九年级上册第四章相似图形与视图 复习测试(含答案解析)

相似图形与视图复习测试
题号 一 二 三 总分
得分


一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
如图所示，该几何体的俯视图是
A.
B.
C.
D.



如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A. B. C. D.
如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB=∠EPC；②∠APE=∠APB；③P是BC的中点；④BP：BC=2：3，其中能推出△ABP∽△ECP的有（　　）


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）
?
A. 4或 B. 3或 C. 2或4 D. 1或6
在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
如图，△ABC是一张纸片，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为

A.
B. 3
C.
D. 4



如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF 的面积为S，则△DCF的面积为（）

A. B. 2S C. 3S D. 4S
如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )




A. B.
C. D.
如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
?

①＝；②＝；③＝；④＝.

其中正确的个数有()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5



如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）


A. 2：3：5 B. 4：9：25 C. 4：10：25 D. 2：5：25
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为______．


已知，则=______．
△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为______．
如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7m×1.6m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为______m．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙．
（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子，并用线段表示；
（2）如果小亮的身高AB=1.6m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．







小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度．









如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．

（1）若∠ABF=∠ACF，求证：CE2=EF?EG；
（2）若DG=DC，BE=6，求EF的长．







如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转900得到线段EF，连接AF, EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G;

⑴BE=CG；
⑵探究线段BE、EN、DN间的等量关系，并说明理由；
⑶如图②，当点E运动到BC的中点时，若AB=6，求MN的长。







在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？








已知四边形ABCD，点E在边BC上，P为对角线BD上的动点，满足AP⊥PE．

（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），求证：PA＝PE；
（2）当四边形ABCD为矩形，且AD＝6，CD＝4时（如图2），试探究AP：PE是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．








答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【解答】
解：由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；
由左视图知共2行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行2个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．
即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：2+2+1=5个．
?故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键.
根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可.
【解答】
解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形.
故选C.
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是相似三角形有关知识，利用△ABC中，∠ACB=135°，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等两个三角形相似，即可解答.
【解答】
解：在△ABC中，∠ACB=135°，，，
C项中最大角为135°，对应两边分别为，
∵，
∴此题与△ABC相似.
故选C.
4.【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，
∵E为CD中点，
∴CD=2CE，即AB=BC=2CE，
①当∠APB=∠EPC时，结合∠B=∠C，可推出△ABP∽△ECP；
②当∠APE=∠APB≠60°时，则有∠APB≠∠EPC，所以不能推出△ABP∽△ECP；
③当P是BC中点时，则有BC=2PC，可知PC=CE，则△PCE为等腰直角三角形，而BP≠AB，即△ABP不是等腰直角三角形，故不能推出△ABP∽△ECP；④当BP：BC=2：3时，则有BP：PC=2：1，且AB：CE=2：1，结合∠B=∠C，可推出△ABP∽△ECP相似；
故选B．
利用相似三角形的判定定理，以及正方形的性质逐项判断即可．
本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．也考查了正方形的性质．
5.【答案】B
【解析】
解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，
①若△ADE∽△ABC，则AD：AB=AE：AC，
即x：6=（12-2x）：12，
解得：x=3；
②若△ADE∽△ACB，则AD：AC=AE：AB，
即x：12=（12-2x）：6，
解得：x=4.8；
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选B．
根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．
6.【答案】C
【解析】
解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；
（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．
故选C．
根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案．
考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质、勾股定理有关知识，直接利用勾股定理得出AB的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DE的长.
【解答】
解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵现将其折叠使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AE=BE=5，
∵∠DEB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
即，
解得：.
故选C.
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，及三角形面积的求法，内容比较广，根据平行四边形的性质，可证△EDF∽△CBF，继而证得相似之比为EF：CF=ED：BC=1：2，所以当△DEF的面积为S时，则△DCF的面积为2S．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴ED：CB=EF：CF，
∵E为AD的中点，
∴ED=AD=BC，
∴EF：CF=1：2，
从图中可以看出△EDF与△DCF共一顶点D，
所以高相等，
∴面积之比为：EF：CF=1：2，
∴当△DEF的面积为S时，则△DCF的面积为2S．
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【解答】解：∵∠B=∠B，　　
∴当时，△ABC∽△DBA，即当AB2＝BD·BC时，△ABC∽△DBA.
故选D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式证明△ODE和△ADC之间的关系是关键．BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断．
【解答】
解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，即，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
，
故①正确，②错误，③正确；
设△ABC的BC边上的高AF，则S△ABC= BC?AF，S△ACD= S△ABC=BC?AF，
∵△ODE中，DE= BC，DE边上的高是 ×AF=AF，
∴S△ODE= × BC×AF=BC?AF，
∴，
∵S△ADE=S△ACD，
∴=故④正确．?
故正确的是①③④．
故选C．
11.【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AGE∽△BEF，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∵AG=1，BF=2，
∴，
解得：BE=AE=，
在Rt△AEG中，GE2=AG2+AE2=3，
在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2=6，
∴在Rt△GEF中，GF==3．
故选B．
由在正方形ABCD中，∠GEF=90°，易证得△AGE∽△BEF，又由E为AB的中点，AG=1，BF=2，根据相似三角形的对应边成比例，易求得AE与BE的长，然后由勾股定理求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
12.【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∵DE：CE=2：3，
∴DE：AB=2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴=（）2=，==，
∴===（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故选C．
根据平行四边形性质得出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，推出△DEF∽△BAF，求出=（）2=，==，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出===，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
13.【答案】
【解析】
解：如图所示：
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，
∴，
解得：x=，
则EH=．
故答案为：．
设EH=3x，表示出EF，由AD-EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
14.【答案】-
【解析】
解：∵，
∴设x=3a，y=4a，z=5a，
∴===-．
故答案为：-．
根据题意设x=3a，y=4a，z=5a，进而代入求出即可．
此题主要考查了比例的性质，假设出未知数进而代入求出是解题关键．
15.【答案】（-2，-3）或（2，3）
【解析】
解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，A（4，6），
则点A的对应点A′的坐标为（-2，-3）或（2，3），
故答案为：（-2，-3）或（2，3）．
根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行解答．
本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
16.【答案】0.9
【解析】
解：由题意可得出：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD，
∴△EBF∽△DCF，
∴=，
∴=，
解得：BF=0.9．
故答案为：0.9．
根据题意得出△EBF∽△DCF，进而利用相似三角形的性质得出比例式求出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出△EBF∽△DCF是解题关键．
17.【答案】解：（1）如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子.?
?
（2）过M作MN⊥DE于N，如图，

设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，
∴，
又∵AB=1.6，BC=2.4，
DN=DE-NE=15-x，
MN=EG=16，
∴， ?
解得：.
答：旗杆的影子落在墙上的长度为米.

【解析】
本题考查了平行投影以及相似三角形性质的运用有关知识.
（1）连接AC，过D点作AC的平行线即可；
（2）过M作MN⊥DE于N，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可.
18.【答案】解：如图，
∵某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，
∴CD：DF=1：1.2，
∴DF=1.2CD=1.2×2=2.4，
∴BF=BD+DF=9.6+2.4=12，
∵AB：BF=1：1.2，
∴AB==10．
答：旗杆AB的高度为10m．
【解析】

如图，利用在同一时刻物高与影长的比相等得到CD：DF=1：1.2，则可计算出DF=2.4，所以BF=12，然后根据AB：BF=1：1.2可计算出AB．
本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠G，
又∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠G，
又∵∠CEF＝∠GEC，
∴△CEF∽△GEC，

∴.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴AB＝DC，∠ABF＝∠DGF，
又∵DG＝DC，
∴DG＝AB，
又∵∠AFB＝∠DFG，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴AF＝DF，，
又∵AF∥BC，△AEF∽△CEB，
，.

【解析】
本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质有关知识.
（1）根据四边形ABCD是平行四边形得出AB//CD，得出∠ABF＝∠G，然后再证明出三角形相似，即可解答；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形得出AB//CD，AB=CD，然后再证明出三角形全等得出AF=DF，再根据AF//BC得出三角形相似，即可解答.
20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
在△BAE和△GEF中，
，
∴△BAE≌△GEF，
∴AB=EG，
∵AB=BC，
∴BC=EG，
∴BE=CG；
（2）解：BE+DN=EN，
理由：将△ADN顺时针旋转90°，到△ABH位置，

可得∠HAB=∠NAD，AH=AN，BH=DN，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠EAF=45，∠EAG+∠NAG=45°
∴∠BAE+∠DAN=45°，
∴∠BAE+∠HAB=45°，
∴∠HAE=∠NAE，
∵AH=AN，AE=AE，
∴△HAE≌△NAE，
∴HE=EN，
∴BE+HB=EN，
∴BE+DN=EN；
（3）过点F作FP⊥CD，垂足为P，

∵由（1）知BE=CG=GF，
∵点E是BC的中点，AB=6，
∴BE=CG=GF=3，
∵FP⊥CD，∠D=90°，
∴AD∥FP，
∴△ADN∽△FPN，
∴，
∵AD=6，FP=3，DP=3，
∴PN=1，
同理得出PM=，
∴.

【解析】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质.
（1）将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，可得AE=EF，∠AEF=90°，证明△BAE≌△GEF，可的结果；
（2）将△ADN顺时针旋转90°，到△ABH位置，证明△HAE≌△NAE，可的结果；
（3）过点F作FP⊥CD，垂足为P，证明△ADN∽△FPN，求出PN的长，同理得出PM的长，相加即可.

21.【答案】解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20-4t，
（1）当t=3秒时，CP=20-4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=；

（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20-4t，
因此Rt△CPQ的面积为S=cm2；

（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t=秒．
因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】

（1）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；
（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=CP×CQ求解；
（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据=，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据=，可求出时间t．
本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．
22.【答案】（1）证明：如图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
所以四边形BMNP是正方形.
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，
∴∠APM=∠EPN，
∴△APM≌△EPN，
∴PA=PE；
（2）解：AP：PE是定值，理由如下：
如图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∵AP⊥PE，∴∠APE=90°，
∴∠APM=∠EPN，
∵∠AMP=∠ENP，
?∴△AMP∽△ENP，
∴.
∵PM∥AD，PN∥CD，
∴，,
∴，
则,
∴.

【解析】
本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，综合性比较强.
（1）过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，证明△APM≌△EPN；
（2）过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，证明?△AMP∽△ENP，结合平行线分线段成比例定理求解.


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