21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.
【教学难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.
◇教学过程◇
一、情境导入
从桌面弹射粉笔,从空中平抛粉笔和乒乓球,观察物体在空中的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?
二、合作探究
探究点1 二次函数y=ax2的图象
典例1 (1)用描点法在同一坐标系中画出y=x2,y=x2,y=2x2的图象.
(2)比较上述图象,抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系?
(3)根据你的研究结果,请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y=x2的图象.
[解析] (1)y=x2,y=x2,y=2x2的图象如图所示.
(2)抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系:系数越大,开口越小.
(3)平面直角坐标系中近似画出函数y=x2的图象如图虚线所示.
变式训练 已知y=(k+2)是二次函数.
(1)求k的值;
(2)画出函数的图象.
[解析] (1)∵y=(k+2)为二次函数,
解得k=1.
(2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象.
列表:
x -1 - 0 1 …
y=3x2 3 0 3 …
描点:(-1,3),,(0,0),,(1,3).
连线:用光滑的曲线按x从小到大的顺序连接各点,图象如图所示.
探究点2 二次函数y=ax2的性质
典例2 已知点(-3,y1),(1,y2),(,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .?
[解析] 方法一:把x=-3,1,分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2.
方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2.
方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1).又∵3>>1,∴y1>y3>y2.
【归纳总结】比较二次函数中函数值的大小有三种方法:①直接把自变量的值代入表达式中,求出对应函数值进行比较;②图象法;③根据函数的增减性进行比较,但当要比较的几个点在对称轴的两侧时,可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点,转化到同侧后,然后利用性质进行比较.
变式训练 已知函数y=(m+3)是关于x的二次函数.
(1)求m的值.
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?
(3)当m为何值时,该函数有最小值?
(4)试说明函数图象的增减性.
[解析] (1)∵函数y=(m+3)是关于x的二次函数,∴m2+3m-2=2,m+3≠0,解得:m1=-4,m2=1.
(2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,
∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.
(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3,
∴当m=1时,该函数有最小值.
(4)当m=1时,x>0时,y随x的增大而增大,x<0时,y随x的增大而减小;
当m=-4时,x>0时,y随x的增大而减小,x<0时,y随x的增大而增大.
二次函数y=ax2的最值是图象顶点的纵坐标,当a>0时,函数图象的开口向上,顶点是最低点,此时顶点的纵坐标为函数的最小值;当a<0时,函数图象的开口向下,顶点是最高点,此时顶点的纵坐标为函数的最大值.
三、板书设计
二次函数y=ax2的图象和性质
二次函数y=ax2的图象和性质
◇教学反思◇
本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.
第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
使学生能利用描点法作出二次函数y=ax2+k的图象.
【过程与方法】
让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、归纳的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质.
【教学难点】
理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,隧道的截面是抛物线,可以用y=-x2+4表示,该隧道内设双行道,限高为3 m,那么每条行道宽是多少米?
二、合作探究
探究点1 函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象的相互关系
典例1 下图是y=2x2+1,y=2x2-1图象,根据图象回答下列问题:
(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1开口方向 ,对称轴是 ,顶点坐标 .?
(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与y=2x2之间有什么关系?
[解析] (1)向上;y轴;(0,1),(0,-1).
(2)y=2x2+1是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的,而y=2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的.
二次函数y=ax2与y=ax2+k(a>0)的图象的异同点:开口方向向上、开口大小相同、对称轴都为y轴,顶点坐标不同,分别为(0,0),(0,k).
变式训练 抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到 ( )
A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
[答案] B
探究点2 二次函数y=ax2+k的图象特征
典例2 已知一次函数y=ax-c的图象如图1所示,则二次函数y=ax2+c的图象大致为图2中的 ( )
[解析] 由一次函数y=ax-c的图象可知a<0,c<0.由a<0可知,抛物线y=ax2+c的开口向下,由c<0可知,抛物线y=ax2+c与y轴的交点在x轴下方,且抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴,所以只有D符合条件.
[答案] D
【技巧点拨】解此类题目的关键是熟知一次函数与二次函数的图象特点,特别是理解a,b,c对抛物线形状及开口方向、位置的影响.
变式训练 数学课上,李老师给同学们出了这样一道数学题:m取何值时,抛物线y=(m-2)+1的开口向下?小明看到题后,只用了几分钟,就完成了这道题,他的解答过程如下:
∵抛物线开口向下,∴m-2<0,∴m<2,即当m<2时抛物线y=(m-2)+1的开口向下.
同学们,你认为小明的解答过程正确吗?如果不正确,请帮小明分析错误的原因,并改正过来.
[解析] 错误原因:忘记x的指数为2.
正确解法:∵抛物线开口向下,∴m-2<0,∴m<2,又∵函数为二次函数,∴m2=2,解得m=±,∴当m=±时,抛物线开口向下.
探究点3 二次函数y=ax2+k的图象性质
典例3 已知y=ax2+k的图象上有三点A(-5,y1),B(1,y2),C(3,y3),且y2A.a>0 B.a<0
C.a≥0 D.a≤0
[解析] 点A(-5,y1)关于y轴的对称点是A'(5,y1),由1<3<5且y20时,y随x的增大而增大,所以a>0.
[答案] A
变式训练 已知函数y=(k+2)+2是关于x的二次函数.求k的值;当x为何值时,y随x的增大而增大?
[解析] k2-k-4=2,∴k1=3,k2=-2.
当k=-2时,k+2=0应舍去.∴k=3.
当x>0时,y随x的增大而增大.
三、板书设计
二次函数y=ax2+k的图象与性质
y=ax2+k a>0 a<0
图象
开口 开口向上 开口向下
a的绝对值越大,开口越小
顶点 (0,k)
顶点是最低点,有最小值 顶点是最高点,有最大值
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
◇教学反思◇
通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:
首先,掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;
其次,能够理解a,k对函数图象的影响,初步体会二次函数表达式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础;
最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神.
第3课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.
【过程与方法】
使学生经历探究二次函数y=a(x+h)2性质的过程,理解函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象,理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
【教学难点】
理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
在青青草原上,慢羊羊在课堂上讲授有关二次函数的知识,只见他把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向平移1个单位长度.然后提出问题:平移所得的四条抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何?
二、合作探究
探究点1 二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系
典例1 抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式.
[解析] 抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y=a(x-3)2,
把x=-1,y=4代入,得4=a×(-1-3)2,解得a=
∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y=(x-3)2.
【技巧点拨】抛物线y=a(x-h)2与y=ax2形状相同,位置不同,y=a(x-h)2是由y=ax2左右平移得到的,二次函数图象的平移规律:左加右减,上加下减.
变式训练 已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0),且过点A
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗?
(3)你能通过左、右平移函数图象,使它过点B吗?若能,请写出平移方案.
[解析] (1)由已知可得y=a(x+1)2,
又∵过点A,∴a=-,
∴y=-(x+1)2.
(2)当x=2时,y=-(2+1)2=--2,
∴点B(2,-2)不在这个函数图象上.
(3)能,因为左、右平移只改变m的值,
∴-2=-(2+m)2,
∴2+m=±2,∴m1=0,m2=-4,
∴y=-x2或y=-(x-4)2
∴方案一:把y=-(x+1)2向右平移1个单位;
方案二:把y=-(x+1)2向右平移5个单位.
探究点2 函数y=a(x+h)2图象特征
典例2 在同一坐标系中画出二次函数y=2x2,y=2x2+1和y=2(x+1)2的图象,并回答下列问题:
(1)它们的形状相同吗?
(2)分别说出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.
[解析] 画出函数的图象如图:
(1)它们的形状相同;
(2)函数y=2x2的开口向上,顶点坐标为(0,0),对称轴是y轴;函数y=2x2+1的开口向上,顶点坐标为(0,1),对称轴是y轴;函数y=2(x+1)2的开口向上,顶点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=-1.
探究点3 函数y=a(x+h)2增减性
典例3 若二次函数y=-(x-m)2,当x>1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 .?
[解析] ∵y=-(x-m)2,
∴二次函数对称轴为x=m,开口向下,
∴当x>m时,y随x的增大而减小,
∵当x>1时,y随x的增大而减小,∴m≤1.
[答案] m≤1
变式训练 对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是 ( )
A.y随x的增大而增大
B.当x>0时,y随x的增大而增大
C.当x=-1时,y有最小值0
D.当x>1时,y随x的增大而增大
[答案] D
三、板书设计
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y的最值 增减性
在对称轴左侧 在对称轴右侧
y=a(x+h)2 a>0 向上 直线x=-h (-h,0) 最小值是0 y随x的增大而减小 y随x的增大而 增大
a<0 向下 直线x=-h (-h,0) 最大值是0 y随x的增大而增大 y随x的增大而 减小
◇教学反思◇
通过本节学习使学生认识到y=a(x+h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x+h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左、向右平移,从中领会数形结合的数学思想.
第4课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并掌握二次函数y=a(x+h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;
2.确定函数y=a(x+h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
经历函数y=a(x+h)2+k性质的探索过程,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
确定函数y=a(x+h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x+h)2+k的性质.
【教学难点】
正确理解函数y=a(x+h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+1)2-1有哪些性质?
二、合作探究
探究点1 二次函数y=a(x+h)2+k的图象
典例1 二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为 ( )
[解析] 根据函数表达式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可.a=1>0,抛物线开口向上,由表达式可知对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2,-1).
[答案] D
变式训练 二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过 ( )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
[答案] B
探究点2 二次函数y=a(x+h)2+k的图象与y=ax2之间的关系
典例2 将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得的抛物线是 ( )
A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+1
C.y=(x+2)2+1 D.y=(x+2)2-1
[解析] 由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=x2向下平移1个单位所得抛物线的表达式为y=x2-1;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=x2-1向右平移2个单位所得抛物线的表达式为y=(x-2)2-1.
[答案] A
变式训练 将抛物线y=2(x+1)2-2向右平移2个单位,再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式是 ( )
A.y=2(x+3)2 B.y=(x+3)2
C.y=(x-1)2 D.y=2(x-1)2
[答案] D
一般地,抛物线y=a(x+h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x+h)2+k.平移的方向、距离要根据h,k的值决定.
探究点3 二次函数y=a(x+h)2+k的性质
典例3 对于二次函数y=2(x-1)2-3的图象性质,下列说法不正确的是 ( )
A.开口向上
B.对称轴为直线x=1
C.顶点坐标为(1,-3)
D.最小值为3
[解析] a=2>0,则函数开口向上,故A正确;对称轴是x=1,故B正确;顶点坐标是(1,-3),故C正确;最小值是-3,故D错误.
[答案] D
变式训练 已知二次函数y=a(x-1)2+3,当x<1时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 ( )
A.a≥0 B.a≤0
C.a>0 D.a<0
[答案] D
三、板书设计
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
函数 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 y的最值 增减性
在对称轴左侧 在对称轴右侧
y=a(x+h)2+k a>0 向上 直线x= -h (-h,k) 最小值是k y随x的增大而 减小 y随x的增大而 增大
a<0 向下 直线x= -h (-h,k) 最大值是k y随x的增大而 增大 y随x的增大而 减小
◇教学反思◇
教师在学生探究真知之旅上应是一个促进者、协作者、组织者.要做善于点燃学生探究欲望和智慧火把的人,要善于让学生说教师要说的话,做教师想做的事,这就是一个成功的促进者.
数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.要彻底抛弃“唯书论”“唯师论”,与学生一起去探究协作,寻觅适合学生自己的真知才是最有效的教学.要开展成功的探究,教师要科学设置问题情景或问题素材,使探究的问题具有层次性和探究性,适时、适势、适度地用教学机制调控课堂.
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程.
【情感、态度与价值观】
鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
【教学难点】
理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们已经知道了二次函数y=a(x+h)2+k的图象特点,那么二次函数y=-2x2-8x-7的图象有什么特点?
二、合作探究
探究点1 化二次函数y=ax2+bx+c为y=a(x+h)2+k的形式
典例1 用配方法把函数y=-3x2+6x+1化成y=a(x+h)2+k的形式,并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
[解析] y=-3x2+6x+1=-3(x2-2x)+1=-3(x-1)2+4.
开口方向向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点坐标是
用配方法将一般式转化为顶点式的步骤是一提、二配、三整理.“提”就是提取二次项系数,使二次项系数变为1,注意不能像配方法解方程一样,两边同除以二次项系数;“配”就是配上一次项系数一半的平方,注意这里的一次项系数是在第一步提取了二次项系数后的一次项系数;“整理”就是将式子整理成y=a(x+h)2+k的形式(即顶点式).
探究点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
典例2 二次函数y=-x2+2kx+1(k<0)的图象可能是 ( )
[解析] 函数y=-x2+2kx+1(k<0)的对称轴是x=-=k<0,得对称轴在y轴的左侧.当x=0时,y=1,图象与y轴的交点在x轴的上方,故A正确.
[答案] A
典例3 若点A(2,y1),B(-3,y2),C(-1,y3)均在抛物线y=x2-4x-m的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2
[解析] ∵二次函数y=x2-4x-m中a=1>0,∴开口向上,对称轴为x=-=2.∵点A(2,y1)在对称轴上,∴y1最小.又∵B(-3,y2),C(-1,y3)都在对称轴的左侧,而在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故y2>y3.∴y2>y3>y1.
[答案] C
【方法总结】当二次项系数a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.
典例4 已知二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值为2,则a的值为 ( )
A.3 B.-1 C.4 D.4或-1
[解析] ∵二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值2,∴a>0,y最小值==2,整理,得a2-3a-4=0,解得a=-1或4.∵a>0,∴a=4.
[答案] C
【技巧点拨】求二次函数的最大(小)值有三种方法:第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.
探究点3 二次函数图象与性质的应用
典例5 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是 ( )
A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0
C.ab<0,c>0 D.ab<0,c<0
[解析] 由图象可知,a<0,x=->0,c>0,所以ab<0,C正确.
[答案] C
三、板书设计
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.化二次函数y=ax2+bx+c为y=a(x+h)2+k的形式
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
3.二次函数图象与性质的应用
◇教学反思◇
本节课研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,关键是通过配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x+h)2+k的形式.教学时,可以结合复习一元二次方程的知识,认识两者的相同与不同之处.注意让学生根据图象或利用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标.
*第6课时 二次函数表达式的确定
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的表达式的方法;
2.掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的表达式的方法.
【过程与方法】
体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力.
【情感、态度与价值观】
体验二次函数的表达式的应用,使学生认识数学的重要性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的表达式 .
【教学难点】
已知图象上三个点的坐标求二次函数的表达式;根据不同条件选择不同的方法求二次函数的表达式.
◇教学过程◇
一、情境导入
芳芳在平面直角坐标系画了一个二次函数的图象,该图象有如下三个特点:①开口向下;②顶点是原点;③过点(6,-6).你能确定该二次函数的表达式吗?
二、合作探究
探究点1 待定系数法求二次函数的表达式
典例1 已知二次函数经过(-1,10),(1,4),(2,7),求这个二次函数表达式.
[解析] 设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,∵二次函数y=ax2+bx+c过点(-1,10),(1,4),(2,7)三点解得所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.
变式训练 有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0,求这个二次函数表达式.
[解析] 设所求二次函数表达式为y=ax2+bx+c,由题意得解方程组得故所求二次函数表达式为y=x2+x-1.
典例2 已知抛物线的顶点为(-2,5),且点(1,-4)在抛物线上,求抛物线的表达式.
[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(-2,5),∴可设抛物线的表达式为y=a(x+2)2+5.∵抛物线过点(1,-4),∴(1+2)2·a+5=-4,解得a=-1.∴所求抛物线的表达式为y=-(x+2)2+5.
变式训练 如图,抛物线的对称轴为y轴,求图中抛物线的表达式.
[解析] ∵抛物线上一点坐标为(0,3),∴可设抛物线表达式为y=ax2+3.∵抛物线上一点坐标为(1,1),∴1=a+3.解得a=-2.∴抛物线表达式为y=-2x2+3.
探究点2 求直线与抛物线的交点
典例3 直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是 .?
[解析] 联立两函数的表达式有解方程组得则直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是(1,3),(-2,0).
变式训练 直线y=ax-6与抛物线y=x2+4x+3只有一个交点,则a= .?
[答案] -2或10
三、板书设计
二次函数表达式的确定
1.待定系数法求二次函数的表达式
2.求直线与抛物线的交点
◇教学反思◇
本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a,b,c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a,b,c的三元一次方程组,求出三个待定系数a,b,c就可以写出二次函数的表达式.
教学过程中应让学生自主探索二次函数表达式的求法,让学生体会数学知识的价值,从而提高学习数学知识的兴趣.
