【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第1节 圆的有关性质训练卷

【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第一节 圆的有关性质
一．选择题（共8小题）
1．同圆中的两条弦长为m1和m2，圆心到两条弦的距离分别为d1和d2，且d1＞d2，那么m1，m2的大小关系是（　　）
A．m1＞m2 B．m1＜m2 C．m1=m2 D．m1≤m2
2．如图，AC是⊙O的直径，点B、D在⊙O上，那么图中（不再添辅助线）等于∠BOC的角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列几个命题：①直径是弦②经过三个点一定可以作圆③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦⑤圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴⑥长度相等的两条弧是等弧⑦半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，=，连接AD、AC，若∠DAB=55°，则∠CAB等于（　　）
A．34° B．16° C．30° D．35°
5．如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=120°，点C在上，OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，当点C从点A运动到点B时，线段DE长度的变化情况是（　　）
A．先变小，后变大 B．先变大，后变小 C．DE与OD的长度保持相等 D．固定不变

第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
6．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=6，BC=16，∠A=∠B=60°，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．如图，E，B，A，F四点共线，点D是正三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB上异于A，B的一个动点，且满足∠CPD=30°，则（　　）
A．点P一定在射线BE上 B．点P一定在线段AB上
C．点P可以在射线AF上，也可以在线段AB上 D．点P可以在射线BE上，也可以在线段
8．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．
①∠BAC=45°；②四边形AFHG是正方形；③BC=BG+CF；④若BD=6，CD=4，则AD=10．
以上说法正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
　
第7题图 第8题图 第10题图 第11题图
二．填空题（共8小题）
9．若弦长等于半径，则弦所对的圆心角的度数是　 　，弦所对弧的度数是　 　．
10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为　 　cm．
11．（1）⊙O的半径为r，那么⊙O的弦长的取值范围是　 　；
（2）在平面直角坐标系内，如果点A到坐标原点的距离等于3，那么请你任意写出三个满足条件的点A的坐标　 　；
（3）如图，在△ABC中，∠C是直角，∠A=32°，以点C为圆心，BC为半径作圆交AB于点D，交AC于点E，那么的度数是　 　．
12．如图，AB为⊙O的直径，若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是　 　．
13．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点．弦AB分别交OC、OD于点E、F，下列结论：①∠AOC=30°；②CE=DF；③∠AEO=105°；④AE=EF=FB．其中正确的有　 　．
14．（按非课改要求命制）如图，CD是⊙O的弦，点P在弦CD上，点A是弧CD的中点，过点P作PA⊥OP交⊙O于点A，已知，CP=2cm，PD=8cm，则PA=　 　cm．
15．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=　 　．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
16．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　 　．
三．解答题（共8小题）
17．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
20．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
21．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．
（1）求证：∠DCF=∠DAB；
（2）求证：；
（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
22．如图，BE是⊙O的直径，点A，C，D，F都在⊙O上，=，连接CE，M是CE的中点，延长DE到点G，使得EG=DE，并且交AF的延长线于点G，此时F恰为AG的中点．
（1）若∠CDE=120°，CE=4，求⊙O的周长．
（2）求证：2FE=CE．
（3）试探索：在上是否存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形，并说明理由．
23．问题探究
（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？
（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？
问题解决
（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？
24．如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：CD2+3CH2是定值．
　
【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第一节 圆的有关性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．同圆中的两条弦长为m1和m2，圆心到两条弦的距离分别为d1和d2，且d1＞d2，那么m1，m2的大小关系是（　　）
A．m1＞m2 B．m1＜m2 C．m1=m2 D．m1≤m2
【解答】解：如图所示：AB、CD是⊙O的两条弦，圆心到两条弦的距离分别为d1和d2，
AB=m1，CD=m2，OF=d2，OE=d1，d1＞d2，
连接OD、OB，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
∴OF、OE分别是CD、AB的垂直平分线，
∴CD=2DF=2=2，
AB=2EB=2=2=2，
∵OD=OB，d1＞d2，
∴CD＞AB，
即m1＜m2．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此类问题的关键是根据题意作出图形，再利用勾股定理求解．
　
2．如图，AC是⊙O的直径，点B、D在⊙O上，那么图中（不再添辅助线）等于∠BOC的角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
由圆周角定理知，
∠BAC=∠CDB=∠BOC，
故∠OBA=∠BAC=∠CDB=∠BOC，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理，圆周角等于圆周角的一半的知识点要牢记，还涉及等腰三角形的性质，基础题不是很难．
　
3．下列几个命题：①直径是弦②经过三个点一定可以作圆③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦⑤圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴⑥长度相等的两条弧是等弧⑦半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
【解答】解：①直径是弦．正确；
②经过三个点一定可以作圆．错误，应该是经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆．
③相等的圆心角所对的弧相等．错误，应该是在同圆或等圆中；
④平分弦的直径垂直于弦．错误，此弦非直径；
⑤圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．正确；
⑥长度相等的两条弧是等弧．错误，应该是完全重合的两条弧是等弧；
⑦半径相等的两个半圆是等弧．正确；
故选：B．
【点评】本题考查弦、垂径定理、确定一个圆的条件、圆周角定理、轴对称图形、等弧等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，=，连接AD、AC，若∠DAB=55°，则∠CAB等于（　　）
A．34° B．16° C．30° D．35°
【解答】解：如图，连接OD，OC，
∵OA=OD
∴∠ADO=∠DAB=55°
∴∠AOD=180°﹣2∠DAB=180°﹣110°=70°
即弧AD=弧BC的度数等于70°
∴∠COB=70°
∴∠CAB=∠COB=35°．
故选：D．
【点评】本题利用了等边对等角，三角形内角和定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
　
5．如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=120°，点C在上，OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，当点C从点A运动到点B时，线段DE长度的变化情况是（　　）
A．先变小，后变大 B．先变大，后变小
C．DE与OD的长度保持相等 D．固定不变
【解答】解：连接AB，作OF⊥AB于F，如图所示：
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴AF=BF，∠OAF=30°，
∴OF=OA=2，
∴AF==2，
∴AB=2AF=4，
∵OD⊥AC于点D，OE⊥BC于点E，
∴点D、E分别是BC和CA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=2；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线，垂径定理，勾股定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
　
6．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=6，BC=16，∠A=∠B=60°，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，如图所示：
设AB的长为x，
∵∠A=∠B=60°，
∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=x；
∵OA=6，BC=16，
∴BE=BC=8，DE=x﹣8，OD=x﹣6，
又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD，
∴x﹣8=（x﹣6），
解得：x=10．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．
　
7．如图，E，B，A，F四点共线，点D是正三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB上异于A，B的一个动点，且满足∠CPD=30°，则（　　）
A．点P一定在射线BE上
B．点P一定在线段AB上
C．点P可以在射线AF上，也可以在线段AB上
D．点P可以在射线BE上，也可以在线段
【解答】解：连接BD、PC、PD，如图，
∵△ABC等边三角形，
∴∠CBD=30°，
又∠CPD=30°，
∴∠CBD=∠CPD，
∴B、C、D、P四点共圆，
又∠BDC=90°，
∴点P在以BC为直径的圆上，
∴点P一定在线段AB上．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理及等边三角形的性质；利用四点共圆是正确解答本题的关键．
　
8．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．
①∠BAC=45°；
②四边形AFHG是正方形；
③BC=BG+CF；
④若BD=6，CD=4，则AD=10．
以上说法正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：连接OB和OC；
∵OE⊥BC，
∴BE=CE；
∵OE=BC，
∴∠BOC=90°，
∴∠BAC=45°，选项①正确；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四边形AFHG是正方形，选项②正确；
由折叠可得：BD=BG，CD=CF，
∴BC=BD+CD=BG+CF，选项③正确，
由②得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
设AD的长为x，则BH=GH﹣GB=x﹣6，CH=HF﹣CF=x﹣4．
在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102；
解得，x1=12，x2=﹣2（不合题意，舍去）；
∴AD=12．选项④错误，
则正确的选项有3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．
　
二．填空题（共8小题）
9．若弦长等于半径，则弦所对的圆心角的度数是　60°　，弦所对弧的度数是　60°或300°．　．
【解答】解：∵弦长等于半径，
∴由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形，
∴弦所对的圆心角的度数是60°；
∴弦所对弧的度数是60°或300°．
故答案为60°；60°或300°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
　
10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为　50　cm．
【解答】解：过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，
设OF=x，则OM=80﹣r，MF=40，
在Rt△OMF中，
∵OM2+MF2=OF2，即（80﹣r）2+402=r2，解得：r=50cm．
故答案为：50．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
11．（1）⊙O的半径为r，那么⊙O的弦长的取值范围是　0＜弦长≤2r　；
（2）在平面直角坐标系内，如果点A到坐标原点的距离等于3，那么请你任意写出三个满足条件的点A的坐标　（0，3）或（0，﹣3）或（3，0）　；
（3）如图，在△ABC中，∠C是直角，∠A=32°，以点C为圆心，BC为半径作圆交AB于点D，交AC于点E，那么的度数是　64°　．
【解答】解：（1）⊙O的弦长的取值范围是0＜弦长≤2r；
（2）点A坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（3，0）；
（3）连结CD，
如图，∵∠C是直角，∠A=32°，
∴∠B=90°﹣32°=58°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=∠B=58°，
∴∠BCD=180°﹣58°﹣58°=64°，
∴的度数为64°．
故答案为0＜弦长≤2r；（0，3）或（0，﹣3）或（3，0）；64°．
【点评】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
　
12．如图，AB为⊙O的直径，若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是　105°　．
【解答】解：∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∵∠AOD=30°，
∴∠A=（180°﹣30°）=75°，
∵∠A+∠C=180°，
∴C=180°﹣75°=105°．
故答案为105°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆的内接四边形的性质．
　
13．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点．弦AB分别交OC、OD于点E、F，下列结论：①∠AOC=30°；②CE=DF；③∠AEO=105°；④AE=EF=FB．其中正确的有　①②③　．
【解答】解：∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，
∴∠AOC=∠AOB=×90°=30°，故①正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴CE=DF，故②正确；
∵△AOE中，∠OAB=45°，∠AOC=30°，
∴∠AEO=180°﹣45°﹣30°=105°，故③正确；
连接AC，BD，
∵由②知，OC=OD，OE=OF，
∴EF∥CD，
∴EF＜CD，
∵C，D是的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理等知识，难度适中．
　
14．（按非课改要求命制）如图，CD是⊙O的弦，点P在弦CD上，点A是弧CD的中点，过点P作PA⊥OP交⊙O于点A，已知，CP=2cm，PD=8cm，则PA=　4　cm．
【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵点A是弧CD的中点，
AO⊥CD，
又∵CP=2cm，PD=8cm，
∴CD=10cm，CM=5cm，
根据勾股定理，设OC=r，OM=x，
则r2﹣x2=25，①
在△OPM中，OP2=x2+9，②
∵PA⊥OP，
∴OP2+AP2=r2，③
联立①②③，
即可求出AP=4cm．
【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
　
15．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=　　．
【解答】解：如图，延长ME交⊙O于G，
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG，
过点O作OH⊥MG于H，连接MO，
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1，
OM=×6=3，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE?sin60°=1×=，
在Rt△MOH中，MH===，
根据垂径定理，MG=2MH=2×=，
即EM+FN=．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．
　
16．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　4　．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
　
三．解答题（共8小题）
17．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x﹣8）2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
【点评】本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解．
　
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
【解答】（1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，
∴∠1=∠2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
　
19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE=6，
∴CE===2，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
20．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
【解答】解：（1）
作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，
∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm，
∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，
∴OH=cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；
（2）作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，
∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm，
∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，
∴∠OEH=60°﹣15°=45°，
在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，
∴OH=cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；
即CD=2cm．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
　
21．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点．
（1）求证：∠DCF=∠DAB；
（2）求证：；
（3）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
【解答】（1）证明：∵∠DCF是△BDC的外角，
∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．
∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠DCF=∠DAB．（1分）
（2）解：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∵AG过O点，为圆O直径，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴．
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°．
∴∠DAP+∠ADP=90°．
∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，
∴∠DAP=∠BAG．
∴CD=BG．
∴．（4分）
（3）解：（2）的结论成立．
证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴．
由（2）证明可知，∠PDA=∠G，
∴∠PAD=∠BAG．
∴CD=BG．
∴．（7分）
【点评】本题考查了圆周角定理、三角形中位线定理垂径定理等知识，是一道难度较大的综合题目．
　
22．如图，BE是⊙O的直径，点A，C，D，F都在⊙O上，=，连接CE，M是CE的中点，延长DE到点G，使得EG=DE，并且交AF的延长线于点G，此时F恰为AG的中点．
（1）若∠CDE=120°，CE=4，求⊙O的周长．
（2）求证：2FE=CE．
（3）试探索：在上是否存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形，并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，连接OM，OC
∵∠CDE=120°，
∴∠CBE=60°，
∴∠COE=120°，
∵M是CE的中点，
∴∠MOE=60°，∠OME=90°，
∵CE=4，
∴EM=2，
∴OE=4，
∴⊙O的周长为2π×OE=8π．
（2）如图2，连接AD，
∵F恰为AG的中点，EG=DE，
∴2EF=AD，
∵=，
∴=，
∴AD=CE，
∴2FE=CE．
（3）在上存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形，
理由如下：
如图3，连接FM，过点E作EN⊥FM，
∵EF=EM，由（1）可得，
∴EN⊥FM，且平分FM，
∴在上是存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确的作出辅助线，灵活运用弦，圆周角，中垂线等知识．
　
23．问题探究
（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？
（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？
问题解决
（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？
【解答】解：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．
连接OC，则OC⊥AB．
∵AB=2OB=2R?tan30°=R，
∴S△ACB=．
（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．
连接OA．令OB=a，则AB=2a．
在Rt△ABO中，a2+（2a）2=R2．
即．
S正方形ABCD=（2a）2=．
（3）存在．
如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．
连接A′D，则A′D为⊙O的直径．
∴S矩形ABCD=AB?AD==S△AA′D．
∵在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S△AA′D的面积最大．
∴S矩形ABCD最大=．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了等边三角形和正方形的性质以及勾股定理．
　
24．如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：CD2+3CH2是定值．
【解答】（1）证明：连接OC交DE于M．
由矩形得OM=CM，EM=DM．
∵DG=HE．
∴EM﹣EH=DM﹣DG．
∴HM=GM．
∴四边形OGCH是平行四边形．
（2）解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3．
∴DG=1．
（3）证明：设CD=x，则CE=．过C作CN⊥DE于N．
由DE?CN=CD?EC得CN=．
∴．
∴HN=3﹣1﹣．
∴3CH2=3[（）2+（）2]=12﹣x2．
∴CD2+3CH2=x2+12﹣x2=12．
【点评】本小题主要考查圆、矩形、平行四边形、直角三角形等基础图形的性质与判定，考查计算能力、推理能力和空间观念．