24.1.2 垂直于弦的直径课时作业（2）

24.1.2 垂直于弦的直径课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　）
A．2cm B． cm C． D．
2.一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心，5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD=6，则隧道的高（ME的长）为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
3.如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
4.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的
算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，
不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，
问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
5.小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片
到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（　　）
A． 2 B． C． 2 D． 3
6.在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油
面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（　　）
A． 6分米 B． 8分米 C． 10分米 D． 12分米
7.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（　　）
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
二 、填空题
8.某体育馆的圆弧形屋顶如图所示，最高点C到弦AB的距离是20m，圆弧形屋顶的跨度AB是80m，则该圆弧所在圆的半径为　 　m．
9.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为　　　　　　cm．
10.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于______m
11.如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为　_________　厘米．
12.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为　_________　mm．

13.为了改善市区人民的生活环境，某市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100cm，截面如图所示，若管内的污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为　　　　　　．
14.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为　　　　　　厘米．
15.如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．
（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为　 　cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为　 　cm．
三 、解答题
16.如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．
17.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果为⊙的直径，弦于，寸，寸，那么直径的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出的长．
18.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．
（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．
19.如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．
（1）说明本次台风是否会影响B市；
（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．
答案解析
一 、选择题
1.【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
解：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD=OA=1cm，
再根据勾股定理得：AD=cm，
根据垂径定理得：AB=2cm．
故选：C．
【点评】注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1．考查了勾股定理以及垂径定理．
2.【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM=DM=3，在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，可求得OM，进而就可求得EM．
解：∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD=6则有：CM=CD=3，
设OM是x米，
在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，
即：52=32+x2，
解得：x=4，
所以EM=5+4=9．
故选D．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
3.【考点】垂径定理的应用．
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
4.【考点】垂径定理的应用
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
5.【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】在网格中找点A、B、D（如图），作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心，故OA即为此圆的半径，根据勾股定理求出OA的长即可．
解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．
连接OA、OB，
∵OC⊥AB，OA=OB
∴O即为此圆形镜子的圆心，
∵AC=1，OC=2，
∴OA===．
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．
6.【考点】垂径定理的应用．
【分析】如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，设OE=x，则OF=x﹣1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN．
解：如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，
设OE=x，则OF=x﹣1，
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，
在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，
∵OA=OC，
∴32+x2=42+（x﹣1）2，
解得x=4，
∴半径OA==5，
∴直径MN=2OA=10分米．
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解．
7.【考点】垂径定理的应用．
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AD∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===0.75米，
OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，
∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．
1.25×2=2.5（米）．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．
二 、填空题
8.【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先设出圆弧形屋顶所在圆的半径为O，所在圆的半径为r，过O作OD⊥AB交⊙O于点C，再利用勾股定理可得问题答案．
解：设圆弧形屋顶所在圆的半径为O，所在圆的半径为r，
过O作OD⊥AB交⊙O于点C．
由题意可知CD=20m，
在Rt△BOD中，B02=OD2+BD2，
r2=（r﹣20）2+402，得r=50．
故答案为50．
【点评】本题考查垂径定理．解题思路：有关弦的问题常作弦心距，构造直角三角形利用勾股定理解决．在解题过程中要注意列方程的方法．
9.【考点】垂径定理的应用．
【分析】设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解决问题．
解；如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∵AD=DB=AB=20，
在RT△AOD中，∵∠ADO=90°，
∴OA2=OD2+AD2，
∴R2=202+（R﹣10）2，
∴R=25．
故答案为25．
10.【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
解：如图：
∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，
∴OE=0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF=0.8﹣0.2=0.6m，
∴CF=m，
∴CD=1.6m．
故答案为：1.6．
11.【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．
解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，
∴AC=9﹣3=6，
过点O作OB⊥AC于点B，则AB=AC=×6=3cm，
设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r，
在Rt△AOB中，
OA2=OB2+AB2，即r2=（r﹣2）2+32，
解得r=cm．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12.【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD===4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13.【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】首先连接OA，过点O作OE⊥AB，交⊙O于F，根据垂径定理，即可求得AE的值，然后在Rt△OAE中，利用勾股定理，即可求得OE的值，继而求得污水的最大深度．
解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交⊙O于F，
∵圆柱型水管的直径为100cm，
∴AO=FO=50cm，
∵AB=60cm，
∴AE=30cm，
∴OE===40（cm），
∴EF=50﹣40=10（cm），
故答案为：10cm．
【点评】此题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，此类题要构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后根据勾股定理以及垂径定理进行计算．
14.考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM是16﹣x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
解答： 解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，则OM=16﹣x，MF=8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（16﹣x）2+82=x2
解得：x=10
故答案为：10．
点评： 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
15.【考点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；
解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．
∵D1A=D1B1=30
∴D1是的圆心，
∵AD1⊥B1C1，
∴B1H=C1H=30×sin60°=15，
∴B1C1=30
∴弓臂两端B1，C1的距离为30
（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．
设半圆的半径为r，则πr=，
∴r=20，
∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，
在Rt△GB2D2中，GD2==10
∴D1D2=10﹣10．
故答案为30，10﹣10，
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三 、解答题
16.【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算．
解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM=．
∵DE=8（cm）
∴DM=4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD=OC=5（cm），
∴OM===3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
【点评】综合运用了垂径定理和勾股定理．
17.【考点】垂径定理的应用，勾股定理
【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=r寸，则AB=2r寸，OE=(r﹣1)寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长.?
解:示意图如图所示, 连接OC

∵AB为⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，CD=10，
∴CE=CD=5 .
∵AE=1 ，
设⊙O的半径为r寸, 则OE 为r-1寸
在Rt△CEO中，由勾股定理得

解得r=13，
∴ 直径AB的长为26寸.
18.【考点】作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理的应用．
【分析】（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到OC⊥AB，AD=BD=AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=（r﹣20）2+402，然后解方程即可．
解：（1）如图1，
点O为所求；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，
∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=40，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，
在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，
即所在圆的半径是50m．
19.【考点】勾股定理；垂径定理的应用．
【分析】（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与260千米相比较即可．
（2）以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．
解：（1）作BH⊥PQ于点H．
在Rt△BHP中，
由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°，
∴BH=480sin30°=240＜260，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260，
∴P1P2=2=200，
∴台风影响的时间t==5（小时）．
故B市受台风影响的时间为5小时．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆．