章末综合测评(一) 统计案例
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面是2×2列联表．
y1
y2
总计
x1
33
21
54
x2
a
13
46
总计
b
34
则表中a，b处的值应为( )
【导学号：48662036】
A．33,66 B．25,50
C．32,67 D．43,56
A [由2×2列联表知a＋13＝46，所以a＝33，又b＝a＋33，所以b＝33＋33＝66.]
2．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )
A．身高一定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
D [用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．]
3．独立检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )
【导学号：48662037】
A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%
C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y有关系的概率为99%
D [∵P(K2≥6.635)＝0.010，故有99%的把握认为变量X与变量Y有关系，故选D.]
4．已知对某散点图作拟合曲线及其对应的相关指数R2，如下表所示：
拟合曲线
直线
指数曲线
抛物线
二次曲线
y与x回归方程
＝19.8x－463.7
＝e0.27x－3.84
＝0.367x2－202
＝
相关指数R2
0.746
0.996
0.902
0.002
则这组数据模型的回归方程的最好选择应是( )
A.＝19.8x－463.7
B.＝e0.27x－3.84
C.＝0.367x2－202
D.＝
B [∵R2越大，拟合效果越好，∴应选择＝e0.27x－3.84.]
5．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过( )
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A．点(2,3) B．点(1.5,4)
C．点(2.5,4) D．点(2.5,5)
C [∵＝＝，
＝＝4.
∴y关于x的回归直线必过点(2.5,4)．]
6．若两个变量的残差平方和是325，(yi－i)2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( )
【导学号：48662038】
A．64.8% B．60%
C．35.2% D．40%
C [相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量的贡献率为×100%＝×100%≈35.2%，故选C.]
7．在一次调查后，根据所得数据绘制成如图1所示的等高条形图，则( )
图1
A．两个分类变量关系较弱
B．两个分类变量无关系
C．两个分类变量关系较强
D．无法判断
C [从条形图中可以看出，在x1中y1比重明显大于x2中y2的比重，所以两个分类变量的关系较强．]
8．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
【导学号：48662039】
A．b与r的符号相同
B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反
D．a与r的符号相反
A [因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.]
9．如图2所示，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )
图2
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
B [由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．]
10．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则＝( )
A．58.5 B．46.5
C．60 D．75
A [∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(，)，
∴＝1.5×9＋45＝58.5.]
11．根据下面的列联表得到如下四个判断：
①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．
嗜酒
不嗜酒
总计
患肝病
700
60
760
未患肝病
200
32
232
总计
900
92
992
其中正确命题的个数为( )
【导学号：48662040】
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由列联表中数据可求得随机变量K2的观测值k＝≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确，故选C.]
12．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
由上表可得线性回归方程＝x＋中的＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为( )
A．51个 B．50个
C．49个 D．48个
C [∵＝＝17.5，
＝＝39.
∴由39＝－4×17.5＋得＝109.
∴当x＝15时，＝－4×15＋109＝49(个)．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知下表所示数据的线性回归方程为＝4x＋242，则实数a＝________.
X
2
3
4
5
6
Y
251
254
257
a
266
262 [由题意，得＝4，＝(1 028＋a)，代入＝4x＋242，可得(1 028＋a)＝4×4＋242，解得a＝262.]
14．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.
【导学号：48662041】
0.05 [k≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05.]
15．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观测值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y对x的回归方程是________．
y＝11.47＋2.62x [由已知数据计算可得＝2.62，＝11.47，所以回归方程是＝11.47＋2.62x.]
16．对于回归分析，下列说法中正确的有________．(填序号)
【导学号：48662042】
①在回归分析中，若变量间的关系是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定；②相关系数可以是正的也可以是负的；③回归分析中，如果R2＝1，说明变量x与y之间是完全线性相关；④样本相关系数r∈(－∞，＋∞)．
①②③ [在回归分析中，样本相关系数r的范围是|r|≤1，故④错误，①②③均正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图3是对用药与不用药，感冒已好与未好进行统计的等高条形图．若此次统计中，用药的患者是70人，不用药的患者是40人，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“感冒已好与用药有关”？
图3
[解] 根据题中的等高条形图，可得在用药的患者中感冒已好的人数为70×＝56，在不用药的患者中感冒已好的人数为40×＝12.
2×2列联表如下：
感冒已好
感冒未好
总计
用药
56
14
70
不用药
12
28
40
总计
68
42
110
根据表中数据，得到
k＝≈26.96>10.828.
因此，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为感冒已好与用药有关系．
18．(本小题满分12分)如图4是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
图4
注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
【导学号：48662043】
[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
19．(本小题满分12分)某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)，现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
不经常参加体育锻炼
15
总计
100
(1)完成上表；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?
[解] (1)填写列联表如下：
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
35
75
不经常参加体育锻炼
10
15
25
总计
50
50
100
(2)由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈1.333<3.841.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．
20．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定坐标系(如图5)中画出表中数据的散点图；
图5
(2)求y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试预测加工10个零件需要的时间.
【导学号：48662044】
[解] (1)散点图如图所示：
(2)由表中数据得＝3.5，＝3.5，
(xi－)(yi－)＝3.5，(xi－)2＝5，
由公式计算得＝0.7，＝－＝1.05，
所以所求线性回归方程为＝0.7x＋1.05.
(3)当x＝10时，＝0.7×10＋1.05＝8.05，
所以预测加工10个零件需要8.05小时．
21．(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的如图6所示散点图及一些统计量的值．
图6
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·(yi－)
(wi－)·(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
【导学号：48662045】
[解] (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
22．(本小题满分12分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图7是乙流水线样本频率分布直方图。
表1 甲流水线样本频数分布表
产品质量/克
频数
(490,495]
6
(495,500]
8
(500,505]
14
(505,510]
8
(510,515]
4
图7 乙流水线样本频率分布直方图
(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；
(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；
(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．
[解] (1)甲流水线样本频率分布直方图如下：
(2)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由图1知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为＝0.75，乙样本合格品的频率为＝0.9，
据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75.
从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.
(3)2×2列联表如下：
甲流水线
乙流水线
总计
合格品
a＝30
b＝36
66
不合格品
c＝10
d＝4
14
总计
40
40
n＝80
因为K2的观测值
k＝＝≈3.117>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
章末综合测评(二) 推理与证明
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．非以上答案
C [根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.]
2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )
【导学号：48662104】
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥BC
A [这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.]
3．在△ABC中，tan A·tanB＞1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
A [∵tan A·tanB＞1，∴A，B只能都是锐角，
∴tan A＞0，tanB＞0,1－tan A·tanB＜0.
∴tan (A＋B)＝＜0.
∴A＋B是钝角．∴角C为锐角．故选A.]
4．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin (x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
D [(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．]
5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
【导学号：48662105】
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
D [因为a＋b＋c＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
所以ab＋bc＋ca＝－≤0.故选D.]
6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B [若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．]
7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )
【导学号：48662106】
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
C [类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．]
8．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
C [利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．]
9．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
【导学号：48662107】
A．sin (α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin (α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos (α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos (α＋β)＜cos α＋cos β
D [因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．]
10．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有( )
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
B [令n＝10时，验证即知选B.]
11．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差，即a2 018－5＝( )
图1
A．2023×2018 B．2023×2017
C．1012×2016 D．1012×2017
D [an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．
∴an－5＝，∴a2 018－5＝＝2 017×1 012.]
12．如图2中(1)，在△ABC中，AB⊥AC于点A，AD⊥BC于点D，则有AB2＝BD·BC，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A在△BCD内的射影为O，则S＝S△BCO·S△BCD，那么上述命题( )
【导学号：48662108】
图2
A．是真命题
B．增加条件“AB⊥AC”后才是真命题
C．是假命题
D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”后才是真命题
A [由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分别与题图(1)中的AB，BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连结AE(图略)，则DE⊥BC，AE⊥BC.因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.又因为AO⊥DE，所以AE2＝EO·ED，所以S＝(BC·EA)2＝(BC·EO)·(BC·ED)＝S△BCO·S△BCD.故选A.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1) [“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．]
14．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是________.
【导学号：48662109】
(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1 [根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为(a－b)·(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.]
15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.
若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；
若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．
故甲的卡片上的数字是1和3.
法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]
16．现有一个关于平面图形的命题：同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.
【导学号：48662110】
[解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg ≥；
(2)＋>2＋2.
[证明] (1)当a，b>0时，有≥，
∴lg ≥lg ，
∴lg ≥lg ab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2)已知和都是无理数，试证：＋也是无理数．
证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．
(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．
证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2
[解] (1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．
(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．
19．(本小题满分12分)观察：
①tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1，②tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.
由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广.
【导学号：48662111】
[解] 从已知观察到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，因此猜测推广式为若α＋β＋γ＝，且α，β，γ都不为kπ＋(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.
证明如下：由α＋β＋γ＝，得α＋β＝－γ.
因为tan (α＋β)＝tan ＝.又因为tan (α＋β)＝，所以tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)＝ (1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)·＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.
20．(本小题满分12分)如图2，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
图2
(1)求证：A1B⊥AD；
(2)求证：CE∥平面AB1D.
[证明] (1)连接A1D，BD，DG，
∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
∴四边形A1ABB1为正方形，
∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点，
∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，
∵G为A1B中点，
∴A1B⊥DG.
又∵DG∩AB1＝G，
∴A1B⊥平面AB1D，
又∵AD?平面AB1D，
∴A1B⊥AD.
(2)连接GE，∵EG∥A1A，
∴GE⊥平面ABC.
∵DC⊥平面ABC，
∴GE∥DC，∵GE＝DC＝a，
∴四边形GECD为平行四边形，∴EC∥GD，
又∵EC?平面AB1D，DG?平面AB1D，
∴EC∥平面AB1D.
21. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根.
【导学号：48662112】
[证明] (1)法一：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，ax2－x1>1且ax1>0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝
＝>0，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
法二：f′(x)＝axln a＋＝axln a＋
∵a>1，∴ln a>0，∴axln a＋>0，
f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，
即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－，且0∴0<－<1，即故方程f(x)＝0没有负数根．
22. (本小题满分12分) (1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).
【导学号：48662113】
[解] (1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0≠±a)．
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－.
所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)．
所以yMyN＝＝b2.
因为＝{a，yN}，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．
章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
C [1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]
2．＝( )
【导学号：48662171】
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
D [＝＝＝2－i.
故选D.]
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
A [由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.]
4．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
【导学号：48662172】
A．(2,4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4,2)
C [z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.]
5．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.故选B.]
6．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
【导学号：48662173】
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
A [因为z1＝z2，所以，解得m＝1或m＝－2，所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．]
7．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
D [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8得，
??
所以＝＝＝±i.]
8．如图1所示在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
【导学号：48662174】
图1
A．3＋i
B．3－i
C．1－3i
D．－1＋3i
D [＝＋＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C对应的复数为－1＋3i.]
9．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
A． B．
C．－ D．2
C [因为＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.]
10．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
【导学号：48662175】
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对
C [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2为纯虚数，∴∴y＝±x(x≠0)．]
11．已知0A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
C [由已知，得|z|＝.
由0∴|z|＝∈(1，)．故选C.]
12．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是( )
【导学号：48662176】
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．|z|＝|1|2
D [A错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；B错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；C错，反例：z1＝1，z2＝i；D正确，z1＝a＋bi，则|z|＝a2＋b2，|1|2＝a2＋b2，故|z|＝|1|2.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
21 [复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.]
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
【导学号：48662177】
[＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.]
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
8 [a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]
16．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为________.
【导学号：48662178】
[＝＝＝－i，因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以?－6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？ (2)z是纯虚数？
[解] (1)要使复数z为实数，需满足，解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足，
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝1－i，z1·z2＋1＝2＋2i，求复数z2.
【导学号：48662179】
[解] 因为z1＝1－i，所以1＝1＋i，
所以z1·z2＝2＋2i－1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，
得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，
所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，
所以，解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.
19．(本小题满分12分)计算：(1)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
[解] (1)原式＝
＝＝＝＝＝－1＋i.
(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
【导学号：48662180】
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
22．(本小题满分12分)已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z.
(2)求|z－4|的取值范围.
【导学号：48662181】
[解] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i∈R，所以y－＝0，
因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|＝
＝＝∈(1,5)．
章末综合测评(四) 框图
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图1中①②分别表示( )
图1
A．终端框、处理框 B．流程线、判断框
C．流程线、处理框 D．注释框、判断框
[答案] B
2．下面是图书印刷成书的流程图，表示正确的是( )
A.→→→
B.→→→
C.→→→
D.→→→
B [出版一本图书，应首先编审，然后制版，制版后方能印刷，印刷后才能装订，故选B.]
3．要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用( )
【导学号：48662210】
A．程序框图 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
B [工序流程图用来描述工业生产的流程．]
4．下列情况通常用结构图的是( )
A．表示某同学参加高考报名的程序
B．表示某企业生产某产品的生产工序
C．表示某学校学生会各个部的工作分工情况
D．表示某一数学章节内容学习先后顺序的安排
C [C中各部的工作分工情况有明显的从属关系，应选C.]
5．如图2所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
图2
A．设备安装 B．土建设计
C．厂房土建 D．工程设计
A [结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．]
6．如图3所示，某电脑由以下设备与主机相连，则外存储器是指 ( )
【导学号：48662211】
图3
A．显示器 B．打印机
C．游戏杆 D．磁盘驱动器、磁带机
D [由题图可知，选D.]
7．如图4所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是( )
图4
A．并列关系 B．从属关系
C．包含关系 D．交叉关系
B [从知识结构图中可判断为从属关系．]
8．解决数学问题的过程较为合理的是下列流程图中的( )
A． B.
C． D.
C [根据解决数学问题的流程对比选择．]
9．某成品的组装工序流程图如图5所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是( )
【导学号：48662212】
图5
A．11时 B．13时
C．15时 D．17时
A [组装工序可以通过三个方案分别完成：A→B→E→F→G，需要2＋4＋4＋2＝12(时)；A→E→F→G，需要5＋4＋2＝11(时)；A→C→D→F→G，需要3＋4＋4＋2＝13(时)．因此组装该产品所需要的最短时间是11时．]
10．如图6所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )
图6
A．0 B．2
C．4 D．14
B [a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.]
11．如图7是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( )
图7
A．18 B．17
C．16 D．15
C [只需A处给D处10件，B处给C处5件，C处给D处1件，共16件次，故选C.]
12．设十人各拿水桶一只，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1,2，…，10)个人的水桶需Ti分钟，假设这些Ti各不相同，当水龙头只一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花的时间)最少( )
【导学号：48662213】
A．从Ti中最大的开始，按由大到小的顺序排队
B．从Ti中最小的开始，按由小到大的顺序排队
C．从靠近诸Ti平均数的一个开始，按依次小取一个大取一个的摆动顺序排队
D．任意顺序排队接水的总时间都不变
B [从Ti中最小的开始，由小到大的顺序排队接水可使总时间最少，如只有T1，T2两人接水，T1需10分钟，T2需5分钟，若T1先接是需要10＋(10＋5)＝25分钟，若T2先接则只需要5＋5＋10＝20分钟．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．某学校组织结构图如图8所示，其中“团委”的直接领导是________．
图8
书记 [由结构图的特征可知，“书记”与“团委”是直接从属关系．]
14．如图9是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在________的下位.
图9
数乘 [向量共线的充要条件是两个向量能写成数乘的形式．]
15．在平面几何中，四边形的分类关系可用如图10框图描述：
图10
则在①中应填入________，在②中应填入________．
菱形 直角梯形 [一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．]
16．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天.
【导学号：48662214】
3 [由题意可画出工序流程图如下图所示．
∵总工期为9天，∴2＋x≤5，∴x≤3.∴完成工序C的最长时间为3天．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)根据“细胞由细胞膜、细胞核、细胞质构成，其中细胞核包括核膜、染色质、核仁、核孔”，试画出细胞的结构图.
【导学号：48662215】
[解] 细胞的结构图如下：
18．(本小题满分12分)某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理，生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．试画出组织结构图．
[解] 组织结构图如下：
19．(本小题满分12分)画出《数学3》第二章“统计”的知识结构图.
【导学号：48662216】
[解] 知识结构图如下：
20．(本小题满分12分)银行办理房屋抵押贷款手续如下：先按顺序进行房屋评估、银行审查、签订合同、办理保险产权过户，然后有三种选择：(1)若直接办理抵押贷款，则只进行抵押登记，然后发放贷款；(2)若采用全程担保方式，则直接发放贷款；(3)若采用阶段性担保方式，则先发放贷款，然后再办理抵押登记．试画出办理房屋抵押贷款手续的流程图．
[解] 流程图如下：
21．(本小题满分12分)小强要参加班里组织的郊游活动，为了做好参加这次郊游活动的准备工作，他测算了如下数据：整理床铺、收拾携带物品8分钟，去洗手间2分钟，洗脸、刷牙7分钟、准备早点15分钟(只需在煤气灶上热一下)，煮牛奶8分钟(有双眼煤气灶可以利用)，吃早点10分钟，查公交线路图5分钟，给出差在外的父亲发短信2分钟，走到公共汽车站10分钟，小强粗略地算了一下，总共需要67分钟．为了赶上7：50的公共汽车，小强决定6：30起床，可是小强一下子睡到7：00了！按原来的安排，小强还能参加这次郊游活动吗？如果不能，请你帮小强重新安排一下时间，画出一份郊游出行流程图来，以使得小强还能来得及参加此次郊游活动．
[解] 按原来的安排，小强不能参加这次郊游活动，如图(单位：分钟)：共需时间为8＋2＋7＋15＋10＋5＋2＋10＝59(分钟)，59＞50，所以不能．
可设计流程图如下图所示(单位：分钟)．
能使小强来得及参加郊游．
22．(本小题满分12分)已知流程图如图11(未完成)，设箭头a指向①时输出的结果S＝m，箭头a指向②时的输出的结果S＝n，求m＋n的值.
【导学号：48662217】
图11
[解] 当箭头指向①时，计算S和i如下：i＝1，S＝0，S＝1，i＝2；S＝0，S＝2，
i＝3；S＝0，S＝3，i＝4；S＝0，S＝4，i＝5；S＝0，S＝5，i＝6，结束，∴S＝m＝5.
当箭头指向②时，计算S和i如下：i＝1，S＝0，S＝1，i＝2；S＝3，i＝3；S＝6，
i＝4；S＝10，i＝5；S＝15，i＝6，结束，∴S＝n＝15. ∴m＋n＝20.
