北师大版七年级数学上第三章 整式的加减3.4.1合并同类项学案（含答案解析）

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北师大版七年级上第三章 整式的加减（一）——合并同类项学案（含答案解析）
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2. 掌握同类项的有关应用；
3. 体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1． 判别下列各题中的两个项是不是同类项：
(1)-4a2b3与5b3a2；(2)与；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．
【答案与解析】 (1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c与8ca2是同类项．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.
2．如果单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求
（1）（7a﹣22）2013的值；
（2）若5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2014的值．
【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a的方程，解方程，可得答案；
（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n的关系，根据0的任何整数次幂都得零，可得答案．
【答案与解析】解：（1）由单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项，得a=2a﹣3，解得a=3；
∴（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1；
（2）由5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得
5m﹣5n=0，
解得m=n；
∴（5m﹣5n）2014=02014=0．
【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正数次幂都得零．
举一反三：
【变式】如果单项式﹣xa+1y3与x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（　　）
A. a=2，b=3 B. a=1，b=2 C. a=1，b=3 D. a=2，b=2
【答案】C
解：根据题意得：a+1=2，b=3，
则a=1．
类型二、合并同类项
3．合并同类项：
；；
;
（注：将“”或“”看作整体）
【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．
【答案与解析】
（1）
（2）
（3）原式=
（4）
【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.
举一反三：
【变式1】
化简：（1） （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
【答案】原式
（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)
=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)
=-(a-2b)2+3(a-2b).
4.若﹣2amb4与5a2bn+7的和是单项式，则m+n=　 　．
【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2amb4与5a2bn+7是同类项．
【答案】-1
【解析】解：由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得
，
解得．
m+n=﹣1，
故答案为：﹣1．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与可以合并，则　　，　　 .
【答案】
类型三、化简求值
5. 化简求值：
（1）当时，求多项式的值．
（2）若，
求多项式的值．
【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：
原式=
=
将代入，得：
（2）把当作一个整体，先化简再求值：
原式=
由可得：
两式相加可得：，所以有
代入可得：原式=
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】.
【答案】
类型四、综合应用
6. 若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.
【答案与解析】
法一：由已知
ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)
∴ 解得：
∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.
法二：说明：此题的另一个解法为：由已知
(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而得
解得：
【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．
举一反三：
【变式1】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.
【答案】 -2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1
∵ 此多项式的值与x的值无关，
∴ 解得:
当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.
∵(x-m)2≥0，
∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.
【变式2】若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m+n的值．
【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：
因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为，
又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然是同类项，且合并后为0，
所以有 ，．
【巩固练习】
一、选择题
1.下列各组中，不是同类项的是（　　）
A. 52与25 B. ﹣ab与ba C. 0.2a2b与﹣a2b D. a2b3与﹣a3b2
2．代数式的值( )．
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关
3． 三角形的一边长等于m+n，另一边比第一边长m-3，第三边长等于2n-m，这个三角形的周长等于( )．
A．m+3n-3 B．2m+4n-3 C．n-n-3 D．2，n+4n+3
4. 若为自然数，多项式的次数应为 （ ）．
A． B． C．中较大数 D．
5.下列运算中，正确的是（　　）
A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5 C．5a2﹣4a2=1 D．5a2b﹣5ba2=0
6. 如图所示，是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“ ”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“ ”所代表的单项式可能是( )．
A．6 B．d C．c D．e
7．若A是一个七次多项式，B也是一个七次多项式，则A+B一定是( )．
A．十四次多项式 B．七次多项式
C．不高于七次的多项式或单项式 D．六次多项式
二、填空题
1. （1）；（2）；（3）
2. 找出多项式中的同类项 、 、 。
3. （2016春 永春县校级月考）若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n=　 　．
4．当k＝ 时，代数式中不含xy项．
5．按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是　　．
6．把正整数依次排成以下数阵：
1， 2， 4 ， 7，… …
3， 5， 8，… …
6， 9， … …
10， … …
如果规定横为行，纵为列，如8是排在2行3列，则第10行第5列排的数是____________
三、解答题
1. 若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，求3m+n的值．
2．先化简，再求值．
(1)，其中x＝-2，；
(2)．其中a＝1，b＝-2．
3．试说明多项式的值与字母x的取值无关．
4．要使关于的多项式不含三次项，求的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
2．【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为，故它的值只与有关．
3．【答案】B
【解析】 另一边长为，周长为．
4．【答案】C
【解析】是常数项，次数为0，不是该多项式的最高次项．
5．【答案】D
【解析】解：A、3a+2b无法计算，故此选项错误；
B、2a3+3a2无法计算，故此选项错误；
C、5a2﹣4a2=a2，故此选项错误；
D、5a2b﹣5ba2=0，正确．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】题中“ ”所表示的单项式与“5e”是同类项，故“ ”所代表的单项式可能是e，故选D．
7．【答案】C
二、填空题
1. 【答案】
2. 【答案】
3. 【答案】4.
【解析】解：∵与﹣3ab3﹣n的和为单项式，
∴2m﹣5=1，n+1=3﹣n，
解得：m=3，n=1．
故m+n=4．
故答案为：4．
4. 【答案】
【解析】合并同类项得：．由题意得．故．
5. 【答案】12
【解析】根据输入程序，列出代数式，再代入x的值输入计算即可．
由表列代数式：（x3﹣x）÷2
∵x=3，∴原式=（27﹣3）÷2=24÷2=12．
6. 【答案】101
【解析】第10行的第一个数是：1+2+3+…+10=55，第10行的第5个数是：55+10+11+12+13=101．
三、解答题
1.【解析】解：由a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，得，
解得．
当m=2，n=2时，3m+n=3×2+2=6+2=8．
2.【解析】（1）原式．当，时，原式＝1；
（2）原式，当，时，原式＝5．
3.【答案】5
【解析】根据题意得：m﹣1=2，n=2，则m=3，n=2．故m+n=3+2=5．
4.【解析】原式=
要使原式不含三次项，则三次项的系数都应为0，所以有：
，即有：
所以．
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