北师大版七年级数学上第三章整式的加减（二）—去括号与添括号学案（含答案解析）

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北师大版七年级数学上第三章整式的加减（二）—去括号与添括号学案（含答案解析）

【学习目标】
1．掌握去括号与添括号法则，注意变号法则的应用；
2. 熟练运用整式的加减运算法则，并进行整式的化简与求值．
【要点梳理】
要点一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点诠释：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
要点二、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
要点诠释：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号的关系如下：
如：，
要点三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点诠释：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【典型例题】
类型一、去括号
1．化简m﹣n﹣（m+n）的结果是（　　）
　 A． 0 B． 2m C． ﹣2n D． 2m﹣2n
【答案】C
【解析】
解：原式=m﹣n﹣m﹣n=﹣2n．故选C．
【总结升华】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，及熟练运用合并同类项的法则，其是各地中考的常考点．注意去括号法则为：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．
类型二、添括号
2．按要求把多项式添上括号：
(1)把含a、b的项放到前面带有“+”号的括号里，不含a、b的项放到前面带有“-”号的括号里；
(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里．
【答案与解析】
解：(1)；
(2)．
【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．
举一反三：
【变式】添括号：
（1）．
（2）．
【答案】(1)； (2) ．
类型三、整式的加减
3． ．
【答案与解析】
解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．


答：所求多项式为．
【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
举一反三：
【变式】化简：
(1)15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3).
(2)3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)].
(3)-3[(a2+1)-(2a2+a)+(a-5)].
(4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}.
【答案】
解： (1) 15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3)
＝15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2)-x3
＝18-3x-x3.. ……整体合并，巧去括号
(2) 3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)]
＝3x2y-2x2z+(2xy-x2z+4x2y) ……由外向里，巧去括号
＝3x2y-2x2z+2xyz-x2z+4x2y
＝7x2y-3x2z+2xyz.
(3)


.
(4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}
＝ab-4a2b+3a2b-2ab+a2b+3ab
＝2ab.
类型四、化简求值
4. 先化简，再求值：3x2y﹣[2x2﹣（xy2﹣3x2y）﹣4xy2]，其中|x|=2，y=，且xy＜0．
【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出x的值，代入原式计算即可得到结果．
【答案与解析】
解：原式=3x2y﹣2x2+xy2﹣3x2y+4xy2=5xy2﹣2x2，
∵|x|=2，y=，且xy＜0，
∴x=﹣2，y=，
则原式=﹣﹣8=﹣．
【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当x=…时，原式=….
举一反三：
【变式】 先化简，再求值：﹣2x2﹣[3y2﹣2（x2﹣y2）+6]，其中x=﹣1，y=﹣．
【答案】
解：原式=﹣2x2﹣y2+x2﹣y2﹣3=﹣x2﹣y2﹣3，
当x=﹣1，y=﹣时，原式=﹣1﹣﹣3=﹣4．

5. 已知3a2-4b2＝5，2a2+3b2＝10．求：(1)-15a2+3b2的值；(2)2a2-14b2的值．
【答案与解析】显然，由条件不能求出a、b的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．
解：(1)-15a2+3b2＝-3(5a2-b2)＝-3[(3a2+2a2)+(-4b2+3b2)]
＝-3[(3a2-4b2)+(2a2+3b2)]＝-3×(5+10)＝-45；
(2)2a2-14b2＝2(a2-7b2)＝2[(3a2-2a2)+(-4b2-3b2)]
＝2×[(3a2-4b2)-(2a2+3b2)]＝2×(5-10)＝-10．
【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．
举一反三：
【变式】当时，多项式的值是0，则多项式．
【答案】∵ ， ∴ ，即．
∴．
6. 已知多项式与的差的值与字母无关，求代数式：
的值．
【答案与解析】
解：.
由于多项式与的差的值与字母无关，可知：
，，即有.
又,
将代入可得：.
【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．

类型五、整式加减运算的应用
7.有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽60厘米，
用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，
那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) ．
A．60n厘米 B．50n厘米 C．(50n+10)厘米 D．(60n-10)厘米
【答案】C.
【解析】观察上图，可知n块石棉瓦重叠的部分有(n-1)处，则n块石棉瓦覆盖的宽度为：60n-10(n-1)＝（50n+10）厘米．
【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米这一已知条件，一不小心就可能弄错．

举一反三：
【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a2(a＞0)．那么阴影部分的面积为________．





【答案】3a-a2
提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积，而长方形的长为3+a，宽为3，从而使问题获解．

【巩固练习】
一、选择题
1．下列各式中去括号正确的是（　　）.
A. a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a﹣b2+b
B. ﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2
C. 2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+5
D. ﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3+4a2﹣1+3a
2. 已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是( ) ．
A．-5x-1 B．5x+1 C．-13x-1 D．13x+1
3．代数式的值( )．
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关
4.如果，那么代数式的值为（ ）．
A. 6 B.8 C. -6 D. -8
5.化简5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）之后，可得下列哪一个结果（　　）．
A. 2x﹣27 B. 8x﹣15 C. 12x﹣15 D. 18x﹣27
6. 已知有理数在数轴上的位置如图所示，且，则代数式的值为（ ）．

A. B . 0 C. D.
7.﹣[x﹣（y﹣z）]去括号后应得（　　）
A．﹣x+y﹣z B．﹣x﹣y+z C．﹣x﹣y﹣z D．﹣x+y+z
8.如果对于某一个特定范围内的任意允许值，的值恒为一个常数，则此值为 （ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题
9．
．
10. 如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由________个基础图形组成．

11．计算：2（a﹣b）+3b=　 　．
12. 当时，代数式的值等于-17，那么当时，代数式的值等于
．
13. 有理数a,-b在数轴上的位置如图所示，化简= ．

14. 任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被______整除.

三、解答题：
15.计算：（2mn﹣m2+n2）+（m2﹣n2+mn）.
16.已知：ax2+2xy-x与2x2-3bxy+3y的差中不含2次项，求a2-15ab+9b2的值.
17.先化简，再求值：（﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中x=，y=2012．

【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
【解析】A、a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a+b2﹣b，故本选项错误；
B、﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x﹣y+x2﹣y2，故本选项错误；
C、2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+15，故本选项错误；
D、﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3﹣[﹣4a2+1﹣3a]=﹣a3+4a2﹣1+3a，故本选项正确．
2．【答案】A
【解析】(3x2+4x-1)-(3x2+9x)＝3x2+4x-1-3x2-9x＝-5x-1．
3．【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为，故它的值只与有关．
4．【答案】C
【解析】，．
5. 【答案】D
【解析】5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）=5（2x﹣3）+4（2x﹣3）=9（2x﹣3）=18x﹣27．
6．【答案】A
【解析】由图可知：，
所以．
7．【答案】A
【解析】解：﹣[x﹣（y﹣z）]
=﹣（x﹣y+z）
=﹣x+y﹣z．
故选：A．
8．【答案】B
【解析】值恒为一常数，说明原式去绝对值后不含项，进而可得下图：

由此得：P =．
二、填空题
9. 【答案】
10. 【答案】3n+1
【解析】第1个图形由3×1+1＝4个基础图形组成；第2个图形由3×2+1＝7个基础图形组成；第3个图形由3×3+1＝10个基础图形组成，故第n个图形由(3n+1)个基础图形组成．
11. 【答案】2a+b
【解析】原式=2a﹣2b+3b=2a+b.
12．【答案】 22
【解析】由题意可得：，即有.
又因为.
13．【答案】
【解析】，所以原式=.
14．【答案】9
【解析】设任意一个的三位数为a×102+b×10+c.其中a是1～9的正整数，b,c分别是0～9的自然数.
∵(a×102+b×10+c)-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b)=9m. (用m表示整数11a+b) .
∴任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被9整除.
三、解答题
15．【解析】
解：原式=2mn﹣m2+n2+m2﹣n2+mn
=3mn．
16. 【解析】
解： (ax2+2xy-x)-(2x2-3bxy+3y)=ax2+2xy-x-2x2+3bxy-3y=(a-2)x2+(2+3b)xy-x-3y.
∵此差中不含二次项，
解得：
当a=2且3b= -2时，
a2-15ab+9b2=a2-5a(3b)+(3b)2=22-5×2×(-2)+(-2)2=4+20+4=28.
17.【解析】
解：原式=﹣x2+x﹣2y+x+2y=﹣x2+x，
当x=，y=2012时，原式=﹣+ = ．




















































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