24.1.4 圆周角课时作业（1）
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文档简介
24.1.4 圆周角课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（ ）
A．40° B． 50° C． 80° D． 100°
3.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
4.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）
A．50° B． 80° C． 90° D． 100°
5.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
6.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
7.如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
8.如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）
A． B． AF=BF C． OF=CF D． ∠DBC=90°
二 、填空题
9.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB．若∠DAB=65°，则∠AOC=．
10.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC=．
11.如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
12.如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为 度．
13.如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 _________ （写出一个即可）
14.如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是
15.如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为 ．
三 、解答题
16.如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
17.如图，在中，AB是的直径，与AC交于点D，，
求的度数；
18.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．
19.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
21.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
答案解析
一 、选择题
1.【考点】圆周角定理
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
2.解：连接OC．
则∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==40°．
故选A．
3.【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】利用垂径定理得出==，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
4.解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故选D．
5.【考点】圆周角定理．
【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键．
6.【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．
解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．
7.【考点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
解：∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB?sin∠AOB=，
∴BC=2BH=2，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8.【考点】 垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】 根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．
解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，
∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，
A、=，正确，故本选项错误；
B、AF=BF，正确，故本选项错误；
C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；
D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；
故选C．
【点评】 本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．
二 、填空题
9.【考点】 圆周角定理；垂径定理．
【分析】 由CD⊥AB．若∠DAB=65°，可求得∠D的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，继而求得答案．
解：解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，
∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，
∴∠AOC=2∠ADC=50°，
故答案为50°．
【点评】 本题考查了圆周角定理及垂径径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10.【考点】 圆周角定理；等边三角形的性质．
【分析】 因为⊙O是等边三角形ABC的外接圆，所以∠A=∠ABC=∠ACB=60°，所以∠BCD=∠A=60°．
解：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BDC=∠A=60°．
【点评】 此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11.【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
解：∵∠BAC=BOC，∠ACB=AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB=BAC=20°．
故答案为：20．
12.【考点】圆周角定理．
【分析】由∠BAO=25°，利用等腰三角形的性质，可求得∠AOB的度数，又由∠OCA=40°，可求得∠CAO的度数，继而求得∠AOC的度数，则可求得答案．
解：∵∠BAO=25°，OA=OB，
∴∠B=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，
∵∠ACO=40°，OA=OC，
∴∠C=∠CAO=40°，
∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，
∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形的性质求解是关键．
13.【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；垂径定理．
【分析】当P点与D点重合是∠DAB=75°，与O重合则OAB=60°，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度数可以是60°﹣﹣75°之间的任意数．
解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质．
14.【考点】圆周角定理
【分析】 先根据等腰三角形的性质求出∠ACO的度数，再由三角形内角和定理求出∠AOC的度数，由圆周角定理∠B的度数即可．
解：∵OA=OC，∠OAC=20°，
∴∠ACO=∠OAC=20°，
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，
∴∠B=∠AOC=×140°=70°．
故答案为：70°．
15.【考点】勾股定理的应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】连接OD，AD，根据OC平分∠BCD，BC=DC，即可得到BD⊥CO，依据AB是直径，可得AD⊥BD，进而得出AD=CO=1，再根据Rt△ABD，利用勾股定理可得BD=．
解：如图，连接OD，AD，
∵BC=DC，BO=DO，
∴∠BDC=∠DBC，∠BDO=∠DBO，
∴∠CDO=∠CBO，
又∵OC=OB=OD，
∴∠BCO=∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC=DC，
∴BD⊥CO，
又∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CO，
又∵AE=AO=2，
∴AD=CO=1，
∴Rt△ABD中，BD===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的综合运用，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
三 、解答题
16.【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°
∴∠B=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
17.【考点】角形内角和定理及圆周角定理
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再由圆周角定理即可求解．
解：在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°， ∴∠A=45°． ∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D， ∴∠DOB=2∠A=90°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及圆周角定理，比较简单
18.【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由割线定理可证得结论．
（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∵CE?CB=CD?CA，AC=AB=4，
∴?2=4CD，
∴CD=．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【考点】圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
20.【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°．
【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
21.【考点】 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】 （1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，．
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD．
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，
CE=CD=×24=12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）
解得R=13，∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直径为26cm．
【点评】 本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（ ）
A．40° B． 50° C． 80° D． 100°
3.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
4.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）
A．50° B． 80° C． 90° D． 100°
5.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
6.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
7.如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
8.如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）
A． B． AF=BF C． OF=CF D． ∠DBC=90°
二 、填空题
9.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB．若∠DAB=65°，则∠AOC=．
10.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC=．
11.如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
12.如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为 度．
13.如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 _________ （写出一个即可）
14.如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是
15.如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为 ．
三 、解答题
16.如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
17.如图，在中，AB是的直径，与AC交于点D，，
求的度数；
18.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．
19.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
21.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
答案解析
一 、选择题
1.【考点】圆周角定理
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
2.解：连接OC．
则∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==40°．
故选A．
3.【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】利用垂径定理得出==，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
4.解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故选D．
5.【考点】圆周角定理．
【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键．
6.【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．
解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．
7.【考点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
解：∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB?sin∠AOB=，
∴BC=2BH=2，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8.【考点】 垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】 根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．
解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，
∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，
A、=，正确，故本选项错误；
B、AF=BF，正确，故本选项错误；
C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；
D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；
故选C．
【点评】 本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．
二 、填空题
9.【考点】 圆周角定理；垂径定理．
【分析】 由CD⊥AB．若∠DAB=65°，可求得∠D的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，继而求得答案．
解：解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，
∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，
∴∠AOC=2∠ADC=50°，
故答案为50°．
【点评】 本题考查了圆周角定理及垂径径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10.【考点】 圆周角定理；等边三角形的性质．
【分析】 因为⊙O是等边三角形ABC的外接圆，所以∠A=∠ABC=∠ACB=60°，所以∠BCD=∠A=60°．
解：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BDC=∠A=60°．
【点评】 此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11.【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
解：∵∠BAC=BOC，∠ACB=AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB=BAC=20°．
故答案为：20．
12.【考点】圆周角定理．
【分析】由∠BAO=25°，利用等腰三角形的性质，可求得∠AOB的度数，又由∠OCA=40°，可求得∠CAO的度数，继而求得∠AOC的度数，则可求得答案．
解：∵∠BAO=25°，OA=OB，
∴∠B=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，
∵∠ACO=40°，OA=OC，
∴∠C=∠CAO=40°，
∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，
∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形的性质求解是关键．
13.【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；垂径定理．
【分析】当P点与D点重合是∠DAB=75°，与O重合则OAB=60°，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度数可以是60°﹣﹣75°之间的任意数．
解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质．
14.【考点】圆周角定理
【分析】 先根据等腰三角形的性质求出∠ACO的度数，再由三角形内角和定理求出∠AOC的度数，由圆周角定理∠B的度数即可．
解：∵OA=OC，∠OAC=20°，
∴∠ACO=∠OAC=20°，
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，
∴∠B=∠AOC=×140°=70°．
故答案为：70°．
15.【考点】勾股定理的应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】连接OD，AD，根据OC平分∠BCD，BC=DC，即可得到BD⊥CO，依据AB是直径，可得AD⊥BD，进而得出AD=CO=1，再根据Rt△ABD，利用勾股定理可得BD=．
解：如图，连接OD，AD，
∵BC=DC，BO=DO，
∴∠BDC=∠DBC，∠BDO=∠DBO，
∴∠CDO=∠CBO，
又∵OC=OB=OD，
∴∠BCO=∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC=DC，
∴BD⊥CO，
又∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CO，
又∵AE=AO=2，
∴AD=CO=1，
∴Rt△ABD中，BD===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的综合运用，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
三 、解答题
16.【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°
∴∠B=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
17.【考点】角形内角和定理及圆周角定理
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再由圆周角定理即可求解．
解：在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°， ∴∠A=45°． ∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D， ∴∠DOB=2∠A=90°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及圆周角定理，比较简单
18.【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由割线定理可证得结论．
（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∵CE?CB=CD?CA，AC=AB=4，
∴?2=4CD，
∴CD=．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【考点】圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
20.【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°．
【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
21.【考点】 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】 （1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，．
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD．
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，
CE=CD=×24=12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）
解得R=13，∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直径为26cm．
【点评】 本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
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