【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第2节 点和圆、直线和圆的位置关系训练卷

【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第二节 点、直线与圆的位置关系
一．选择题（共8小题）
1．一圆的半径为3，圆心到直线的距离为4，则该直线与圆的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．以上都不对
2．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．那么下列说法中不正确的是（　　）
A．当a＜1时，点B在⊙A外 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜5时，点B在⊙A内 D．当a＞5时，点B在⊙A外
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　）
A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．≤6 D．≤8
4．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，把△ABC沿EF折叠，C对应点恰好与△ABC的外心O重合，则∠CFE的度数是（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．一等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（　　）
A． B． C．+1 D．﹣1
6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、B超分别与⊙O相切于点E、F、G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A． B． C． D．2
7．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，线段MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（　　）
A．l1与l2之间的距离为2 B．
C．若MN与⊙O相切，则∠MON=90° D．若MN与⊙O相交，则

第4题图 第6题图 第7题图
8．如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙O于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．①②④
二．填空题（共8小题）
9．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为　 　．
10．如图，∠APB=30°，O点在PB上，⊙O的半径为1cm，OP=6cm，若⊙O在直线BP上延BP方向以每秒2cm的速度平移，当圆心O平移　 　秒时，⊙O与直线PA相切．

第8题图 第9题图 第10题图
11．△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆．AB=8，⊙O的半径为2，则△ABC的周长是　 　．
12．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则EH的值为　 　．

第11题图 第12题图 第13题图
14．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（4，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=45°．线段CD的长的最小值为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是　 　．
16．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
①求∠ACB的度数为　 　；
②记△ABC的面积为S，若=4，则⊙D的半径为　 　．

　第15题图 第16题图
三．解答题（共8小题）
17．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．
18．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，⊙C交BC于点E，交DC于点F．
（1）若点E是线段CB的中点，求扇形ECF的面积；（结果保留π）
（2）若EF=4，试问直线BD与⊙C是否相切？并说明理由．
19．已知：过⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A、B，在劣弧上任取一点C，经过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D、E．
求证：（1）△PDE的周长是定值（PA+PB）；
（2）∠DOE的大小是定值（∠AOB）．
20．已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：DE=BC；
（2）若AC=6，BC=8，求S△ACD：S△EDF的值．
21．如图，点A在x轴的正半轴上，以OA为直径作⊙P，C是⊙P上一点，过点C的直线与x轴、y轴分别相交于点D、点E，连接AC并延长与y轴相交于点B，点B的坐标为（0，）．
（1）求证：OE=CE；
（2）请判断直线CD与⊙P位置关系，证明你的结论，并请求出⊙P的半径长．
22．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=，求证：△DCE≌△OCB．
23．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
24．在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）．
（1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标；
（2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q．
（3）若H（﹣4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS⊥AC交O2于F．当T运动时（不包括A点），AT﹣AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
　
【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第二节 点、直线与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．一圆的半径为3，圆心到直线的距离为4，则该直线与圆的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．以上都不对
【解答】解：∵由题意可知d=4，r=3，
∴d＞r．
∴直线与圆相离．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，依据d和r的数量关系判断直线和圆的位置关系是解题的关键．
　
2．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．那么下列说法中不正确的是（　　）
A．当a＜1时，点B在⊙A外 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜5时，点B在⊙A内 D．当a＞5时，点B在⊙A外
【解答】解：A、a＜1时，d＞2，点B在⊙A外，故A正确；
B、当1＜a＜5时，点B在⊙A内，故B正确；
C、当1＜a＜5时，点B在⊙A内，故C错误；
D、当a＞5时，点B在⊙A外，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
　
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　）
A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．≤6 D．≤8
【解答】解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB=10．
圆与AB相切时，即r=CD=6×8÷5=；
∵⊙C与线段AB有且只有两个公共点，
∴＜r≤6．
故选：C．
【点评】本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．
　
4．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，把△ABC沿EF折叠，C对应点恰好与△ABC的外心O重合，则∠CFE的度数是（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
由圆周角定理得：∠BOC=2∠BAC=100°，
∵OB=OC，
∴∠OCF=（180°﹣100°）=40°，
由折叠的性质得：OC⊥EF，
∴∠CFE=90°﹣40°=50°；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等腰三角形的性质、折叠的性质；熟练掌握三角形的外心性质和折叠的性质，由圆周角定理求出∠BOC是解决问题的关键．
　
5．一等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（　　）
A． B． C．+1 D．﹣1
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是；
∵内切圆半径是，
外接圆半径是，
∴所以它们的比为=﹣1．
故选：D．
【点评】熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．
　
6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、B超分别与⊙O相切于点E、F、G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
7．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，线段MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（　　）
A．l1与l2之间的距离为2 B．
C．若MN与⊙O相切，则∠MON=90° D．若MN与⊙O相交，则
【解答】解：A、l1∥l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB=2，正确．
B、作MF⊥BD，
∵AC∥BD，
∴∠MNF=∠AME=60°，
∵MF=AB=2，
在Rt△MNF中，MF=2，∠MNF=60°，
则MN==，正确；
C、若MN与⊙O相切，设切点为E，连接OE，
则OE⊥MN，
∴∠OAM=∠OEM=90°，
在Rt△OAM和Rt△OEM中，
，
∴Rt△OAM≌Rt△OEM（HL），
∴∠AOM=∠EOM，
同理：∠BON=∠EON，
∴∠MON=×180°=90°，故正确；
D、当MN与⊙O相切时切点为E点，连接OM，OE，
∴MA=ME，MO为∠AME平分线，
∵∠AME=60°，
∴∠AMO=30°，
在Rt△AOM中，OA=1，
∴AM==，
同理：AM=，
∴当MN与圆相切时，AM=或，
∴若MN与⊙O相交，则＜AM＜．故错误．
故选：D．
【点评】此题考查了切线的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
　
8．如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙O于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【解答】解：①∵直角三角形内切圆半径=，
∴IF=，
∴AB+AC=BC+2IF，正确；
②∵I为△ABC的内心，
∴∠BIA=90+∠C，
∴4∠BIA=360°+2∠C，
∵∠BOA=2∠C，
∴4∠AIB﹣∠BOA=360°，正确；
③
∵点I是△ABC的内心，
∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠EBC=∠BAD，
∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD
∴∠EIB=∠EBI，
∴EB=EI．③正确；
④作EN⊥AC于点N，EM⊥AB于点M，连接EC，EB，那么四边形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，
∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，
∴∠EAN=45°，
∴EN=AN，
∴四边形ENAM是正方形，
∴（AM+AN）=AE，EN=EM，
∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，
∴∠CEN=∠BEM，
∴△CEN≌△BEM，
∴CN=BM，
∴（AB+AC）=AE，
由（1）得AB+AC=BC+2IF，
∴AB+AC=2R+2IF，
IF+R=，
∴=，
∴④正确．
故选：C．
【点评】本题综合考查了与圆有关的知识；用到的知识点为：直角三角形内切圆的半径为：，外接圆半径为；利用直角三角形的内切圆的圆心是内角平分线的交点作出辅助线构造全等三角形是解决本题的难点．
　
二．填空题（共8小题）
9．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为　80°　．
【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了切线的性质定理以及圆周角定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题关键．
　
10．如图，∠APB=30°，O点在PB上，⊙O的半径为1cm，OP=6cm，若⊙O在直线BP上延BP方向以每秒2cm的速度平移，当圆心O平移　2或4　秒时，⊙O与直线PA相切．
【解答】解：如图1，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C，则O′C⊥PA，
即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°，O′C=1cm，
∴O′P=2O′C=2cm，
∵OP=6cm，
∴OO′=OP﹣O′P=4（cm）．
如图2：同理可得：O′P=2cm，
∴O′O=4cm．
故答案为：2或4．
【点评】此题考查了切线的性质与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
　
11．△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆．AB=8，⊙O的半径为2，则△ABC的周长是　20　．
【解答】解：连接切点D、E、F和圆心O．
则四边形ODCE是正方形，
则CD=CE=OD=2，
∵AD和AF是圆的切线，
∴AD=AF，
同理，BE=BF，
则AD+BE=AB=8，
则△ABC的周长是：8+8+2+2=20．
故答案是：20．
【点评】本题考查了切线长定理，以及三角形的内切圆，注意到四边形ODCE是正方形是关键．
　
12．如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF，若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为　2　．
【解答】解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵弦CD∥AB，
∴AH⊥CD，
∴CH=CD=×4=2，
∵⊙O的半径为，
∴OA=OC=，
∴OH==，
∴AH=OA+OH=+=4，
∴AC==2．
∵∠CDE=∠ADF，
∴=，
∴=，
∴EF=AC=2．
故答案为2．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
　
13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则EH的值为　　．
【解答】解：作OG⊥AD于G，连结OH，如图，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴OG=AB=1，DG=AD=BC=2，
∵OH与⊙D切于点H，
∴DH⊥OH，
∴DH=1，
在Rt△ODG和△DOH中，
，
∴Rt△ODG≌Rt△DOH（HL），
∴∠ODG=∠DOH，
∴EO=ED，
设OE=x，则DE=x，GE=DG﹣DE=2﹣x，
在Rt△OGE中，
∵GE2+OG2=OE2，
∴（2﹣x）2+12=x2，解得x=，
∴EH==
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．
　
14．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（4，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=45°．线段CD的长的最小值为　5﹣　．
【解答】解：如图，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，
∵A（2，0）、B（4，0），
∴E（3，0）
又∠ADB=45°，
∴∠APB=90°（圆心角所对的角等于圆周角的二倍），
∴PE=1，PA=PE=，
∴P（3，1），
∵C（0，5），
∴PC==5，
又∵PD=PA=，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）
∴CD最小值为：5﹣．
故答案为：5﹣．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点D只有在CP上时CD最短．
　
15．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是　12或4　．
【解答】解：边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN=NF，
又∵EG：EF=：2，
∴EG：EN=：1，
又∵GN=AD=8，
∴设EN=x，则，根据勾股定理得：
，解得：x=4，GE=，
设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2
得：r2=16+（8﹣r）2
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE=AB，
∴AB=12．
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，
∴OH=AN=5，
∴AE=1．
又AE=AB，
∴AB=4．
故答案为：12或4．
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．
　
16．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
①求∠ACB的度数为　60°　；
②记△ABC的面积为S，若=4，则⊙D的半径为　　．
【解答】解：①连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，
又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵⊙O的半径为1，
∴OP=1，
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OM=OP=0.5，
∴MO=OB，
∴∠MOB=60°，同理可得：∠AOB=120°，
∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=60°，
∴∠ACB的度数为60°，
故答案为：60°；
②∵OM=OP=0.5，
∴BM=，AB=，
∵AE=AN，BE=BQ，
∴△ABC的面积为S=（AB+AN+CN+BC）×DE=（2+2CN）×DE，
∵△ABC的面积为S，=4，
∴=4，
∵DE=DN=CD，
∴CN=DE，
∴，
解得：DE=，
则⊙D的半径为：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了三角形内切圆性质与圆周角定理和垂径定理等知识，题目综合性较强，得出S△ABC=S△ADC+S△ADB+S△BDC是解决问题的关键．
　
三．解答题（共8小题）
17．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．
【解答】解：∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=90°，OA=OB，∴四边形OAPB为正方形，
∴AO=AP，
∵OP=4，
∴由勾股定理得，2OA2=OP2，
即OA2=8，∴OA=2．
【点评】本题考查了勾股定理和切线长定理，解决这类问题常把它转化为三角形问题解决．
　
18．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，⊙C交BC于点E，交DC于点F．
（1）若点E是线段CB的中点，求扇形ECF的面积；（结果保留π）
（2）若EF=4，试问直线BD与⊙C是否相切？并说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴∠DCB=90°，
∵点E是线段CB的中点，BC=4，
∴EC=2，
∴，
∴S扇形ECF=π．
（2）答：是相切，
理由是：连结AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴∠C=90°，CO=，
∵CA⊥BD于O点，
在Rt△FCE中，FC=CE，EF=4，
∴FC2+CE2=EF2=16，
∴FC=，
∴FC=CO，
又∵CO⊥BD，
∴直线BD与⊙C相切．
【点评】本题考查了切线判定，正方形性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
　
19．已知：过⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A、B，在劣弧上任取一点C，经过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D、E．
求证：（1）△PDE的周长是定值（PA+PB）；
（2）∠DOE的大小是定值（∠AOB）．
【解答】证明：（1）如图：
∵过⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A、B，在劣弧上任取一点C，经过点C作⊙O的切线，
∴DA=DC，EC=EB，
∴△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+EC+PE=PA+PB，
故△PDE的周长是定值（PA+PB）；
（2）连接AO，BO，CO，
∵PA，PB，DE为⊙O的切线，
∴∠OAD=∠DCO=∠OBE=90°，∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，
∴∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠AOB，
即∠DOE的大小是定值（∠AOB）．
【点评】此题主要考查了切线长定理，熟练记忆切线长定理是解题关键．
　
20．已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：DE=BC；
（2）若AC=6，BC=8，求S△ACD：S△EDF的值．
【解答】（1）证明：∵EC、ED都是⊙O的切线，
∴EC=ED，∠ECD=∠EDC．
∵∠EDC+∠EDB=90°，∠ECD+∠B=90°，
∴∠EDB=∠B．
∴ED=BE．
∴DE=BE=EC．
∴DE=BC．
（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，则AB=10，
根据射影定理可得：
AD=AC2÷AB=3.6，
BD=BC2÷AB=6.4，
∴S△ACD：S△BCD=AD：BD=9：16，
∵ED=EB，EF⊥BD，
∴S△EDF=S△EBD，
同理可得S△EBD=S△BCD，
∴S△EDF=S△BCD，
∴S△ACD：S△EDF=．
【点评】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．
　
21．如图，点A在x轴的正半轴上，以OA为直径作⊙P，C是⊙P上一点，过点C的直线与x轴、y轴分别相交于点D、点E，连接AC并延长与y轴相交于点B，点B的坐标为（0，）．
（1）求证：OE=CE；
（2）请判断直线CD与⊙P位置关系，证明你的结论，并请求出⊙P的半径长．
【解答】解：（1）证明：连接OC，
∵直线y=x+2与y轴相交于点E，
∴点E的坐标为（0，2），即OE=2．
又∵点B的坐标为（0，4），
∴OB=4，
∴BE=OE=2，
又∵OA是⊙P的直径，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AB，
∴OE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
（2）直线CD是⊙P的切线．
①证明：连接PC、PE，由①可知：OE=CE．
在△POE和△PCE，，
∴△POE≌△PCE，
∴∠POE=∠PCE．
又∵x轴⊥y轴，
∴∠POE=∠PCE=90°，
∴PC⊥CE，即：PC⊥CD．
又∵直线CD经过半径PC的外端点C，
∴直线CD是⊙P的切线；
②∵对，当y=0时，x=﹣6，即OD=6，
在Rt△DOE中，，
∴CD=DE+EC=DE+OE=．
设⊙P的半径为r，则在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2+CD2=PD2，
即 r2+（）2=（6+r）2，
解得 r=6，即⊙P的半径长为6．
【点评】本题综合考查了切线的性质、判定定理、勾股定理以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，具有较强的综合性，有一定的难度．
　
22．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=，求证：△DCE≌△OCB．
【解答】解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：
∵∠ABC=30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵EF⊥AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
则△DCE为等腰三角形；
（2）∵OA=OB=1，OF=，
∴AF=AO+OF=1+=，OA=AC=OC=1，
在Rt△AEF中，∠E=30°，
∴AE=2AF=+1，
∴CE=AE﹣AC=+1﹣1=，
又∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴cos30°=，即BC=ABcos30°=，
∴CB=CE=，
在△OBC和△DCE中，
∵，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．
　
23．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
【解答】解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，
如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F，
设⊙O与直线l切于点D，连接OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l，
由切线长定理可知C′E=C′D，
设C′D=x，则C′E=x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A′C′B′=∠ACB=45°，
∴△EFC′是等腰直角三角形，
∴C′F=x，∠OFD=45°，
∴△OFD也是等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∴x+x=1，则x=﹣1，
∴CC′=BD﹣BC﹣C′D=5﹣1﹣（﹣1）=5﹣，
∴点C运动的时间为；
则经过秒，△ABC的边与圆第一次相切；
（2）如图2，设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处，
A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F，
∵CC′=2t，DD′=t，
∴C′D′=CD+DD′﹣CC′=4+t﹣2t=4﹣t，
由切线长定理得C′E=C′D′=4﹣t，
由（1）得：4﹣t=﹣1，
解得：t=5﹣，
答：经过5﹣秒△ABC的边与圆第一次相切；
（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，
则C′D′=CD+DD′﹣CC′=4+t﹣2.5t=4﹣1.5t，
由切线长定理得C′E=C′D′=4﹣1.5t，
由（1）得：4﹣1.5t=﹣1，
解得：t=，
∴点B运动的距离为2×=．
【点评】本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．
　
24．在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）．
（1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标；
（2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q．
（3）若H（﹣4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS⊥AC交O2于F．当T运动时（不包括A点），AT﹣AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）连接OG，
∵∠AOD=∠FOC=30°，由轴对称可得∠DOG=∠COG=30°，
又∴OC=4，
∵CG=OC?tan∠COG=4×=，
∴G（4，）；
（2）∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根据切线长定理，∠O1QM+∠Q1MQ=180°×=90°，
∴∠MO1Q=180°﹣90°=90°，
由切线长定理∠NO1Q=45°，
∴O1N平分∠MO1Q．
（3）AQ﹣AF的值是定值为4，
在AT上取点V，使TV=AS，即AT﹣AS=AV，
∵AS⊥AC，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵H（﹣4、4），A（0、4），
∴AH⊥AO；
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
又∠HTV=∠HAS，TV=AS，
∴△HTV≌△HSA，
∴△HAV为等腰直角三角形，
∴AT﹣AS=AV=AH=4．
【点评】（1）此题不仅要熟悉旋转角，还要知道旋转不变性，并联系特殊三角形用勾股定理解答；
（2）运用切割线定理是解答此题的关键；
（3）构造全等三角形，比作辅助线难度要大，但确是一种有效的解题方法．