3.1.1 倾斜角与斜率
A级 基础巩固
一、选择题
1．给出下列说法，正确的个数是( )
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错，不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．
答案：A
2．已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为( )
A．α B．90°－α
C．180°－α D．90°＋α
解析：根据倾斜角的定义，结合图形知所求直线的倾斜角为
180°－α.
答案：C
3．若直线过点M(1，2)，N(4，2＋)，则此直线的倾斜角为( )
A．30° B．4 5° C．60° D．90°
解析：因为直线过点M(1，2)，N(4，2＋)，
所以该直线的斜率为k＝＝，
即tan α＝，0°≤α＜180°，
所以该直线的倾斜角为α＝30°.
答案：A
4．直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[0，2] B．[0，1] C. D.
解析：如图所示，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0，2]．
答案：A
5．斜率为2的直线经过点A(3，5)、B(a，7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为( )
A．4，0 B．－4，－3
C．4，－3 D．－4，3
解析： 由题意，得即
解得a＝4，b＝－3.
答案：C
二、填空题
6．直线l的斜率为k，倾斜角是α，－1＜k＜1，则α的取值范围是________．
解析：由题意即已知－1＜tan α＜1，0°≤α＜180°，求出α即可．
答案：∪
7．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
解析：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围(90°，180°)．
答案：(90°，180°)
8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________．
解析：因为A，B，C三点共线，所以＝，所以(a－2)(b－2)＝4，即ab＝2a＋2b＝2(a＋b)，所以＋＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
解：因为k2＝kMN＝＝1，
所以l2的倾斜角为45°，
又l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，
故这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°.
10．求过下列两点的直线l的斜率k：
(1)A(a，b)，B(ma，mb)(m≠1，a≠0)；
(2)P(4，2)，Q(2m，1)
解：(1)因为m≠1，a≠0，
所以k＝＝＝.
(2)当m＝2时，斜率k不存在；
当m≠2时，k＝＝.
B级 能力提升
1．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
解析：由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；又0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图所示)，故选D.
答案：D
2．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是________．
解析：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a－3，b＋1)，此时直线PQ与l重合，
故l的斜率k＝kPQ＝＝－.
答案：－
3．设直线l过点A(7，12)，B(m，13)，求直线l的斜率及倾斜角的取值范围．
解：设直线l的斜率为k，倾斜角为θ.
①当m＝7时，直线l与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°.
②当m≠7时，k＝＝.
若m>7，则>0，即k>0，所以θ∈(0°，90°)；
若m<7，则<0，即k<0，所以θ∈(90°，180°)．
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：
(1)若l1∥l2，则斜率k1＝k2；(2)若斜率k1＝k2，则l1∥l2；
(3)若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；(4)若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)(4)都可能是两条直线重合．(1)(3)正确，故选B.
答案：B
2．已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
解析：因为kMN＝＝－1，所以若直线PQ与直线MN平行，则＝－1，解得m＝－1.
答案：B
3．若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C. D．－
解析：由直线斜率的坐标公式，得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
答案：B
4．已知A(－2，9)，B(6，－15)，直线l∥AB，则直线l的倾斜角α为( )
A．60° B．120° C．45° D．135°
解析：因为kAB＝＝－，
所以α＝120°.
答案：B
5．由原点O向直线l作垂线，垂足为M(－2，1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
解析：kOM＝－，因为直线l与直线OM垂直，所以直线 l的斜率为2.
答案：C
二、填空题
6．已知直线l1的斜率k1＝3，直线l2过点A(3，－1)，B(4，y)， C(x，2)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________．
解析：由题意知
解得
答案：4 2
7．经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
解析：因为直线l与斜率为－4的直线互相垂直，所以＝，
所以m＝.
答案：
8．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x，0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，解得x＝1或x＝2，所以交点C的坐标是(1，0)或(2，0)．
答案：(1，0)或(2，0)
三、解答题
9．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°？
(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直？
(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行？
解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，解得m＝－或m＝1.
(2)由kAB＝，且＝3.
则＝－，解得m＝或m＝－3.
(3)令＝＝－2，
解得m＝或m＝－1.
10．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD.
解：设D(x，y)，则kCD＝，kAB＝3，kCB＝－2，kAD＝，
因为kCD·kAB＝－1，kAD＝kCB，
所以 ×3＝－1，＝－2，
所以x＝0，y＝1，即D(0，1)．
B级 能力提升
1．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以点A为直角顶点的直角三角形
D．以点B为直角顶点的直角三角形
解析：因为kAB＝＝－，kAC＝＝，
所以kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC，故应选C.
答案：C
2．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，且直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)．若l1⊥l2，则a＝________．
解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
因为直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
所以l2的斜率存在．
当k2＝0时，k1不存在，a－2＝3，则a＝5；
当k2≠0时，a≠5，此时k1存在，由k1·k2＝－1，
得·＝－1，
解得a＝－6.
综上可知，a的值为5或－6.
答案：5或－6
3．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
解：如图所示，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
又直线AB的斜率kAB＝＝
，
所以线段AB的垂直平分线l2的斜率为
k2＝.
因为l1与l2平行．
所以k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.
3.2.1 直线的点斜式方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于( )
A．2，3 B．－3，－3
C．－3，2 D．2，－3
解析：直线y＝2x－3为斜截式方程，其中斜率为2，截距为－3.
答案：D
2．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
解析：由题意知，所求直线斜率为－，又直线在y轴上的截距为4，故其方程为y＝－x＋4，故选D.
答案：D
3．过点(1，0)且与直线y＝x－1平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：由题意知，所求直线斜率为，故所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
答案：A
4．过点(－1，3) 且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
解析：在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.
答案：A
5．直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过定点( )
A．(－1，2) B．(2，1)
C．(1，－2) D．(1，2)
解析：由两直线垂直得m＝－1，把m＝－1代入y－2m＝m(x－1)得定点为(1，－2)．故选C.
答案：C
二、填空题
6．经过点(－3，2)，且与x轴垂直的直线方程为________________．
解析：与x轴垂直的直线其斜率不存在，故方程为x＝－3.
答案：x＝－3
7．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．
解析：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．
答案：(3，2)
8．若直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为________．
解析：直线y＝x＋1的斜率为1，则倾斜角为45°，所以直线l的倾斜角为90°，且l过点P(3，3)，所以直线l的方程x＝3.
答案：x＝3
三、解答题
9．已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l的截距与直线y＝x＋6的截距相同，求直线l的方程．
解：直线l与直线y＝x＋4互相垂直，所以直线l的斜率为－2，直线l的截距与直线y＝x＋6的截距相同，则其截距为6，
故直线l的方程为y＝－2x＋6.
10．已知斜率为2的直线l不过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，求直线l的方程．
解：依题意，设直线l的方程为y＝2x＋b，
又直线l不过第四象限，
所以b≥0，
对于直线l，令x＝0，则y＝b；
令y＝0则x＝－，
由已知，可得·|b|·＝4，
即|b|2＝16，所以b＝4(负值舍去)．
故直线l的方程为y＝2x＋4.
[B级 能力提升]
1．将直线l：x－y＋1＝0绕着点A(2，3)逆时针方向旋转90°，得到直线l1的方程是( )
A．x－2y＋4＝0 B．x＋y－1＝0
C．x＋y－5＝0 D．2x＋y－7＝0
解析：设l1的倾斜角为α，由题意，得l的倾斜角为45°，所以α＝135°，所以l1的斜率为－1，由点斜式得y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.
答案：C
2．已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是________．
解析：由已知得，直线l恒过定点P(2，1)，如图所示．
若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB.
因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，
所以－2≤k≤.
答案：
3．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为12，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－2，3)且斜率为正；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)(k＞0)，
令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－－2，
由题意可得|2k＋3|·|－－2|＝24，
得k＝，故所求直线方程为y＝x＋6.
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－2b.
由已知可得|b|·|－2b|＝24，解得b＝±2，
故所求直线方程为y＝x＋2或y＝x－2.
3.2.3 直线的一般式方程
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．直线Ax＋By＋C＝0，通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件( )
A．C＝0，AB<0 B．AC<0，BC<0
C．A，B，C同号 D．A＝0，BC<0
解析：由题意可知B≠0，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－x－.
因为直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，
所以则A，B，C同号．
答案：C
2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析：当截距都为0时，－2－a＝0，即a＝－2；当截距都不为0即a≠－2时，直线方程可变形为＋＝1，由已知有＝a＋2，解得a＝1.故a的值为－2或1.
答案：D
3．直线＋＝1与x，y轴所围成的三角形的周长等于( )
A．6 B．12
C．24 D．60
解析：直线＋＝1与两坐标轴交于A(3，0)，B(0，4)，所以AB＝5，所以△AOB的周长为OA＋OB＋AB＝3＋4＋5＝12.故选B.
答案：B
4．直线y＝3x＋6与直线y＝(m＋2)x＋3m－2平行，则直线y＝(m＋2)x＋3m－2在y轴上的截距为( )
A．1 B．2
C．－ D.
解析：因为两条直线平行，所以m＋2＝3，解得m＝1，把m＝1代入y＝(m＋2)x＋3m－2得其在y轴上的截距为1.故选A.
答案：A
5．过点P(1，4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意．当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1.
由题意得
解得或
综上符合题意的直线共有3条．
答案：C
二、填空题
6．过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为________，若点(a，12)在此直线上，则a＝________．
解析：过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为＝，
即x－y＋2＝0，点(a，12)在x－y＋2＝0上，a－12＋2＝0.
所以a＝10.
答案：x－y＋2＝0 10
7．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为__________________．
解析：设直线方程为y－2＝k(x＋2)，则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，2k＋2)，
所以··|2k＋2|＝1，
解得k＝－或k＝－2，
所求直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
8．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________．
解析：线段AB的中点为(1，1)，则m＋3－5＝0，即m＝2.
答案：2
三、解答题
9．直线l过点(1，2)和第一、第二、第四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
解：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，
所以直线l的方程为＋＝1，
因为点(1，2)在直线l上，
所以＋＝1，
解得：a1＝2，a2＝3，
当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、第二、第四象限；
当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、第二、第四象限．
综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.
10．已知直线l1：y＝x－，l2：y＝x＋.
(1)当a为何值时，l1⊥l2?
(2)是否存在实数a，使l1∥l2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：由题意，得k1＝， k2＝.
(1)因为l1⊥l2，所以·＝－1，
解得a＝－3，
所以当a＝－3时，l1⊥l2.
(2)不存在a满足题意．理由如下：
因为l1∥l2，所以＝，
即a(2a＋3)＝－(a－1)2，
所以3a2＋a＋1＝0.
又方程的判别式Δ＝－11<0，
所以方程3a2＋a＋1＝0无实根．
因此，不存在实数a，使l1∥l2.
B级 能力提升
1.已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A．b＞0，d＜0，a＜c
B．b＞0，d＜0，a＞c
C．b＜0，d＞0，a＞c
D．b＜0，d＞0，a＜c
解析：由题图可知直线l1、l2的斜率都大于0，
即k1＝－＞0，k2＝－＞0且k1＞k2，所以a＜0，c＜0且a＞c.
又l1的纵截距－＜0，l2的纵截距－＞0，
所以b＜0，d＞0.
答案：C
2．已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．
解析：直线l的斜率为k＝tan 45°＝1，则l1的斜率为－1，kAB＝＝－1，所以a＝6，由l1∥l2，得－＝－1，所以b＝2，所以a＋b＝8.
答案：8
3．求经过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程．
解：设直线在x轴与y轴上的截距分别为a，b，
(1)当a≠0，b≠0时，设直线方程为＋＝1，
因为直线经过点(4，－3)，所以－＝1，
因为|a|＝|b|，所以或
所以直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0.
(2)当a＝b＝0时，则直线经过原点及(4，－3)，
所以直线方程为3x＋4y＝0，
综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
第1课时 两直线的交点坐标、两点间的距离
A级 基础巩固
一、选择题
1．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．24
解析：在2x＋3y－k＝0中，令x＝0中得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
答案：C
2．已知点P(a，2)，A(－2，－3)，B(1，1)，且|PA|＝|PB|，则a的值为( )
A．－ B．－7
C．－5 D．4
解析：由于|PA|＝|PB|，所以＝
，化简得6a＝－27，
解得a＝－.
答案：A
3．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12 B．10
C．－8 D．－6
解析：将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0可求得m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得n＝5，所以m＋n＝10.
答案：B
4．过两直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0的交点，并且与直线l1垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
解析：直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与l1垂直，得斜率为，由点斜式得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0，故选B.
答案：B
5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2，3) B．恒过定点(2，3)
C．恒过点(－2，3)和点(2，3) D．都是平行直线
解析：(a－1)x－y＋2a＋1＝0化为ax－x－y＋2a＋1＝0，
因此－x－y＋1＋a(x＋2)＝0
由得
答案：A
二、填空题
6．无论m为何值，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0恒过一定点P，则点P的坐标为________．
解析：将直线l的方程整理得(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，
令得
即点P的坐标为(3，1)．
答案：(3，1)
7．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________．
解析：由中点坐标公式得，BC的中点坐标为(0，1)，所以BC边上的中线长为＝.
答案：
8．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程为________．
解析：由方程组
得
所以两条直线的交点为.
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
所以直线l的斜率k＝－3.
所以y－＝－3，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
答案：15x＋5y＋16＝0
三、解答题
9．点A在第四象限，点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标．
解：点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，故设A(a，－3)，a＞0，到原点的距离为5，所以＝5，解得a＝4，故点A的坐标为(4，－3)．
10．求经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
解：解方程组得交点(－4，3)，
因此可设所求直线方程为y－3＝k(x＋4)，即y＝k(x＋4)＋3.
令x＝0，得y＝4k＋3，令y＝0，得x＝－，
于是4k＋3＝－，即4k2＋7k＋3＝0，
解得k＝－或k＝－1，
故所求直线方程为3x＋4y＝0或x＋y＋1＝0.
B级 能力提升
1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：依题意a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)，B(－2y，y)，故则A(4，8)，B(－4，2)，所以|AB|＝＝10，故选B.
答案：B
2．等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边|BC|＝4，BC边的中点为D(5，4)，则腰长为________．
解析：|BD|＝|BC|＝2，|AD|＝＝2，
在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长为|AB|＝＝
2.
答案：2
3．已知点A(1，－1)，B(2，2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取最小值时P点的坐标．
解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.
当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P， 所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为.
第2课时 两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：因为线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，
所以线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，解得m＝3.
答案：C
2．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D．(2，＋∞)
解析：解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得解得m∈.
答案：C
3．光线从点A(－2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2)，则光线BC所在直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：点A(－2，)关于x轴对称的点为A′(－2，－)，由物理知识知kBC＝kA′C＝＝.所以光线BC所在直线的倾斜角为60°.
答案：B
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )
A．－2 B．－
C．2 D.
解析：解方程组得
代入方程x＋ky＝0得－1－2k＝0，所以k＝－.
答案：B
5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4 B．3，4
C．4，3 D．－4，－3
解析：由方程组得交点B(1，2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0，①
又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，
所以－＝－，②
由①②，得a＝3，b＝4.
答案：B
二、填空题
6．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1， a－4)，当|AB|取最小值时，a＝________．
解析：|AB|＝
＝
＝
＝
＝，
所以当a＝时，|AB|取最小值．
答案：
7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．
解析：由3a－4b＝1，解出b，代入ax＋by－2＝0，得a(4x＋3y)＝y＋8.
令解得
答案：(6，－8)
8．已知A(2，1)，B(1，2)，若直线y＝ax与线段AB相交，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，直线y＝ax的斜率为a且经过原点O，
因为直线y＝ax与线段AB相交，所以实数a的最小值为OA的斜率，最大值为OB的斜率，OA的斜率为，OB的斜率为2，故实数a的取值范围是.
答案：
三、解答题
9．已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，求边BC所在直线的方程．
解：设点A (－1，－4)关于直线y＋1＝0的对称点为A′(x1，y1)，则x1＝－1，y1＝2×(－1)－(－4)＝2，即A′(－1，2)，且A′在直线BC上．
再设点A(－1，－4)关于l2：x＋y＋1＝0的对称点为A″(x2，y2)，
则解得
即A″(3，0)也在直线BC上．
由直线方程的两点式得＝，即边BC所在直线的方程为x＋2y－3＝0.
10．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．
因为斜边BC的中点为M，
所以点M的坐标为，即.
由两点间的距离公式，得
|BC|＝＝.
|AM|＝＝
即|AM|＝|BC|.
B级 能力提升
1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ，的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，
由中点坐标公式知解得
从而可知直线l的斜率为＝－.
答案：B
2．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|＝________．
解析：易知A(0，－2)，B，
所以|AB|＝＝.
答案：
3．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m．应如何设计才能使草坪面积最大？
解：如图建立平面直角坐标系，
则E(30，0)，F(0，20)．
所以线段EF的方程是＋＝1(0≤x≤30)．
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，作PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝ (100－m)(80－n)．
又因为＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20，
所以S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
于是当m＝5时，S有最大值．
这时＝＝5.
故当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且＝5时，草坪的面积最大．
3.3.4 两条平行直线间的距离
A级 基础巩固
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A．3 B. C．3 D.
解析：点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝.
答案：D
2．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是( )
A．[－11，－1] B．[－11，0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
解析：y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意，得＝≤，且k＋2≠－4即k≠－6，得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1，且k≠－6.
答案：C
3．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C．3 D．6
解析：由题意知，|PQ|的最小值即为两平行线间的距离．
将6x＋8y＋6＝0化为3x＋4y＋3＝0，则|PQ|的最小值为d＝＝＝3.
答案：C
4．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
解析：根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，解得c＝0或c＝2.所以所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：D
5．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0C．0解析：当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0答案：B
二、填空题
6．点P(2，4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．
解析：点P到直线l的距离d＝＝3.
答案：3
7．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是____________．
解析：由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，
则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
答案：x－2y＋2＝0.
8．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5.
答案：5
三、解答题
9．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程．
解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
10．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得
|BC|＝＝2，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
故△ABC的面积为4.
B级 能力提升
1．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( )
A．3 B．2
C．3 D．4
解析：由题意，结合图形可知点M必然在直线x＋y－6＝0上，故M到原点的最小距离为＝3.
答案：A
2．直线x＝1上一点P到直线4x＋3y＝0的距离为，则点P的坐标是________．
解析：设P(1，y)，由已知得＝，
解得y＝－或y＝－2.
所以P点的坐标为，(1，－2)．
答案：，(1，－2)
3．直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程．
解：(1)若l1， l2的斜率存在，设直线的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，
即kx－y－5k＝0，
则点A到直线l2的距离d＝＝5，
所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，所以k＝.
所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
(2)若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上，满足条件的直线方程有两组：
或
