课时分层作业(十) 复数代数形式的乘除运算
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
D [∵＝＝－1－i，选D.]
2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
【导学号：48662156】
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
C [z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.]
3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．]
4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D.
D [∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＋i.
故z的虚部为，选D.]
5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于( )
【导学号：48662157】
A． B．
C．－ D．－
A [∵z2＝t＋i，∴＝t－i.
z1·＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.]
二、填空题
6．i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________.
1 [∵z＝＝＝＝i，
∴＝－i，∴z·＝1.]
7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
【导学号：48662158】
1 [∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.]
8．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.
[∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.]
三、解答题
9．已知复数z＝.
(1)求z的实部与虚部；
(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值.
【导学号：48662159】
[解] (1)z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，
得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
所以解得m＝5，n＝－12.
10．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
[能力提升练]
1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
A [∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.]
2．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
【导学号：48662160】
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
D [A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；B，z1＝2?1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．]
3．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
[＝＝＝
＝，
∴∴a＝.]
4．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
4 [＋＝可化为，
＋＝，
则＋i＝＋i，
由复数相等的充要条件知
∴∴x＋y＝4.]
5．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明u为纯虚数.
【导学号：48662161】
[解] (1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i.
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1.此时ω＝2x.
因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，
从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是.
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
∴u＝＝＝
＝－i.
因为x∈，y≠0，所以≠0，
所以u为纯虚数.
课时分层作业(十一) 流程图
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列框图中，属于流程图的是( )
A.→→
B.→→
C.→→
D.→→→→
D [根据流程图的定义分析知只有D选项中的框图为流程图．]
2．如图4-1-8是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中应填入( )
【导学号：48662186】
图4-1-8
A．整理数据、求函数表达式
B．画散点图、进行模型修改
C．画散点图、求函数表达式
D．整理数据、进行模型修改
C [由数据拟合的基本过程可知C正确．]
3．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是( )
A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e
C [依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.]
4．如图4-1-9，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )
图4-1-9
A．26 B．24
C．20 D．19
D [由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.]
5．阅读下边的程序框图4-1-10，运行相应的程序，则输出S的值为( )
【导学号：48662187】
图4-1-10
A．2 B．4
C．6 D．8
B [S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；
n＝2不满足n>3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；
n＝3不满足n>3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；
n＝4满足n>3，输出S＝4.故选B.]
二、填空题
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图4-1-11所示，则空白处应为________.
【导学号：48662188】
图4-1-11
a＝4，b＝2 [由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．]
7．写出如图4-1-12所示程序框图的运行结果．若a＝64，则输出结果是________．
图4-1-12
64 [∵64≥0，∴输出结果为64.]
8．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．
17 [把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．]
三、解答题
9．某地残次木材系列资源开发利用的具体过程是：建立木材加工厂，利用残次木材加工各种小件木制用具(如打气筒手柄)，再把加工后的下脚料粉碎，用于培养袋栽食用菌．试画出此资源开发利用的工序流程图.
【导学号：48662189】
[解] 确定工序及各工序之间的关系为：(1)建立木材加工厂；(2)加工各种小件木制用具；(3)粉碎加工后的下脚料；(4)培养袋栽食用菌．由此画出工序流程图如图所示．
→→→
10．如图4-1-13是2018年山东各类成人高考学校招生网上报名流程图．试叙述一名考生报名时所要做的工作．
图4-1-13
[解] 要完成报名，需依次做好以下工作：
(1)网上登记，阅读报名须知．
(2)填写考生报名身份证号码，并查看该身份证号码是否已登记．(若未登记，则不允许报名，需重新填写身份证号码)
(3)填写《山东省2018年各类成人高考学校招生网上报名登记表》，并检查信息是否有效．(若无效需重新填写登记表)
(4)确定报名成功．
[能力提升练]
1．某商家准备投产某种产品，需要先进行市场调研，调研结束后才可投入生产．下面各流程图中，最合适的是( )
D [商场如战场，调研是该项目的关键，需抓紧时间搞好调研，因此应多增派人手，齐头并进，尽快完成调研，早日安排投产，使产品占领市场．]
2．两个形状一样的杯子A和B中分别装有红葡萄酒和白葡萄酒．现在利用空杯子C将A和B两个杯子里所装的酒对调，下面画出的流程图正确的是( )
A B C D
A [把A中的酒倒入空杯子C中，然后把B中的酒倒入A中，最后再把C中的酒倒入B中，即A→C，B→A，C→B.]
3．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图4-1-14是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.
图4-1-14
i≤6？ a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 [初值s＝0，i＝1，
当i≤6时，得到以下结果，
s＝a1，i＝2，
s＝a1＋a2，i＝3，
s＝a1＋a2＋a3，i＝4，
s＝a1＋a2＋a3＋a4，i＝5，
s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，i＝6，
s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，i＝7.
∵7>6，∴输出s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6.]
4．某工程由下列工序组成，则工程总时数最少为________天．
(注：m的紧前工序为n，意思是当工序n完成时工序m才开始进行)
工序
a
b
c
d
e
f
紧前工序
——
——
a、b
c
c
d、e
工时数(天)
2
3
2
5
4
1
11 [由题意知：①工序a、b合并且在工序c前完成，
②工序c需要在工序d，e之前完成，
③工序d，e需要在工序f前完成，由此知此工程完成要分成四步，
第一步先完成a，b工序，要用3天，第二步完成c工序，要用2天，第三步完成d，e工序，要用5天，第四步完成f工序，要用1天，
∴所有工序总时间为：3＋2＋5＋1＝11(天)．]
5．王芳某天计划完成以下事情：A.去菜市场买菜(20分钟)；B.整理房间(10分钟)；C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)；D.洗衣机洗衣服(40分钟)；E.晾衣报(5分钟)．根据所讲内容回答第(1)(2)题．
(1)分析上述各项工作之间的先后关系，写出四种工作流程．
(2)指出上述哪条路径是关键路径，并确定完成该工作的最短时间.
【导学号：48662190】
[解] (1)根据题意，计划完成以下事情，四种工作流程是：
方法①：A.去菜市场买菜(20分钟)→B.整理房间(10分钟)→C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.冼衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)；
方法②：B.整理房间(10分钟)→A.去市场买菜(20分钟)→C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)；
方法③：C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)→E.晾衣服(5分钟)→A.去菜市场买菜(20分钟)→B.整理房间(10分钟)；
方法④：C.把衣服放自动洗衣机里(3分钟)→D.洗衣机洗衣服(40分钟)，同时进行A.到菜市场买菜(20分钟)和B.整理房间(10分钟)→E.晾衣服(5分钟)．
(2)上述方法中买菜、洗衣、整理房间是关键路径，完成这些工作的最短时间是方法④，为3＋40＋5＝48(分钟).
课时分层作业(十二) 结构图
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列关于结构图的说法不正确的是( )
【导学号：48662197】
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树形”结构
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
B [结构图是指以模块的调用关系为线索，用自上而下的连线表示调用关系并注明参数传递的方向和内容，从宏观上反映软件层次结构的图形．
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系，正确；
B．结构图不一定都是“树形”结构，错误；
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点，正确；
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系，正确．]
2．如图4-2-9所示的结构图反映的是( )
图4-2-9
A．运算关系 B．推出关系
C．逻辑先后关系 D．从属关系
D [集合的运算包括交集、并集、补集，是从属关系．]
3．如图4-2-10是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有( )
图4-2-10
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [影响“计划”的主要要素应是三个“上位”要素．]
4．如下所示的框图中是结构图的是( )
【导学号：48662198】
D [A，B，C都是表达了完成某一件事情的流程图，而不是结构图；
只有D表达了高考文科所包含的考试科目，体现了总—分的关系，故是结构图．故选D.]
5．根据如图4-2-11所示结构图，总经理的直接下属是( )
图4-2-11
A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和七个部
C [由组织结构图可知，总经理的直接下属是总工程师、开发部和专家办公室．]
二、填空题
6．按边对三角形进行分类的结构图为：
图4-2-12
则①处应填入________.
【导学号：48662199】
等边三角形 [等腰三角形又可分为“等边三角形”和“腰和底边不等的等腰三角形”两类．]
7．如图4-2-13所示的结构图中，进一步细化时，二面角应放在________的下位．
图4-2-13
平面与平面 [二面角反映的是两平面的位置关系，应放在“平面与平面”的下位．]
8．如图4-2-14是《数学选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中________．
图4-2-14
[答案] ②
三、解答题
9．某大学的学校组织结构图如图4-2-15所示，由图回答下列问题：
图4-2-15
(1)学生工作处的“下位”要素是什么？
(2)学生工作处与其“下位”要素是什么关系？
[解] (1)由图可知学生工作处的“下位”要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．
(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系．
10．画出已学过的“数系”的知识结构图.
【导学号：48662200】
[解] 如图所示：
[能力提升练]
1．把平面内两条直线的位置关系填入结构图4-2-16中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是( )
图4-2-16
①平行；②垂直；③相交；④斜交．
A．①②③④ B．①④②③
C．①③②④ D．②①④③
C [平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．]
2．如图4-2-17所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是( )
图4-2-17
A．“概念”与“分类”是从属关系
B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系
C．“数列”与“等差数列”是从属关系
D．“数列”与“等差数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系
C [画某一章节的知识结构图时，首先应对本章节的知识有全面的把握，然后明确各知识点之间在逻辑上的先后顺序、概念上的从属关系．按从上到下、从左到右的顺序画图，在A、B、C、D四个选项中只有C正确．]
3．某市质量技术监督局质量认证审查流程图如图4-2-18所示，从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．
图4-2-18
3 [这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过．]
4．如图4-2-19所示的结构图中，有________个“环”形结构．
图4-2-19
4 [由知识结构图可知，上图中的“环”形结构有4个．]
5．据有关人士预测，我国的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民的消费热点是商品住房、车、电子信息产品、新型食品、服务消费和文化消费；农村居民的消费热点是住房、家电．试设计表示消费情况的结构图.
【导学号：48662202】
[解] 消费情况的结构图如图所示：
课时分层作业(一) 回归分析的基本思想及其初步应用
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( )
A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上
B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上
C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上
D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上
B [结合线性回归模型y＝bx＋a＋e可知，解释变量在x轴上，预报变量在y轴上，故选B.]
2．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
B [∵R2＝1－，∴当R2越大时，
(yi－i)2越小，即残差平方和越小，故选B.]
3．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：
x(月份)
1
2
3
4
5
y(万盒)
5
5
6
6
8
若x，y线性相关，线性回归方程为＝0.7x＋，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为( )
【导学号：48662007】
A．8.0万盒 B．8.1万盒
C．8.9万盒 D．8.6万盒
B [回归直线一定过样本点的中心．由已知数据可得＝3，＝6，代入线性回归方程，可得＝－0.7＝3.9，即线性回归方程为＝0.7x＋3.9.把x＝6代入，可近似得＝8.1，故选B.]
4．某化工厂为预测某产品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y与x的线性回归方程是( )
A.＝11.47＋2.62x
B.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47x
D.＝11.47－2.62x
A [由题中数据得＝6.5，＝28.5，
∴＝＝＝≈2.62，
＝－≈28.5－2.62×6.5＝11.47，
∴y与x的线性回归方程是＝2.62x＋11.47，故选A.]
5．若某地财政收入x与支出y满足回归方程＝x＋＋ei(单位：亿元)(i＝1,2，…)，其中＝0.8，＝2，|ei|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
【导学号：48662008】
A．10亿元 B．9亿元
C．10.5亿元 D．9.5亿元
C [＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，
∵|ei|<0.5，∴9.5<<10.5.]
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
1 [根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.]
7．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________.
【导学号：48662009】
＝－10＋6.5x [由题意知＝2，＝3，＝6.5，所以＝－＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为＝－10＋6.5x.]
8．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的残差是________．
－0.29 [把x＝160代入＝0.85x－82.71，
得＝0.85×160－82.71＝53.29，
所以残差＝y－＝53－53.29＝－0.29.]
三、解答题
9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的图1-1-1坐标系中画出表中数据的散点图；
图1-1-1
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
(注：＝，＝－)
[解] (1)散点图如图．
(2)由表中数据得iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，
所以＝＝0.7，
所以＝－＝1.05.
所以＝0.7x＋1.05.
回归直线如图中所示．
(3)将x＝10代入线性回归方程，得＝0.7×10＋1.05＝8.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时．
10．已知某商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
(1)画出y关于x的散点图；
(2)求出回归直线方程；
【导学号：48662010】
(3)计算R2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏(参考数据：＝18，＝7.4，＝1 660，＝327，iyi＝620，(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2)．
[解] (1)散点图如图所示：
(2)因为＝18，＝7.4，＝1 660，＝327，iyi＝620，所以＝＝－1.15，
＝－＝28.1.
即所求回归直线方程为：＝－1.15x＋28.1.
(3)(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994.
故回归模型的拟合效果较好．
[能力提升练]
1．已知x与y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7
已求得y关于x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，则m的值为( )
【导学号：48662011】
A．1 B．0.85
C．0.7 D．0.5
D [∵＝＝，
＝＝，
∴这组数据的样本中心点是.
∵y关于x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，
∴＝2.1×＋0.85，解得m＝0.5.
∴m的值为0.5.]
2．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，
C.a′ D.C [＝＝，
＝＝，
＝＝，
＝－＝－，
b′＝＝2>，a′＝－2<.]
3．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)的对比结果如下：
与实际相符数据个数
与实际不符数据个数
总计
甲回归方程
32
8
40
乙回归方程
40
20
60
总计
72
28
100
则从表中数据分析，________回归方程更好(即与实际数据更贴近)．
甲 [可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为＝，而乙回归方程的数据准确率为＝.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些．]
4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元.
【导学号：48662012】
1.818 2 [由题意知＝≈－1.818 2，
＝71－(－1.818 2)×≈77.36，＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．]
5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[解] (1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.
课时分层作业(二) 独立性检验的基本思想及其初步应用
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为( )
①A与B无关，即A与B互不影响；
②A与B关系越密切，则K2的值就越大；
③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据
A．0 B．1
C．2 D．3
B [①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等．故选B.]
2．在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )
【导学号：48662019】
A.与 B.与
C.与 D.与
C [由等高条形图可知与的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强．]
3．如图1-2-2所示的是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )
图1-2-2
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比例约为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生中不喜欢理科的比例约为60%
C [由题图可知女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．故选C.]
4．下列关于K2的说法正确的是( )
【导学号：48662020】
A．K2在任何相互独立的问题中都可以用来检验有关系还是无关系
B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大
C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对两个分类变量适用
D．K2的观测值的计算公式为k＝
C [本题主要考查对K2的理解，K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，所以A错；K2的值越大，说明我们能以更大的把握认为两个分类变量有关系，不能判断相关性的大小，所以B错；D中(ad－bc)应为(ad－bc)2.]
5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D [根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．]
二、填空题
6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k≈27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关)
【导学号：48662021】
有关 [由K2观测值k≈27.63与临界值比较，我们有99.9%的把握说打鼾与患心脏病有关．]
7．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：
晚上
白天
总计
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
总计
98
D
180
那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.
47 92 88 82 53 [由列联表知识得解得]
8．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是________．
①若K2的观测值k＝6.635，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；
②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；
③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．
③ [K2的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.]
三、解答题
9．某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系.
【导学号：48662022】
[解] 作列联表如下：
性格内向
性格外向
总计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
总计
426
594
1 020
相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出，考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．
10．对某校小学生进行心理障碍测试得到如下列联表：
有心理障碍
没有心理障碍
总计
女生
10
30
男生
70
80
总计
20
110
将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？
附：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解] 将列联表补充完整如下：
有心理障碍
没有心理障碍
总计
女生
10
20
30
男生
10
70
80
总计
20
90
110
k＝≈6.366>5.024，
所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关．
[能力提升练]
1．分类变量X和Y的列联表如下，则( )
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
A．ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强
C [结合独立性检验的思想可知|ad－bc|越大，X与Y的相关性越强，从而(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关性越强．]
2．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，参考下面所给附表，则下列说法正确的是( )
【导学号：48662023】
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
C [∵成绩优秀的概率为，
∴成绩优秀的学生数是105×＝30.
成绩非优秀的学生数是75，
∴c＝20，b＝45，选项A，B错误．
又根据列联表中的数据，得到K2的观测值k＝≈6.109>5.024，
因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．故选C.]
3．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如表所示：
死亡
存活
总计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
总计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是__________．
假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关 [由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关．]
4．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
无效
有效
总计
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
总计
21
79
100
设H0：服用此药的效果与患者性别无关，则K2的观测值k≈________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
4.882 5% [由公式计算得K2的观测值k≈4.882，
∵k>3.841，∴有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．]
5．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，29.90)
[29.90，29.94)
[29.94，29.98)
[29.98，30.02)
[30.02，30.06)
[30.06，30.10)
[30.10，30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
【导学号：48662024】
甲厂
乙厂
总计
优质品
非优质品
总计
[解] (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)2×2列联表如下：
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1 000
k＝≈7.353>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
课时分层作业(三) 合情推理
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1. 下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
B [由归纳推理的定义知B是归纳推理，故选B.]
2．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
其中类比结论正确的个数是( )
【导学号：48662051】
A．1 B．2
C．3 D．4
B [由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B.]
3．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是( )
A．2n－2 B．2n－2
C．2n－2－ D．2n＋1－4
A [∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2n－2.故选A.]
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示：
图2-1-7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
【导学号：48662052】
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
C [归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝6n＋2.]
5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r＝( )
A. B.
C. D.
C [设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A-BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.]
二、填空题
6．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________.
【导学号：48662053】
F＋V－E＝2 [观察分析、归纳推理．
观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.]
7．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n个等式为________．
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.]
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9 [结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.]
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式.
【导学号：48662054】
[解] 先化简递推关系：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，
∴＋Sn－1＋2＝0.
当n＝1时，S1＝a1＝－.
当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－，n∈N＋.
10．如图2-1-8所示，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
图2-1-8
[解] 在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝＋＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＋＋＝＝＝1.
[能力提升练]
1．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )
【导学号：48662055】
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
B [根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．]
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]
3．可以运用下面的原理解决一些相关图形(如图2-1-9)的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．
图2-1-9
πab [由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k＝，∴椭圆面积S＝πa2·＝πab.]
4．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.
【导学号：48662056】
[前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.]
5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2-1-10(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图2-1-10
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
[解] (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，
…
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．
∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.
课时分层作业(四) 演绎推理
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
A [大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，故选A.]
2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC方框部分的证明是演绎推理的( )
【导学号：48662062】
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
B [因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC3．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
C [不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．]
4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
【导学号：48662063】
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
A [根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．]
5．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.]
二、填空题
6．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________________.
【导学号：48662064】
log2x－2≥0 [由三段论方法知应为log2x－2≥0.]
图2-1-13
7. “如图2-1-13所示，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
证明：在△ABC中 ，
因为CD⊥AB，AC>BC， ①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD. ③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
③ [由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．]
8．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
【导学号：48662065】
[因为奇函数f(x)在x＝0处有定义且f(0)＝0(大前提)，而奇函数f(x)＝a－的定义域为R(小前提)，所以f(0)＝a－＝0(结论)．解得a＝.]
三、解答题
9．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
[证明] 如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB.AE?平面SAB.
∴AE⊥平面SBC，
又BC?平面SBC.
∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB?平面SAB.∴AB⊥BC.
10．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
[证明] 因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以<，即＜.(结论)
[能力提升练]
1．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
【导学号：48662066】
A．小前提错 B．结论错
C．正确的 D．大前提错
C [由三段论推理概念知推理正确．]
2．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
A [A为演绎推理，这里省略了大前提，B为归纳推理，C，D为类比推理．]
3．以下推理中，错误的序号为________.
【导学号：48662067】
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
① [当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．]
4．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为________．
(1)(2)(3) [由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝16＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．]
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列．
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立.
【导学号：48662068】
[解] (1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*, Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
课时分层作业(五) 综合法和分析法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.
∵x>0，∴ex>1,0<<1 ∴ex－>0，
即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
他使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
A [该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]
2．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小关系是( )
【导学号：48662076】
A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q
C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P
B [先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．
又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0，
∴Q＜R，由排除法可知，选B.]
3．要证－＜成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0有a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
D [要证－<，
只需证(－)3<()3，
即证a－b－3＋3即证<，
只需证ab2只需ab>0且b－a<0或ab<0，且b－a>0.故选D.]
4．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；
③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
【导学号：48662077】
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.]
5．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
B [∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，
∴x＋的最小值为4，
要使不等式m2－3m>x＋有解，
应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B.]
二、填空题
6．如图2-2-2所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
图2-2-2
AC⊥BD(答案不唯一) [要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.]
7．已知sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，则cos(α－β)的值为________.
【导学号：48662078】
－ [由sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，得sin α＋sin β＝－sin r，cos α＋cos β＝－cos r，
两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos (α－β)＝－.]
8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
≤ [∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b) ＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0.
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．]
三、解答题
9．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.
【导学号：48662079】
[证明] 由已知条件得b2＝ac，
2x＝a＋b,2y＝b＋c. ①
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy. ②
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
10. 设a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：
(1)c2＞ab；
(2)c－＜a＜c＋.
[证明] (1)∵a＞0，b＞0,2c＞a＋b≥2，
∴c＞，
平方得c2＞ab；
(2)要证c－＜a＜c＋.
只要证－＜a－c＜.
即证|a－c|＜，
即(a－c)2＜c2－ab，
∵(a－c)2－c2＋ab＝a(a＋b－2c)＜0成立，
∴原不等式成立．
[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
A [≥≥，又函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f≤f()≤f.即A≤B≤C.]
2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3
C．＋＋≥2 D．abc(a＋b＋c)≤
B [∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1，
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.]
3. 若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
【导学号：48662080】
[若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.]
4．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是________．
4 [∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．
又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．
又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.]
5．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切.
【导学号：48662081】
[证明] 如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．
要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|，
由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切.
课时分层作业(六) 反证法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
【导学号：48662087】
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
B [由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
A [依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.]
3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为( )
【导学号：48662088】
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
D [反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．]
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
C [假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
【导学号：48662089】
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
C [若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6 ①，
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6 ②，
显然①，②矛盾，所以C正确．]
二、填空题
6．用反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，假设内容是__________．
|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 [“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．]
7．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设_______________________________________________________________．
x≠－1且x≠1 [反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1.]
8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
a1－1，a2－2，…，a7－7
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) [由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．]
三、解答题
9．已知x，y>0，且x＋y>2.
【导学号：48662090】
求证：，中至少有一个小于2.
[证明] 假设，都不小于2，即≥2，≥2.∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
[证明] 假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0，由f(0)为奇数，即c为奇数，
f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，又an2＋bn＝－c为奇数，所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．所以f(x)＝0无整数根．
[能力提升练]
1．已知a、b、c∈(0,1)．则在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中， ( )
A．不能同时大于 B．都大于
C．至少一个大于 D．至多有一个大于
A [证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.≥＞＝，
同理＞，＞.
三式相加，得
＋＋＞，
即＞，矛盾．
所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于.
证法2：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得 (1－a)b(1－b)c(1－c)a>①
因为0同理，0所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A.]
2．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
【导学号：48662091】
A．必在圆x2＋y2＝2上
B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝2内
D．以上三种情形都有可能
C [∵e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2.假设点P(x1，x2)不在圆x2＋y2＝2内，则x＋x≥2，，但x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＋＝<2，矛盾．∴假设不成立．
∴点P必在圆x2＋y2＝2内．故选C.]
3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
丙 [若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．]
4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2<2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
【导学号：48662092】
③ [假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.]
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
[解] (1)设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，
∴
∴＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
课时分层作业(七) 数系的扩充和复数的概念
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题：
(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
(2)x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；
(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为 ( )
【导学号：48662121】
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
B [由题知，解得m＝3，故选B.]
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
A [3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.]
4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
C [由题意知解得a＝－4.]
5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
【导学号：48662122】
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．]
二、填空题
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
－2 [?m＝－2.]
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
【导学号：48662123】
2 ±2 [由复数相等的充要条件有
?]
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
三、解答题
9．若x、y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．
[解] ∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，
∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.
10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
【导学号：48662124】
[解] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
[能力提升练]
1．下列命题正确的个数是( )
①1＋i2＝0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小．
A．1 B．2
C．0 D．3
B [对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．
对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
【导学号：48662125】
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以解得
所以z＝3－i.]
3．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.
2 [方程可化为解得x＝2.]
4．复数z＝cos ＋isin ，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________.
【导学号：48662126】
± 0 [若z为实数，则sin＝cos θ＝0，
又∵θ∈，∴θ＝±.
若z为纯虚数，则有
?θ＝0.]
5．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1[解] 由于z1当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z1实数m的取值为m＝1.
课时分层作业(八) 复数的几何意义
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题中，假命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
D [①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．]
2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
【导学号：48662131】
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
B [∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.]
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( )
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
C [由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.]
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．]
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
【导学号：48662132】
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.]
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
－2＋3i [∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i.]
7．已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________.
【导学号：48662133】
－1－5i [因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.]
8．复数z＝3a－6i的模为，则实数a的值为________．
± [由|z|＝＝，得a＝±.]
三、解答题
9．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，求复数z.
[解] 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋i.
10．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点
(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．
分别求实数m的取值范围.
【导学号：48662134】
[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得，∴，
∴－1＜m＜1.
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
[能力提升练]
1．在复平面内，复数z1、z2对应点分别为A、B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝( )
A．4＋5 B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
D [设z2＝x＋yi(x、y∈R)，
由条件得，
∴或故选D.]
2．复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
【导学号：48662135】
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当3．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝__________.
±i [因为z为纯虚数，
所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，
所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i.]
4．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值为________．
[∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.]
5．已知z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，当θ为何值时
(1)z1＝z2；
(2)z1、z2对应点关于x轴对称；
(3)|z2|<.
【导学号：48662136】
[解] (1)z1＝z2?
??θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
?
?
?θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(3)|z2|?3sin2 θ＋cos2 θ<2?sin2 θ<
?kπ－<θ课时分层作业(九) 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A． B．－
C．－ D．5
B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.]
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
【导学号：48662143】
A．－2 B．4
C．3 D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]
3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
D [z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.]
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( )
【导学号：48662144】
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]
二、填空题
6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
【导学号：48662145】
3 [由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.]
7．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，这两点之间的距离为________．
[||＝＝.]
8．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________．
9π [由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.]
三、解答题
9．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长.
【导学号：48662146】
[解] 如图所示.
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1.
由复数加减运算的几何意义，得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
[解] ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝
＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
[能力提升练]
1．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
A [|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A. ]
2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
【导学号：48662147】
A．0 B．1
C． D．
C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为.]
3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
－4i [设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则所以
所以z＝－4i.]
4．已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝＋i，则cos (α＋β)的值为________.
【导学号：48662148】
[∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，∴z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.]
5．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[解] (1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，
＝＝，于是·＝－，
而||＝，
||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，
故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
