2.1.1 平面
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：A中图形没有画出两平面的交线，故不正确；B，C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画，也不正确．
答案：D
2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )
A．0 B．1
C．1或4 D．无法确定
解析：若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是4，故空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4.故选C.
答案：C
3．下列图形中，不一定是平面图形的是( )
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四边相等的四边形
解析：三角形有两条相交直线，梯形和菱形中都有两条平行直线，所以它们均为平面图形，而四边相等的四边形不一定是平面图形．
答案：D
4．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则 ( )
A．l?α B．l?α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：因为M∈l，N∈l，且M∈α，N∈α，所以l?α.
答案：A
5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．
答案：D
二、填空题
6．设平面α与平面β交于直线l，A∈Q，B∈β.且AB∩l＝C，则AB∩β＝________．
解析：因为A∈α，B∈α，AB∩l＝C，所以C∈AB，又因为C∈l，l?β，所以C∈β，所以AB∩β＝C.
答案：C
7．下列命题中，不正确的是________(填序号)．
①一直线与两平行直线都相交，那么这三条直线共面；
②三条两两垂直的直线共面；
③两两相交直线上的三个点确定一个平面；
④每两条都相交但不共点的四线共面．
解析：三条两两垂直的直线最多可确定三个平面，故②错误；两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面，故③错误；①④正确．
答案：②③
8.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH＝Q，那么Q在直线________上．
解析：若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.
答案：AC
三、解答题
9．如图所示，已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝M，BC∩α＝N，AC∩α＝P.求证：M，N，P三点共线．
证明：因为AB∩α＝M，所以M∈AB，M∈α.
又因为AB?平面ABC，所以M∈平面ABC.
所以点M是平面ABC与α的公共点．
所以点M在平面ABC与α的交线上．
同理可证，点N，P也在平面ABC与α的交线上．
所以M，N，P三点共线．
10.如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，求证：直线EF，GH，AC交于一点．
证明：因为AE＝EB，AH＝HD，
所以EH∥BD，且EH＝BD.
因为＝＝，所以FG∥BD，且FG＝BD.
所以EH∥FG，且EH≠FG，故四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交，设交点为P，P∈平面ABC，又P∈平面DAC，又平面ABC∩平面DAC＝AC，故P∈AC，即EF，GH，AC交于一点．
B级 能力提升
1．下列四个命题：
(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
(2)两条直线可以确定一个平面；
(3)若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：(1)错，如果两个平面有三个公共点，那么这三个公共点共线，或这两个平面重合；
(2)错，两条平行或相交直线可以确定一个平面；
(3)对；
(4)错，空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内．
答案：A
2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，C1C，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则下列各组中的四个点在同一个平面上的是________．
①A，C，O1，D1；②D，E，G，F；③A，E，F，D1；④G，E，O1，O2.
解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，C1C，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，①所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内；②因为E，G， F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F不共面；③由已知可得EF∥AD1，所以A，E，F，D1共面；④连接GO2，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面．
答案：①③④
3．如图所示，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面．
证明：连接EF，QG，A1C1，EH，
因为E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，
所以EF∥A1C1∥QG，同理可证FG∥EH.
设E，F，Q，G确定平面α，F，G，E，H确定平面β，由于α与β都经过不共线的三点E，F，G，所以α与β重合，即E，F，G，H，Q五点共面，同理可证E，F，G，P，Q五点共面，
所以E，F，G，H，P，Q共面．
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝
60°，则β＝( )
A． 60° B．120°
C．30° D．60°或120°
解析：由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.
答案：D
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1， OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：由于∠AOB与∠A1O1B1是空间角，不一定在同一平面上，如图①.
图①
此时OB与O1B1不平行．
若这两个角在同一平面上时，如图②，OB∥O1B1且方向相同；如图③，OB与O1B1不平行．
图② 图③
综上所述，OB与O1B1不一定平行，故选D.
答案：D
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：连接BD，B1D1，D1C知△D1B1C是等边三角形，所以D1B1与B1C所成角为60°，故B1C与EF所成角也是60°
答案：C
4．空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( )．
A．90° B．60° C．45° D．30°
解析：∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.
答案：A
5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
解析：如图所示，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．
答案：D
二、填空题
6．在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
解析：以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．
答案：8
7．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．
解析：如题干图①中，GH∥MN，因此，GH与MN共面．图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面．图③中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面．图④中，G，M，N三点共面，但H?平面GMN，所以GH与MN异面．所以图②，④中GH与MN异面．
答案：②④
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是∠EAD.连接DE，
在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝a，AE＝＝a，故cos∠EAD＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题
9．如图，已知长方体的长和宽都是4 cm，高是4 cm.
(1)求BC和A′C′所成的角的度数．
(2)求AA′和BC′所成的角的度数．
解：(1)在长方体中，BC∥B′C′，
所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角．
因为A′B′＝B′C′＝4 cm，∠A′B′C′＝90°，
所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°.
(2)在长方体中，AA′∥BB′，
所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角．
因为BB′＝4 cm，B′C′＝4 cm，
所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°.
10.如图，已知棱长为a的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
证明：如图，连接AC.
因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，
所以MN是三角形的中位线，
所以MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质得AC∥A1C1，AC＝A1C1，
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，
所以四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又ND∥A1D1，
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角．
所以∠DNM＝∠D1A1C1.
[B级 能力提升]
1．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．0°
解析：将三角形折成空间几何体，如图所示，HG与IJ是一对异面直线．由已知得IJ∥AD，HG∥DF，
所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角，又∠ADF＝
60°，
所以HG与IJ所成的角的度数为60°.
答案：B
2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
3.若空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成的角的余弦值．
解：取BD的中点F，连接EF， AF，
又E为BC的中点，
所以EF綊CD，
所以∠AEF或其补角为异面直线AE与CD所成的角，设空间四边形的棱长为a，则AE＝AF＝a，EF＝，
所以cos∠AEF＝＝＝.
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．经过平面外到平面距离相等的两点与这个平面平行的平面( )
A. 只有一个 B．至少有一个
C．可能没有 D．有无数个
解析：这样的两点可能在平面的同侧，此时有一个平面，也可能在平面的两侧，此时没有．故选C.
答案：C
2．过平面外一条直线作平面的平行平面( )
A．必定可以并且只可以作一个
B．至少可以作一个
C．至多可以作一个
D．一定不能作
解析：因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行．当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．
答案：C
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在 B．有1条
C．有2条 D．有无数条
解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，则它们都与平面D1EF平行，故选D.
答案：D
4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A．都平行 B．都相交
C．在两平面内 D．至少和其中一个平行
解析：若该直线不属于任何一个平面，则其与两平面平行；若该直线属于其中一个平面，则其必和另一个平面平行．
答案：D
5．平面α与平面β平行且a?α，下列三种说法：①a与β内的所有直线都平行；②a与β平行；③a与β内的无数条直线平行，其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为α∥β，a?α，所以a与β无公共点，所以a∥β，故②正确，所以a与β内的所有直线都没有公共点，所以a与β内的直线平行或异面，故①不正确，③正确．
答案：C
二、填空题
6．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
解析：如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
答案：3
7．若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个．
解析：
当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个．
答案：1
8．若平面α与平面β平行，a?α，b?β，则a与b的位置关系是________．
解析：由两平面平行的定义可知，a与b没有公共点，所以a与b平行或异面．
答案：平行或异面
三、解答题
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，指出B1C，D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系．
解：B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是：
B1C是平面BB1C1C内，B1C∥平面AA1D1D，B1C与平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD，平面A1B1C1D1都相交．
D1B所在直线与正方体各面所在平面都相交．
10.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
证明：如图，过点E作EN⊥CD于点N，连接NB并延长，交EF的延长线于点M，连接AM，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，
因此EF与BN相交，交点为M.
因为M∈EF，且M∈NB，
而EF?平面AEF，NB?平面ABCD，
所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．
又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，
所以AM为这两平面的交线．
B级 能力提升
1．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥β，b∥β?a∥b；③a∥c，c∥α?a∥α；④a∥β， a∥α?α∥β；⑤a?α，b?α，a∥b?a∥α.
其中正确的命题是( )
A．①⑤ B．①②
C．②④ D．③⑤
解析：由公理4知①正确，由直线与平面平行的位置关系知⑤正确，从而选A.其中②是错误的，因为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异面，③是错误的．因为当a∥c，c∥α时，可能a∥α，也可能a?α，对于④，α，β可能平行，也可能相交．
答案：A
2．给出下列命题：
①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；
②两个平面的交线可能是一条线段；
③经过空间任意三点的平面有且只有一个；
④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．
其中正确命题的序号为________．
解析：两个平面相交，则两个平面就是一条公共的交线，故①②错误；若空间中的任意三点在一条直线上，则经过这三点就有无数个平面，故③错误；④是正确的．
答案：④
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交．
证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，
所以EC与B1B不平行，则延长CE与BB1必须相交于一点H，
所以H∈EC，H∈B1B.
又知B1B?平面ABB1A1，CE?平面CDFE，
所以H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，
故平面ABB1A1与平面CDFE相交．
2.2.2 平面与平面平行的判定
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥β”的是( )
解析：A中不能正确表达b?β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．
答案：D
2．能保证直线与平面平行的条件是( )
A．直线与平面内的一条直线平行
B．直线与平面内的所有直线平行
C．直线与平面内的无数条直线平行
D．直线与平面内的所有直线不相交
解析：A不正确，因为直线可能在平面内；B不正确；C不正确，直线也可能在平面内；D正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．
答案：D
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
解析：MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.
答案：B
4．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α，β还有可能相交，所以选B.
答案：B
5.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且＝，如图所示，则BC与平面α的关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．BC?α
解析：因为＝，所以ED∥BC，又DE?α，BC?α，
所以BC∥α.
答案：A
二、填空题
6．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________．
解析：因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC.又因为AC?平面DEF，EF?平面DEF，所以AC∥平面DEF.
答案：平行
7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为________．
解析：设所求截面四边形为EFGH，且F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，所以EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.所以截面四边形EFGH的周长为2×(4＋6)＝20.
答案：20
8．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；
③平面BDM∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．
答案：①②③④
三、解答题
9.如图，P是△ABC所在平面外一点，A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．求证：平面A′B′C′∥平面ABC.
证明：如图，连接PA′，PC′，并延长，分别交BC，AB于M，N，连接MN.
因为A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，
所以PA′＝PM，PC′＝PN，
所以A′C′∥MN，所以A′C′∥平面ABC.
同理，A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′＝A′，
所以平面A′B′C′∥平面ABC.
10.如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，点E在棱PC上运动．问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明．
解：当E为PC中点时，PA∥平面EBD.
证明：连接AC，且AC∩BD＝O，
因为四边形ABCD为正方形，
所以O为AC的中点，
又E为PC的中点，
所以OE为△ACP的中位线．
所以PA∥EO.
又PA?平面EBD，
所以PA∥平面EBD.
B级 能力提升
1．如图所示，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
① ②
③ ④
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案：B
2．已知a和b是异面直线，且a?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ?β＝l，则l?β，
因为a∥β，所以a与l无公共点，
所以a∥l，所以l∥α.
又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
答案：平行
3.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是正方体，画出图中有阴影的平面与平面ABCD的交线．
解：如图所示，延长DC，过点C1作C1P∥A1B交DC的延长线于点P，连接BP，则BP即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
2.2.3 直线与平面平行的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l∥平面α， P∈α，那么过点P且平行于l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
解析：如图所示，
因为l∥平面α，P∈α，
所以直线l与点P确定一个平面β，
α∩β＝m，
所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的．
答案：B
2．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：若l∥α，则l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…；若l∩α＝P，则a，b，c，…交于点P.
答案：D
3．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( )
A．有公共点 B．没有公共点
C．平行 D．平行或相交
答案：D
4.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
解析：因为E，F分别是AA1，BB1的中点，
所以EF∥AB.
又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.
又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
所以AB∥GH.
答案：A
5.如图所示，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
解析：因为MN∥平面PAD，MN?平面PAC，
平面PAD∩平面PAC＝PA，
所以MN∥PA.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG.则EH与BD的位置关系是______．
解析：因为EH∥FG，FG?平面BCD，EH?平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
答案：平行
7.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：由于在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.
又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，
所以F为DC的中点，
所以EF＝AC＝.
答案：
8．如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
解析：因为AC∥面A1B1C1D1，根据线面平行的性质知l∥AC.
答案：平行
三、解答题
9．如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点，求证AM∶MC＝BN∶ND.
证明：连接AD交α于点P，连接MP，NP，
因为CD∥α，面ACD∩α＝MP，
所以CD∥MP，所以＝.
同理可得NP∥AB，＝，
所以＝.
10．如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.
图①
证明：法一 连接AB′，AC′，如图①所示由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′的中点．
又N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，
所以MN∥平面A′ACC′.
法二 取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图②所示，因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，
图②
所以MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN?平面MPN，
所以MN∥平面A′ACC′.
B级 能力提升
1．下列命题中，正确的命题是( )
A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B．若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C．若a?α，则a与α有无数个公共点
D．若a?α，则a与α没有公共点
解析：对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错．
答案：C
2．对于平面M与平面N，有下列条件：①M、N都垂直于平面Q；②M、N都平行于平面Q；③M内不共线的三点到N的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥M，m∥N；⑤l，m是异面直线，且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，则可判定平面M与平面N平行的条件是________(填正确结论的序号)．
解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M∥N.
答案：②⑤
3.如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：l∥BC.
(2)问：MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
证明：(1)因为BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥BC.
(2)平行．
如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE.
因为N是PC的中点，所以EN綊CD.
因为M为?ABCD边AB的中点，
所以AM綊CD.
所以EN綊AM，所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE.
又MN?平面PAD，AE?平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
2.2.4 平面与平面平行的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a、b平行．
答案：A
2．已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，B1，D1的平面与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论中错误的是( )
A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1
C．l∥平面A1B1C1D1 D．l⊥B1C1
解析：因为正方体的上底面与下底面平行，由面面平行的性质定理可得选项A正确，再由线面平行的判定定理可得选项B、C正确．选项D错误，因为D1B1∥l，所以l与B1C1所成角是45°.
答案：D
3．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．无法判断
解析：因为AD∥BC所以ABCD共面，由面面平行的性质定理知AB∥CD.
答案：A
4．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
解析：易知平面ABC∥平面A′B′C′，
所以AC∥A′C′，BC∥B′C′，AB∥A′B′.
所以△A′B′C′∽△ABC.
又因为PA′∶AA′＝2∶3，
所以＝＝.
所以＝.
答案：B
5．下列说法正确的个数是( )
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；
②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；
③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；
④平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①正确；②错误，这两条相等的线段可能相交或异面；③错误，直线可能在另一个平面内；④正确．
答案：B
二、填空题
6.如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．
解析：在三棱柱ABC-A′B′C′中，A′B′∥AB，AB?平面ABC，A′B′?平面ABC，所以A′B′∥平面ABC.
又A′B′?平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，
所以A′B′∥a.故填平行．
答案：平行
7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
解析：因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
答案：平行四边形
8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．
解析：由题意知，因平面α∥平面BC1E，
所以A1F綊BE，
所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，
所以B1E＝FA＝1.
答案：1
三、解答题
9.如图所示，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．
证明：如图，在平面A1ADD1中，作EG∥AD交D1D于点G，连接GC，易证EG綊AD綊BC，
所以四边形GEBC为平行四边形，所以EB綊GC.
又AE＝C1F，所以D1G綊FC，
所以四边形D1GCF为平行四边形，
所以D1F綊GC，所以EB綊D1F，
所以四边形EBFD1是平行四边形．
10.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.
求证：四边形EFHG是平行四边形．
证明：因为AB∥α，平面ABC∩α＝EG，
所以EG∥AB.同理FH∥AB.
所以EG∥FH，
又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，
所以GH∥CD.同理EF∥CD.
所以GH∥EF.
所以四边形EFHG是平行四边形．
B级 能力提升
1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥a，且b∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
解析：A项中，α∩β＝a，b?α，则a，b可能平行也可能相交；B项中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，且b∥β，也可能b在平面α或β内；C项中，a∥β，b∥β，a?α，b?α，根据面面平行的判定定理，若再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β；D项为面面平行的性质定理的符号语言，正确．
答案：D
2．如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，
所以N为AB的中点(如图)，
所以该截面为等腰梯形MNCD1；
因为正方体的棱长为2，
易知，MN＝，CD1＝2，
MD1＝，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝
＝.
所以截面面积为(＋2)×＝.
答案：
3.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
证明：如图，设FC中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.
又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.
2.3.1 直线与平面垂直的判定
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．
答案：D
2．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：若l∥m，l?α，m?α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．
答案：A
3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A．①③ B．②
C．②④ D．①②③
解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．
答案：A
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
答案：C
5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：??
BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.
答案：D
二、填空题
6．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________
(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．
解析：P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
答案：外心
7．已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为________．
解析：因为S-ABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，则∠SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在Rt△SOA中，AO＝·asin 60°＝a，SA＝a，
所以cos∠SAO＝＝.
答案：
8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
解析：因为EA⊥α，CD?α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同样，因为EB⊥β，CD?β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
所以CD⊥平面AEB.
又因为AB?平面AEB，所以CD⊥AB.
答案：CD⊥AB
三、解答题
9．如图所示，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，求直线CE与底面BCD所成的角的正弦值．
解：设正四面体ABCD的棱长为1，如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O是△BCD的中心，故OD＝×＝.
取OD的中点G，连接EG，
因为EG∩OD＝G，则EG⊥平面BCD.连接CG，于是∠ECG就是直线CE与底面BCD所成的角．
因为EG＝AO＝＝× ＝，又CE＝，
所以sin∠ECG＝＝＝.
所以直线CE与底面BCD所成的角的正弦值为.
10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证： AE⊥BE.
证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，
所以BC⊥平面ABE.
又AE?平面ABE，所以AE⊥BC.
因为BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以AE⊥BF.
又因为BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，
所以AE⊥平面BCE.
又BE?平面BCE，所以AE⊥BE.
B级 能力提升
1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
答案：B
2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥面BB1C1C.
所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，
设AB＝a，则AE＝a，DE＝，
有tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.
答案：60°
3．(2016·全国卷Ⅱ改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，
OD′＝.
证明：D′H⊥平面ABCD.
证明：由已知得AC⊥BD，AD＝ CD，
又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF.
因为EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝，
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.
2.3.2 平面与平面垂直的判定
A级 基础巩固
一、选择题
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )
A．相等 B．互补
C．不确定 D．相等或互补
答案：C
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.
又m?α，所以α⊥β.
答案：C
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：
①a∥b，a∥α?b∥α；
②a⊥b，a⊥α?b∥α；
③a∥α，β∥α?a∥β；
④a∥α，β⊥α?a∥β
其中不正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①中b?α有可能成立，所以①不正确；②中b?α有可能成立；故②不正确；③中a?β有可能成立，故③不正确；④中a?β有可能成立，故④不正确．综上①②③④均不正确，故选D.
答案：D
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.
又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.
答案：D
5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β
B．α⊥γ，β⊥γ?α∥β
C．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n
D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β
解析：α∥β，m⊥α?m⊥β，n∥β?m⊥n.
答案：C
二、填空题
6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．
解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA?α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.
答案：面面垂直的判定定理
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.
答案：45°
8．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝
90°，二面角B-PA-C的大小等于________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，
所以∠BAC是二面角B-PA-C的平面角．
又∠BAC＝90°，
则二面角B-PA-C的大小等于90°.
答案：90°
三、解答题
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
所以AB⊥平面PAC.
又因为AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC.
10．如图所示，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
(1)证明SO⊥平面ABC；
(2)求二面角A-SC-B的余弦值．
(1)证明：如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.
连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA＝OB＝OC＝SA，且AO⊥BC.
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO＝SA.
从而OA2＋SO2＝SA2，
所以△SOA为直角三边形，SO⊥AO.
又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.
(2)解：取SC的中点M，连接AM，OM.
由(1)知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.
所以∠OMA为二面角A-SC-B的平面角．
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，
得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.
又AM＝SA，AO＝SA，
故sin∠AMO＝＝＝.
所以二面角A-SC-B的余弦值为.
B级 能力提升
1．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.
又因为AD?平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.
答案：D
2．若P是△ABC所在平面外一点，△PBC和△ABC都是边长为2的等边三角形，PA＝，则二面角P-BC-A的大小为________．
解析：如图，由于△PBC和△ABC都是边长为2的等边三角形，故取BC的中点O，连接PO，AO，所以PO⊥BC，AO⊥BC.由二面角的平面角的定义知，∠POA为二面角P-BC-A的平面角，分别在两个三角形中求得PO＝AO＝.在△PAO中，PO2＋OA2＝6＝PA2，所以∠POA＝90°，即二面角P-BC-A的大小为90°.
答案：90°
3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：
(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明：(1)因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE为△ABC的中位线，
所以DE∥AC.
因为ABC-A1B1C1为棱柱，
所以AC∥A1C1.
所以DE∥A1C1.
因为A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F，
所以DE∥平面A1C1F.
(2)因为ABC-A1B1C1为直棱柱，
所以AA1⊥平面A1B1C1，
所以AA1⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1?平面AA1B1B.
所以A1C1⊥平面AA1B1B.
因为DE∥A1C1，
所以DE⊥平面AA1B1B.
又因为A1F?平面AA1B1B，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥B1D，DE∩B1D＝D，且DE，B1D?平面B1DE，
所以A1F⊥平面B1DE.
又因为A1F?平面A1C1F，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
2.3.4 平面与平面垂直的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．
答案：D
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：对于A，若m⊥n，n∥α，则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故A错误；对于B，若m∥β，β⊥α则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故B错误；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，又n⊥α，则m⊥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故D错误．
答案：C
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．a∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．
答案：D
4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
解析：由线面垂直的性质可得．
答案：B
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE?平面ACC1A1，所以BD⊥CE.
答案：B
二、填空题
6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：
①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确的个数为________．
解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b?α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a?α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．
答案：4
8．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：如图，连接BC.因为二面角α-l-β为直二面角，AC?α，且AC⊥l，α∩β＝l，
所以AC⊥β.
又BC?β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.
又BD⊥CD，所以CD＝＝.
答案：
三、解答题
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC，
而AE?平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD，而PD?平面PDC，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE＝A，
所以PD⊥平面ABE.
10．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.
故四棱锥P-ABCD的体积
VP-ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
由题设得x3＝，故x＝2.
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为
PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.
B级 能力提升
1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.
给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A．①与② B．①与③
C．②与③ D．③与④
解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.
答案：B
2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，
可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
答案：2
3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC
＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积．
(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.
(2)解：如图，
取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x，如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，
所以PN＝x.
因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱锥P-ABCD的体积V＝××2＝4.
