复合函数的单调性专题讲座（共26张ppt）
文档属性
| 名称 | 复合函数的单调性专题讲座（共26张ppt） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 751.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-10-12 00:00:00 | ||
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文档简介
复合函数单调性专题讲座
高中数学教师欧阳文丰制作
复合函数的概念的定义：
如果y是u的函数,u又是x的函数，
即ｙ=f(ｕ) ,ｕ=g(ｘ),那么ｙ
关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］
叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复
合函数，u叫做中间变量，x叫自
变量，y叫函数值。
复合函数：
y=f[g(x)]
令 u=g(x)
则 y=f(u)
内函数
外函数
y=f[g(x)]
原函数
以x为自变量
以u为自变量
以x为自变量
复合函数的结构
复合函数的单调性
复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ag(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)复合函数y=f[g(x)]单调性
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
法则同增异减
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
类型1：外层函数为幂函数的复合函数
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是
增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]
为增函数；
若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增
函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]
为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3
当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小
当0∴函数的单调区间是 [-1/3，0]，[0，1/3]。
变式练习
(-∞,1]
[5,+∞)
[-1/2,5/4]
[5/4,3]
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性。
类型2：外层函数为指数函数的复合函数
变式练习
（5）、已知函数 在（1，4）上是减函数，
求实数a的取值。
类型3：外层函数为对数函数的复合函数
（6）若函数y=loga(2–ax)在[0,1]
上是减函数,求a的取值范围
1＜a＜2
变式练习
（7）.求函数y=log0.3(x2-4x+3)的单调区间
解：∵ x2 – 4x + 3> 0 ∴x>3 或 x<1
∴函数y=log 0.3 (x2-4x+3 )
在（–∞，１)上递增,
在（３，+∞?）上递减．
y=log0.3t
t= x2 -4x+3
(0,+ ∞)
(- ∞,1)
(3, + ∞ )
(- ∞,1)
(3, + ∞)
（8）.若函数y= –log2(x2 –2ax +a)在(–∞?, –1)上是增函数，求a的取值范围．
解：令u=g(x)= x2 –2ax +a,
∵?函数y=–log2u为减函数
∴?u=g(x)= x2 –2ax +a在(–∞?, –1)
为减函数,且满足u>0,
∴ a ≥ –1
g(–1) ≥0
解得：?a ≥ -１／3
所以a的取值范围为[–1／3,+∞）
已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，4)上
是减函数，求实数a的取值范围
补充练习
类型4：外层函数为二次函数的复合函数
类型4：外层函数为二次函数的复合函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
总结：复合函数的单调性判断原则
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
复合函数的单调性解题步骤
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
高中数学教师欧阳文丰制作
复合函数的概念的定义：
如果y是u的函数,u又是x的函数，
即ｙ=f(ｕ) ,ｕ=g(ｘ),那么ｙ
关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］
叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复
合函数，u叫做中间变量，x叫自
变量，y叫函数值。
复合函数：
y=f[g(x)]
令 u=g(x)
则 y=f(u)
内函数
外函数
y=f[g(x)]
原函数
以x为自变量
以u为自变量
以x为自变量
复合函数的结构
复合函数的单调性
复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
法则同增异减
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
类型1：外层函数为幂函数的复合函数
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是
增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]
为增函数；
若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增
函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]
为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3
当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小
当0
变式练习
(-∞,1]
[5,+∞)
[-1/2,5/4]
[5/4,3]
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性。
类型2：外层函数为指数函数的复合函数
变式练习
（5）、已知函数 在（1，4）上是减函数，
求实数a的取值。
类型3：外层函数为对数函数的复合函数
（6）若函数y=loga(2–ax)在[0,1]
上是减函数,求a的取值范围
1＜a＜2
变式练习
（7）.求函数y=log0.3(x2-4x+3)的单调区间
解：∵ x2 – 4x + 3> 0 ∴x>3 或 x<1
∴函数y=log 0.3 (x2-4x+3 )
在（–∞，１)上递增,
在（３，+∞?）上递减．
y=log0.3t
t= x2 -4x+3
(0,+ ∞)
(- ∞,1)
(3, + ∞ )
(- ∞,1)
(3, + ∞)
（8）.若函数y= –log2(x2 –2ax +a)在(–∞?, –1)上是增函数，求a的取值范围．
解：令u=g(x)= x2 –2ax +a,
∵?函数y=–log2u为减函数
∴?u=g(x)= x2 –2ax +a在(–∞?, –1)
为减函数,且满足u>0,
∴ a ≥ –1
g(–1) ≥0
解得：?a ≥ -１／3
所以a的取值范围为[–1／3,+∞）
已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，4)上
是减函数，求实数a的取值范围
补充练习
类型4：外层函数为二次函数的复合函数
类型4：外层函数为二次函数的复合函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
总结：复合函数的单调性判断原则
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
复合函数的单调性解题步骤
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。