概率为.
答案：A
3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 B．0.004
C．0.002 D．0.005
答案：D
4．在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B. C. D.
解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P(A)＝.
答案：A
5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( )
A. B. C. D.
解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心、1为半径的圆内．所以所求的概率为＝.
答案：B
二、填空题
6．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为________．
解析：欲使f(x)＝log2x≥0，
则x≥1，而x∈，所以x0∈[1，2]，
从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝.
答案：
7．已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC
解析：由VP-ABC答案：
8．有一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m的概率是________．
解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点．
如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件A发生的概率P(A)＝.
答案：
三、解答题
9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
解：如下图所示，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形．图中的阴影部分表示事件A“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．
问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．
因为S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，
S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，
所以S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，
根据几何概型的概率公式，得P(A)＝＝≈0.31.
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.
求AM解：这是几何概型问题且射线CM在∠ACB内部．
在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝＝67.5°.
设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM所以P(A)＝＝.
B级 能力提升
1．(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B. C. D.
答案：C
2．已知直线y＝x＋b的横截距在[－2，3]内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是________．
解析：所有的基本事件构成的区间长度为3－(－2)＝5，
因为直线在y轴上的截距b大于1，
所以直线横截距小于－1，
所以“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为－1－(－2)＝1，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P＝.
答案：
3.如图所示，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率．
解：(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为.
(2)如下图所示，连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP.易求得OD＝2.
当点S在线段MP上时，S△ABS＝×2×8＝8，
所以只有当点S落在阴影部分时，△SAB的面积才能大于8，而S阴影＝S扇形MOP－S△OMP＝··42－×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8的概率为＝.
