1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．下列关于棱柱的说法中正确的是( )
A．只有两个面相互平行 B．所有棱都相等
C．所有面都是四边形 D．各侧面都是平行四边形
解析：由棱柱的概念和结构特征可知选D.
答案：D
2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥
解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．
答案：D
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．
答案：D
4.如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
解析：观察图形可知，剩余部分是以A′为顶点，以四边形BCC′B′为底面的四棱锥，故选B.
答案：B
5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．
答案：A
二、填空题
6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．
解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．
答案：三棱锥(四面体)
7．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为________．
解析：上底面内的每个顶点与下底面内不在同一侧面的两个顶点的连线可构成正五棱柱的对角线，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以共2×5＝10(条)．
答案：10
8．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．
解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．
答案：2
9．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．
解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．
图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．
其图形如图所示．
B级 能力提升
1．观察如图所示的几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是棱锥
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
解析：①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台；②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥；③是棱锥，正确；④是棱柱．故选C.
答案：C
2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．
解析：由图知，标字母C的平面与标有A， B，D，E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若E面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.
答案：B
3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．
解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是 cm.
故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，那么这样的大圆有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
解析：因为经过球心的截面有无数个，且都是全等的大圆，故选D.
答案：D
2．如图所示的简单组合体的结构特征是( )
A．由两个四棱锥组合成的
B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的
D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．
答案：A
3．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．
答案：A
4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．①⑤
解析：当竖直平面过底面圆心时，截面图形是①；当竖直平面不过底面圆心时，截面图形可能是⑤.
答案：D
5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，
则2πr＝8，所以r＝；
同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，
所以r＝.所以选C.
答案：C
二、填空题
6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．
解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．
答案：圆锥
7．给出下列说法：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是____________(填序号)．
解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．
答案：②④
8．一个半球内有一个内接正方体，正方体的底面在半球的底面圆内．则当正方体的棱长为时，半球的直径为________．
解析：作轴截面如图所示，BC＝，AB＝＝2，
所以OB＝.
设半球的半径为R，则OC＝R.
又OC2＝OB2＋BC2，
所以R2＝()2＋()2＝9，
所以R＝3，故半球的直径为6.
答案：6
三、解答题
9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？
解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．
10.如图，圆台的母线AB的长为20 cm，上、下底面的半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．
解：作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由Rt△OPA与Rt△OQB相似，
得＝，
即＝，
解得OA＝20，
所以OB＝40.
设∠BOB′＝α，
由弧BB′的长与底面圆Q的周长相等，
得2×10×π＝π·OB·，
解得α＝90°.
所以在Rt△B′OM中，B′M2＝OB′2＋OM2＝402＋302＝502，
所以B′M＝50.
即所求绳长的最小值为50 cm.
B级 能力提升
1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．
所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．
答案：B
2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.
解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.
由球的性质，OO1⊥CD.
在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，
所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.
答案：9π
3．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm，求圆锥的母线长．
解：设圆锥的母线长为y cm，圆台上、下底面半径分别是x cm，4x cm.作圆锥的轴截面如图所示．
在Rt△SOA中，O′A′∥OA，所以SA′∶SA＝O′A′∶OA，
即(y－10)∶y＝x∶4x，解得y＝.
所以圆锥的母线长为 cm.
1.2.2 空间几何体的三视图
A级 基础巩固
一、选择题
1．以下关于投影的叙述不正确的是( )
A．手影就是一种投影
B．中心投影的投影线相交于点光源
C．斜投影的投影线不平行
D．正投影的投影线和投影面垂直
解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．
答案：C
2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是( )
解析：由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故C不可能．
答案：C
3．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
解析：由三视图可知，该几何体是一个放倒的直三棱柱，所以选B.
答案： B
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A．棱柱 B．棱台
C．圆柱 D．圆台
解析：先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.
答案：D
5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：所给选项中，A，C选项的俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项B符合，故选B.
答案：B
二、填空题
6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.
答案：②④
7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．
答案：②③
8．下图中的三视图表示的几何体是________．
解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．
答案：三棱柱
三、解答题
9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．
解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．
10．画出图中3个图形的指定视图．
解：如图所示．
B级 能力提升
1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是( )
答案：A
2．若一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________，________．
解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸2为俯视图等边三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.
答案：2 4
3．根据图中的物体的三视图，画出物体的形状．
解：由正视图和俯视图知该几何体是五棱台，如图．
1.2.3 空间几何体的直观图
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①水平放置的角的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：水平放置的平面图形不会改变形状，①正确；利用斜二测画法画直观图，∠x′O′y′＝45°或135°，所以直角可以变为
45°或者135°，②错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，所以③错；平行性不会改变，所以④正确．
答案：B
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于( )
A．45° B．135°
C．90° D．45°或135°
解析：因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°.在直观图中，由斜二测画法知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝
45°或135°，故选D.
答案：D
3．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为( )
A．2 B．2.5 C．3 D．4
解析：在直观图中，∠A′C′B′＝45°，A′C′＝3，B′C′＝2，所以在原图形中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2×2＝4，从而AB＝＝5，故AB边上的中线长为·AB＝＝2.5，故选B.
答案：B
4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm
解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.
答案：D
5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的( )
A. B．2倍 C. D.倍
解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．
答案：A
二、填空题
6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，
A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．
解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．
答案：直角
7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．
解析：△ABC中，∠A＝90°，
AB＝3，AC＝6，所以S＝×3×6＝9.
答案：9
8．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．
解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝＝10.
答案：10
三、解答题
9．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长．
解：平面图形，如图．
由斜二测画法可知，
OB＝2O′B′＝2 cm，
OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1 cm，
且AB∥OC，∠BOC＝90°，
所以四边形OABC为平行四边形，且
BC＝＝＝3 (cm)，
故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8 (cm)．
10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．
解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．
B级 能力提升
1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．
答案：C
2．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
解析：由四边形OPQR的直观图可知OR＝2，OP＝3，并且四边形OPQR为矩形，所以原四边形OPQR的周长为2(2＋3)＝10.
答案：10
3.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，
在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝.
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.
答案：B
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π B. C. D.
解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．
所以r＝＝.
所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.
故选B.
答案：B
3．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是( )
A. B. C. D．1
解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.
答案：A
4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
解析：由l＝×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝≈，所以米堆的体积V＝×πr2h＝××5＝(立方尺)，所以堆放的米有÷1.62≈22(斛)．
答案：B
5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π B．12π C．18π D．24π
解析：由三视图知，该几何体是两底面半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S＝π×(1＋2)×4＝12π.
答案：B
二、填空题
6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．
解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，
所以其母线长l＝＝，
所以S侧＝π(1＋2)×＝3π.
答案：3π
7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．
解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×3－π×22×3＝8π.
答案：8π
8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋.
则S侧＝8＋2，S底＝2××1＝3.
故S表＝S侧＋S底＝11＋2.
答案：11＋2
三、解答题
9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．
解：设圆柱的底面半径为R，高为h，
当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，
由2πR＝2π，得R＝1，
所以V圆柱＝πR2h＝4π2.
当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，
由2πR＝4π，得R＝2，
所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.
所以圆柱的体积为4π2或8π2.
10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．
解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝2cm，所以底面边长A′B′＝2×＝4(cm)．
一个底面的面积为×2×4＝4(cm2)．
所以表面积S＝2×4＋4×2×3＝24＋8(cm2)，
V＝4×2＝8(cm3)．
所以表面积为(24＋8)cm2，体积为8(cm3)．
B级 能力提升
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
解析：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B.
答案：B
2．(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．
解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，
所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.
答案：2＋
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．
解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体．
V四棱柱＝23＝8，V四棱锥＝×22×2＝.
故几何体的体积V＝V四棱柱＋V四棱锥＝8＋ ＝(cm3)．
1.3.2 球的体积和表面积
A级 基础巩固
一、选择题
1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )
A．3倍 B．3 倍
C．9倍 D．9 倍
解析：由V′＝27 V，得R′＝3R，＝3
则球的表面积比S′∶S＝＝9.
答案：C
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B.
C．8π D.
解析：设球的半径为R，则截面圆的半径为，
所以截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，
所以R2＝2，
所以球的表面积S＝4πR2＝8π.
答案：C
3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．9π＋42 B．36π＋18
C.π＋12 D.π＋18
解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π＋3×3×2＝π＋18.
答案：D
4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
解析：设该球的半径为R，
所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，
即4R2＝6a2.
所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.
答案：B
5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( )
A．4π＋24 B．4π＋32
C．22π D．12π
解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.
答案：B
二、填空题
6．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝18，所以a＝.
设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，
所以R＝.
故球的体积V＝πR3＝π×＝π.
答案：π
7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．
解析：由题意设两球半径分别为R、r(R＞r)，
则：即，
所以R－r＝2.
答案：2
8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，
因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
所以圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.
所以＝＝.
答案：
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
因为圆柱的体积V圆柱＝πr2l＝π×12×3＝3π，
又两个半球的体积2V半球＝πr3＝π，
因此组合体的体积V＝3π＋π＝π.
10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径．
解：设球的半径为R，由题意可得πR3＝π×32×0.5，
解得：R＝1.5 (cm)，
所以所求球的半径为1.5 cm.
B级 能力提升
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
A. B. C．8π D.
解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R2＝12＋12＝2，
所以R＝，V＝πR3＝.
答案：B
2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆府直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为＝3(寸)．
答案：3
3．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小．
解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，
则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.
由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，
所以R＝a，r＝a，
所以S2＝4π＝4π·a2＝a2，
S3＝6π＝6π·a2＝a2，
所以S2＜S3.
又6a2＞3＝，即S1＞S3.
所以S1，S2，S3的大小关系是S2＜S3＜S1.
