【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第3-4节 正多边形和圆、弧长、扇形面积训练卷
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第3-4节 正多边形和圆、弧长、扇形面积训练卷 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 08:59:44 | ||
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文档简介
【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第3-4节 正多边形和圆、弧长、扇形面积
一．选择题（共8小题）
1．在半径为6cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图为△ABC与圆O的重叠的情形，其中BC为圆O直径．若∠A=70°，BC=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，△ABC的面积为2，则△EBC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．如图，AB为半圆直径，BC为切线，BE为弦，AC交半圆于点D，交BE于F点，已知AF=FC，BC=AC=1，
则图中阴影部分的面积为（ ）
B． C． D．
第2题图 第3题图 第4题图
5．如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1?A2?A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（ ）
A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm
6．某小区内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，其中的阴影部分用于种植花草，你认为种植花草部分面积最大的图案是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，点A是半径为cm的⊙O上一点，现有动点P、Q同时从点A出发，分别以3cm/秒，1cm/秒的速度沿圆周作顺时针和逆时针方向运动，那么下列结论错误的是（ ）
当P，Q两点运动到1秒时，弦长PQ=cm
B．当点P第一次回到出发点A时所用时间为秒
C．当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，所用的时间为2秒
D．当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，过点A作⊙O的切线与PQ的延长交于M，则MA长为cm
二．填空题（共7小题）
9．如图，将长为14cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形等于 cm2．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2cm，将△ABC绕点B旋转至△A1BC1的位置，且使A、B、C1三点在同一直线上，则点A经过的路线的长度是 ．
11．如图，△ABC是等边三角形，点O在边AC上（不与A，C重合），以点O为圆心，以OC为半径的圆分别与AC、BC相交于点D、E，若OC=1，则的长是 （结果保留π）．
12．如图，一条螺旋线按以下方式生成：△O1O2O3为等边三角形，边长为1，曲线O3A1，A1A2，A2A3分别以O1，O2，O3为圆心，O1O3，O2A1，O3A2为半径的圆弧，曲线O3A1A2A3称为螺旋线O1旋转一圈，以后又以O1为圆心，O1O3为半径画圆弧，交O2O1得延长线于A4，…，等等，假设此螺旋线共绕O1旋转2圈，则此螺旋线的长度与圆周率π的比值为 ．
13．如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN=3，NP=4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上．若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是 （保留π）．
14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（ ， ）．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共9小题）
16．如图，（a）、（b）…（m）是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
（1）3条弧的弧长的和为 ，3个扇形面积的和为 ；
（2）4条弧的弧长的和为 ，4个扇形面积的和为 ；
（3）求图（m）中n条弧的弧长的和及n个扇形的面积的和．（用n表示）．
17．如图，⊙O的半径为2，=，∠C=60°，求的长．
18．如图，一种零件的横截面积是由矩形、三角形和扇形组成，矩形的长AB=2.45cm，扇形所在的圆的半径OB=1cm，扇形的弧所对的圆心角为300°，求这种零件的横截面的面积．（精确到0.01cm2，π≈3.142，≈1.732）
19．如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．
20．如图，在⊙O中，已知点E是直径AB上一动点，过点E作弦CD⊥AB，OD=5．
（1）若弦CD平分半径OB，求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．
21．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=cm，P在BC上，以C为圆心、PC为半径画弧交边AC于D，以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E．设PB=xcm，图中阴影部分的面积为ycm2（π取3）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
22．归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：
（1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由．
（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．
通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．
23．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．
①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．
24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第3-4节 正多边形和圆、弧长、扇形面积
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在半径为6cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：2π=，
解得n=60，
所以圆周角为30度．
故选：A．
【点评】本题的关键是根据弧长公式求圆心角，但要注意的是圆心角与圆周角的转化．
2．如图为△ABC与圆O的重叠的情形，其中BC为圆O直径．若∠A=70°，BC=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠A=70°，
∴∠B+∠C=110°，
∵BC=2，
∴OB=OC=OD=OE=1，
∴∠ODB+∠OEC=110°，
∴∠BOD+∠COE=140°，
∴S阴影==．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．根据三角形内角和定理和等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠BOD+∠COE=140°是解答该题的难点．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，△ABC的面积为2，则△EBC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【解答】解：设BE的中点为O，即O为正六边形ABCDEF的中心，
∵在正六边形ABCDEF中，△ABC的面积为2，
∴△OBC的面积为2，
∴正六边形ABCDEF的面积为：12，△EDC的面积为2，
∴四边形BEDC的面积为：6，
则△EBC的面积为：6﹣2=4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正六边形的性质，根据已知得出正六边形ABCDEF的面积为：12是解题关键．
4．如图，AB为半圆直径，BC为切线，BE为弦，AC交半圆于点D，交BE于F点，已知AF=FC，BC=AC=1，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB为半圆直径，BC为切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵BC=AC=1，
∴∠BAC=30°，AB=，
连接BD，
易得∠ABD=∠BAE=60°，则可判断出S①=S②，
从而阴影部分的面积=S△CBF=S△ABC=．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积，解答本题一定要将不规则图形进行转化，从而根据规则图形的面积公式求解．
5．如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1?A2?A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（ ）
A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm
【解答】解：根据题意得：=4πcm，
故选：D．
【点评】本题的关键是找准各段弧的圆心和半径及圆心角的度数．
6．某小区内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，其中的阴影部分用于种植花草，你认为种植花草部分面积最大的图案是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、中阴影面积=正方形面积﹣圆的面积=a2﹣；
B、中阴影部分面积=正方形面积﹣扇形面积=a2﹣=a2﹣；
C、中阴影面积=正方形面积﹣圆的面积=a2﹣；
D、可阴影部分面积=两圆面积﹣正方形面积=2π（）2﹣a2．
ABC的阴影部分面积相等，只有D最大．
故选：D．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．即S=．
7．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r?sin60°=，
∴EF=，
∵AO=2OI，
∴OI=，CI=r﹣=，
∴，
∴，
∴=，
即则的值是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
8．如图，点A是半径为cm的⊙O上一点，现有动点P、Q同时从点A出发，分别以3cm/秒，1cm/秒的速度沿圆周作顺时针和逆时针方向运动，那么下列结论错误的是（ ）
A．当P，Q两点运动到1秒时，弦长PQ=cm
B．当点P第一次回到出发点A时所用时间为秒
C．当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，所用的时间为2秒
D．当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，过点A作⊙O的切线与PQ的延长交于M，则MA长为cm
【解答】解：A、当P，Q两点运动到1秒时，弧PQ=（1+3）×1=4cm，弧PQ对的圆心角为n，则有4=，∴n=90°，∴弦长PQ=cm，故A正确；
B、圆的周长=2π×=16，∴当点P第一次回到出发点A时所用时间=16÷3=秒，故B正确；
C、当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，最大弦为直径，所用的时间=8÷（1+3）=2秒，故C正确；
D、此时弧AQ=1×2=，∴弧AQ的度数=45°，即△AMO为等腰直角三角形，有MA=OA=cm，故D错误．
故选：D．
【点评】本题利用了弧长=速度×时间，弧长公式求解．
二．填空题（共7小题）
9．如图，将长为14cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形等于 10 cm2．
【解答】解：由题意知，弧长=14﹣2×2=10cm，
扇形的面积是×10×2=10cm2，
故答案为：10．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2cm，将△ABC绕点B旋转至△A1BC1的位置，且使A、B、C1三点在同一直线上，则点A经过的路线的长度是 πcm ．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=90°﹣60°=30°，
∴∠A1BC1=∠ABC=30°，
∴∠ABA1=180°﹣30°=150°，
而AB=2cm，
∴点A经过的路线的长度==π（cm）．
故答案为πcm．
【点评】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
11．如图，△ABC是等边三角形，点O在边AC上（不与A，C重合），以点O为圆心，以OC为半径的圆分别与AC、BC相交于点D、E，若OC=1，则的长是 （结果保留π）．
【解答】解：如图，连结OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠DOE=2∠C=120°，
∵OC=1，
∴的长是=．
故答案为．
【点评】本题考查了扇形的弧长，找到圆心角并求出其度数是解题的关键．
12．如图，一条螺旋线按以下方式生成：△O1O2O3为等边三角形，边长为1，曲线O3A1，A1A2，A2A3分别以O1，O2，O3为圆心，O1O3，O2A1，O3A2为半径的圆弧，曲线O3A1A2A3称为螺旋线O1旋转一圈，以后又以O1为圆心，O1O3为半径画圆弧，交O2O1得延长线于A4，…，等等，假设此螺旋线共绕O1旋转2圈，则此螺旋线的长度与圆周率π的比值为 14 ．
【解答】解：螺旋线O3A1A2A3的长度为π+2×π+3×π=4π，
当绕O1旋转第二圈时，螺旋线为4×π+5×π+6×π=10π，
则螺旋线的总长度14π，
∴此螺旋线的长度与圆周率π的比值为14π：π=14．
故答案为14．
【点评】本题主要考查了弧长的计算．解题的关键是归纳总结得到各段弧长，此题锻炼了学生会经过观察归纳总结得出结论的能力．
13．如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN=3，NP=4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上．若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是 5π （保留π）．
【解答】解：如图所示：
l=?π×1
=
=5π，
故答案为5π．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及弧长的计算，是一道综合题，要认真分析题目中的条件是解题的关键．
14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（ 2 ， 4 ）．
【解答】解：连接AE，DF，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，
∴可得：△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=2，
∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，EO=FO+EF=4，
∴∠EAO=90°，∠OEA=30°，故AE=4cos30°=6，
∴F（，3），D（4，6），
设直线DF的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故直线DF的解析式为：y=x+2，
当x=2时，y=2×+2=4，
∴直线DF与直线AE的交点坐标是：（2，4）．
故答案为：2，4．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及待定系数法求一次函数解析式等知识，得出F，D点坐标是解题关键．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 + ．
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE==π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
=﹣﹣（π﹣×1×）
=π﹣π+
=+．
故答案为：+．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．
三．解答题（共9小题）
16．如图，（a）、（b）…（m）是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
（1）3条弧的弧长的和为 π ，3个扇形面积的和为 ；
（2）4条弧的弧长的和为 2π ，4个扇形面积的和为 π ；
（3）求图（m）中n条弧的弧长的和及n个扇形的面积的和．（用n表示）．
【解答】解：（1）3条弧的弧长是：=π，3个扇形的面积的和是：=；
故答案是：π，；
（2）4条弧的弧长的和是：=2π，4个扇形的面积的和是：=π．
故答案是：2π，π；
（3）n边形的内角和是180（n﹣2）°，则n条弧的弧长的和是：=（n﹣2）π，
n个扇形的面积的和是：=．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及扇形的面积公式和弧长的计算公式，理解公式是关键．
17．如图，⊙O的半径为2，=，∠C=60°，求的长．
【解答】解：连接OA，OC．
∵=，∠C=60°，
∴∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∴的长为：=π．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，同时考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），注意：在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
18．如图，一种零件的横截面积是由矩形、三角形和扇形组成，矩形的长AB=2.45cm，扇形所在的圆的半径OB=1cm，扇形的弧所对的圆心角为300°，求这种零件的横截面的面积．（精确到0.01cm2，π≈3.142，≈1.732）
【解答】解：∵扇形的弧所对的圆心角为300°，
∴∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠BOE=∠BOC=×60°=30°，
∴BE=OB=×1=cm；OE=BE=cm，
∴S横截面=S矩形ABCD+S△BOC+S扇形BOC=2.45×1+×1×+≈5.50（cm2）．
【点评】本题考查了组合图形面积的计算方法，一般采用割补法，分别计算面积，再求和或差．
19．如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．
【解答】解：连接OD，BD，延长DC交BM于点E，
∵BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上一点，DC⊥AN，
∴DE⊥BO，
∵AC=15cm，
∴BE=EO=15cm，
∵DO=30cm，
∴cos∠EOD==，
∴∠EOD=60°，
∴=（cm）．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算、矩形的性质等知识，熟练掌握基本知识得出∠EOD的度数是解题关键．
20．如图，在⊙O中，已知点E是直径AB上一动点，过点E作弦CD⊥AB，OD=5．
（1）若弦CD平分半径OB，求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）在直角△ODE中：OD=5，OE=，
∴DE===．
∴CD=2DE=5；
（2）设∠EDO=x°，则∠ADO=∠OAD=4x°，
在直角△AED中，∠EAD+∠ADE=90°，
即：4x+4x+x=90
∴x=10°．
∴∠AOC=∠AOD=90°+10°=100°．
∴S阴影==．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，（1）根据垂径定理得到CE=DE，然后在直角三角形OED中用勾股定理求出ED的长，再确定CD的长．（2）根据题意求出∠AOC的度数，然后用扇形面积公式求出阴影部分的面积．
21．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=cm，P在BC上，以C为圆心、PC为半径画弧交边AC于D，以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E．设PB=xcm，图中阴影部分的面积为ycm2（π取3）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）∵AB=AC=cm，
∴BC=2cm，
∵设PB=xcm，
∴PC=（2﹣x）cm，
∴y=×﹣﹣=1﹣﹣=1﹣≈﹣x2+x﹣；
（2）∵以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，
∴0≤x≤；
（3）∵y=﹣x2+x﹣，
∴当x=1时，y最大=，
答：当PB=1cm时，即为BC的中点，y有最大值，最大值是1cm2．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积求法和二次函数的最值求法，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．
22．归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：
（1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由．
（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．
通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．
【解答】解：（1）当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，
所以其中心O经过的路程为：．
（2）中心O经过的路程为．
（3）当n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所对的圆心角为，
所以中心O经过的路程为．
（4）是定值2πR，理由如下：
在△ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ，△ABC的外接圆⊙O的半径为R，
把△ABC沿直线l向右翻滚一周时，其外心O经过的路线是三条弧，
当AC边与直线l重合时，C与C'重合，A与A'重合，B与B'重合，
连接CO、C'O'，则∠ACO=∠A'C'O'，
所以∠OCO'=∠ACA'=180°﹣γ，
所以，
同理，另两条弧长分别为：，，
所以外心O所经过的路程为2πR．
通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值．
【点评】此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握一些特殊图形的性质，熟练记忆弧长公式，有一定的难度，注意培养猜测、推理能力．
23．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．
①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．
【解答】解：（1）①S阴影=S扇形ABC+S△BP′C﹣S扇形PBP′﹣S△ABP
=S扇形ABC﹣S扇形PBP′
=，
=（a2﹣b2）；
②连接PP′，
根据旋转的性质可知：
BP=BP′，∠PBP′=90°；
即：△PBP′为等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，
∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，
∴∠BPA+∠BPP′=180°，
即A、P、P′共线，
∴∠PP′C=135°﹣45°=90°；
在Rt△PP′C中，PP′=4，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6．
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．
同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2=2PB2；
∵PA2+PC2=2PB2=PP′2，
∴PC2+P′C2=PP′2，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．
【点评】本题是一道综合性很强的题，不但考查了扇形的面积公式，还综合了旋转及三角形、正方形等相关知识，难度较大．
24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
【解答】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE=PC，AC=BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA=BE=PB+PC．（2分）
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
∴∠APB=45°，
∴BP=BE，∴；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴．（4分）
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，
连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=，
∴PM=PB，
∴
∴（7分）
【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．
一．选择题（共8小题）
1．在半径为6cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图为△ABC与圆O的重叠的情形，其中BC为圆O直径．若∠A=70°，BC=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，△ABC的面积为2，则△EBC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．如图，AB为半圆直径，BC为切线，BE为弦，AC交半圆于点D，交BE于F点，已知AF=FC，BC=AC=1，
则图中阴影部分的面积为（ ）
B． C． D．
第2题图 第3题图 第4题图
5．如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1?A2?A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（ ）
A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm
6．某小区内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，其中的阴影部分用于种植花草，你认为种植花草部分面积最大的图案是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，点A是半径为cm的⊙O上一点，现有动点P、Q同时从点A出发，分别以3cm/秒，1cm/秒的速度沿圆周作顺时针和逆时针方向运动，那么下列结论错误的是（ ）
当P，Q两点运动到1秒时，弦长PQ=cm
B．当点P第一次回到出发点A时所用时间为秒
C．当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，所用的时间为2秒
D．当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，过点A作⊙O的切线与PQ的延长交于M，则MA长为cm
二．填空题（共7小题）
9．如图，将长为14cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形等于 cm2．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2cm，将△ABC绕点B旋转至△A1BC1的位置，且使A、B、C1三点在同一直线上，则点A经过的路线的长度是 ．
11．如图，△ABC是等边三角形，点O在边AC上（不与A，C重合），以点O为圆心，以OC为半径的圆分别与AC、BC相交于点D、E，若OC=1，则的长是 （结果保留π）．
12．如图，一条螺旋线按以下方式生成：△O1O2O3为等边三角形，边长为1，曲线O3A1，A1A2，A2A3分别以O1，O2，O3为圆心，O1O3，O2A1，O3A2为半径的圆弧，曲线O3A1A2A3称为螺旋线O1旋转一圈，以后又以O1为圆心，O1O3为半径画圆弧，交O2O1得延长线于A4，…，等等，假设此螺旋线共绕O1旋转2圈，则此螺旋线的长度与圆周率π的比值为 ．
13．如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN=3，NP=4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上．若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是 （保留π）．
14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（ ， ）．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共9小题）
16．如图，（a）、（b）…（m）是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
（1）3条弧的弧长的和为 ，3个扇形面积的和为 ；
（2）4条弧的弧长的和为 ，4个扇形面积的和为 ；
（3）求图（m）中n条弧的弧长的和及n个扇形的面积的和．（用n表示）．
17．如图，⊙O的半径为2，=，∠C=60°，求的长．
18．如图，一种零件的横截面积是由矩形、三角形和扇形组成，矩形的长AB=2.45cm，扇形所在的圆的半径OB=1cm，扇形的弧所对的圆心角为300°，求这种零件的横截面的面积．（精确到0.01cm2，π≈3.142，≈1.732）
19．如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．
20．如图，在⊙O中，已知点E是直径AB上一动点，过点E作弦CD⊥AB，OD=5．
（1）若弦CD平分半径OB，求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．
21．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=cm，P在BC上，以C为圆心、PC为半径画弧交边AC于D，以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E．设PB=xcm，图中阴影部分的面积为ycm2（π取3）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
22．归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：
（1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由．
（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．
通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．
23．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．
①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．
24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
【走进重高汇编】九上数学第二十四章 第3-4节 正多边形和圆、弧长、扇形面积
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在半径为6cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：2π=，
解得n=60，
所以圆周角为30度．
故选：A．
【点评】本题的关键是根据弧长公式求圆心角，但要注意的是圆心角与圆周角的转化．
2．如图为△ABC与圆O的重叠的情形，其中BC为圆O直径．若∠A=70°，BC=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵∠A=70°，
∴∠B+∠C=110°，
∵BC=2，
∴OB=OC=OD=OE=1，
∴∠ODB+∠OEC=110°，
∴∠BOD+∠COE=140°，
∴S阴影==．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．根据三角形内角和定理和等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠BOD+∠COE=140°是解答该题的难点．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，△ABC的面积为2，则△EBC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【解答】解：设BE的中点为O，即O为正六边形ABCDEF的中心，
∵在正六边形ABCDEF中，△ABC的面积为2，
∴△OBC的面积为2，
∴正六边形ABCDEF的面积为：12，△EDC的面积为2，
∴四边形BEDC的面积为：6，
则△EBC的面积为：6﹣2=4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正六边形的性质，根据已知得出正六边形ABCDEF的面积为：12是解题关键．
4．如图，AB为半圆直径，BC为切线，BE为弦，AC交半圆于点D，交BE于F点，已知AF=FC，BC=AC=1，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB为半圆直径，BC为切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵BC=AC=1，
∴∠BAC=30°，AB=，
连接BD，
易得∠ABD=∠BAE=60°，则可判断出S①=S②，
从而阴影部分的面积=S△CBF=S△ABC=．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积，解答本题一定要将不规则图形进行转化，从而根据规则图形的面积公式求解．
5．如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1?A2?A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为（ ）
A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm
【解答】解：根据题意得：=4πcm，
故选：D．
【点评】本题的关键是找准各段弧的圆心和半径及圆心角的度数．
6．某小区内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，其中的阴影部分用于种植花草，你认为种植花草部分面积最大的图案是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、中阴影面积=正方形面积﹣圆的面积=a2﹣；
B、中阴影部分面积=正方形面积﹣扇形面积=a2﹣=a2﹣；
C、中阴影面积=正方形面积﹣圆的面积=a2﹣；
D、可阴影部分面积=两圆面积﹣正方形面积=2π（）2﹣a2．
ABC的阴影部分面积相等，只有D最大．
故选：D．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．即S=．
7．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r?sin60°=，
∴EF=，
∵AO=2OI，
∴OI=，CI=r﹣=，
∴，
∴，
∴=，
即则的值是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
8．如图，点A是半径为cm的⊙O上一点，现有动点P、Q同时从点A出发，分别以3cm/秒，1cm/秒的速度沿圆周作顺时针和逆时针方向运动，那么下列结论错误的是（ ）
A．当P，Q两点运动到1秒时，弦长PQ=cm
B．当点P第一次回到出发点A时所用时间为秒
C．当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，所用的时间为2秒
D．当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，过点A作⊙O的切线与PQ的延长交于M，则MA长为cm
【解答】解：A、当P，Q两点运动到1秒时，弧PQ=（1+3）×1=4cm，弧PQ对的圆心角为n，则有4=，∴n=90°，∴弦长PQ=cm，故A正确；
B、圆的周长=2π×=16，∴当点P第一次回到出发点A时所用时间=16÷3=秒，故B正确；
C、当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，最大弦为直径，所用的时间=8÷（1+3）=2秒，故C正确；
D、此时弧AQ=1×2=，∴弧AQ的度数=45°，即△AMO为等腰直角三角形，有MA=OA=cm，故D错误．
故选：D．
【点评】本题利用了弧长=速度×时间，弧长公式求解．
二．填空题（共7小题）
9．如图，将长为14cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形等于 10 cm2．
【解答】解：由题意知，弧长=14﹣2×2=10cm，
扇形的面积是×10×2=10cm2，
故答案为：10．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2cm，将△ABC绕点B旋转至△A1BC1的位置，且使A、B、C1三点在同一直线上，则点A经过的路线的长度是 πcm ．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=90°﹣60°=30°，
∴∠A1BC1=∠ABC=30°，
∴∠ABA1=180°﹣30°=150°，
而AB=2cm，
∴点A经过的路线的长度==π（cm）．
故答案为πcm．
【点评】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
11．如图，△ABC是等边三角形，点O在边AC上（不与A，C重合），以点O为圆心，以OC为半径的圆分别与AC、BC相交于点D、E，若OC=1，则的长是 （结果保留π）．
【解答】解：如图，连结OE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠DOE=2∠C=120°，
∵OC=1，
∴的长是=．
故答案为．
【点评】本题考查了扇形的弧长，找到圆心角并求出其度数是解题的关键．
12．如图，一条螺旋线按以下方式生成：△O1O2O3为等边三角形，边长为1，曲线O3A1，A1A2，A2A3分别以O1，O2，O3为圆心，O1O3，O2A1，O3A2为半径的圆弧，曲线O3A1A2A3称为螺旋线O1旋转一圈，以后又以O1为圆心，O1O3为半径画圆弧，交O2O1得延长线于A4，…，等等，假设此螺旋线共绕O1旋转2圈，则此螺旋线的长度与圆周率π的比值为 14 ．
【解答】解：螺旋线O3A1A2A3的长度为π+2×π+3×π=4π，
当绕O1旋转第二圈时，螺旋线为4×π+5×π+6×π=10π，
则螺旋线的总长度14π，
∴此螺旋线的长度与圆周率π的比值为14π：π=14．
故答案为14．
【点评】本题主要考查了弧长的计算．解题的关键是归纳总结得到各段弧长，此题锻炼了学生会经过观察归纳总结得出结论的能力．
13．如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN=3，NP=4的长方形MNPQ内，且NB在边NP上．若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是 5π （保留π）．
【解答】解：如图所示：
l=?π×1
=
=5π，
故答案为5π．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及弧长的计算，是一道综合题，要认真分析题目中的条件是解题的关键．
14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（ 2 ， 4 ）．
【解答】解：连接AE，DF，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，
∴可得：△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=2，
∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，EO=FO+EF=4，
∴∠EAO=90°，∠OEA=30°，故AE=4cos30°=6，
∴F（，3），D（4，6），
设直线DF的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故直线DF的解析式为：y=x+2，
当x=2时，y=2×+2=4，
∴直线DF与直线AE的交点坐标是：（2，4）．
故答案为：2，4．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及待定系数法求一次函数解析式等知识，得出F，D点坐标是解题关键．
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 + ．
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE==π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
=﹣﹣（π﹣×1×）
=π﹣π+
=+．
故答案为：+．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．
三．解答题（共9小题）
16．如图，（a）、（b）…（m）是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
（1）3条弧的弧长的和为 π ，3个扇形面积的和为 ；
（2）4条弧的弧长的和为 2π ，4个扇形面积的和为 π ；
（3）求图（m）中n条弧的弧长的和及n个扇形的面积的和．（用n表示）．
【解答】解：（1）3条弧的弧长是：=π，3个扇形的面积的和是：=；
故答案是：π，；
（2）4条弧的弧长的和是：=2π，4个扇形的面积的和是：=π．
故答案是：2π，π；
（3）n边形的内角和是180（n﹣2）°，则n条弧的弧长的和是：=（n﹣2）π，
n个扇形的面积的和是：=．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及扇形的面积公式和弧长的计算公式，理解公式是关键．
17．如图，⊙O的半径为2，=，∠C=60°，求的长．
【解答】解：连接OA，OC．
∵=，∠C=60°，
∴∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∴的长为：=π．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，同时考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），注意：在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
18．如图，一种零件的横截面积是由矩形、三角形和扇形组成，矩形的长AB=2.45cm，扇形所在的圆的半径OB=1cm，扇形的弧所对的圆心角为300°，求这种零件的横截面的面积．（精确到0.01cm2，π≈3.142，≈1.732）
【解答】解：∵扇形的弧所对的圆心角为300°，
∴∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠BOE=∠BOC=×60°=30°，
∴BE=OB=×1=cm；OE=BE=cm，
∴S横截面=S矩形ABCD+S△BOC+S扇形BOC=2.45×1+×1×+≈5.50（cm2）．
【点评】本题考查了组合图形面积的计算方法，一般采用割补法，分别计算面积，再求和或差．
19．如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．
【解答】解：连接OD，BD，延长DC交BM于点E，
∵BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上一点，DC⊥AN，
∴DE⊥BO，
∵AC=15cm，
∴BE=EO=15cm，
∵DO=30cm，
∴cos∠EOD==，
∴∠EOD=60°，
∴=（cm）．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算、矩形的性质等知识，熟练掌握基本知识得出∠EOD的度数是解题关键．
20．如图，在⊙O中，已知点E是直径AB上一动点，过点E作弦CD⊥AB，OD=5．
（1）若弦CD平分半径OB，求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）在直角△ODE中：OD=5，OE=，
∴DE===．
∴CD=2DE=5；
（2）设∠EDO=x°，则∠ADO=∠OAD=4x°，
在直角△AED中，∠EAD+∠ADE=90°，
即：4x+4x+x=90
∴x=10°．
∴∠AOC=∠AOD=90°+10°=100°．
∴S阴影==．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，（1）根据垂径定理得到CE=DE，然后在直角三角形OED中用勾股定理求出ED的长，再确定CD的长．（2）根据题意求出∠AOC的度数，然后用扇形面积公式求出阴影部分的面积．
21．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=cm，P在BC上，以C为圆心、PC为半径画弧交边AC于D，以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E．设PB=xcm，图中阴影部分的面积为ycm2（π取3）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）∵AB=AC=cm，
∴BC=2cm，
∵设PB=xcm，
∴PC=（2﹣x）cm，
∴y=×﹣﹣=1﹣﹣=1﹣≈﹣x2+x﹣；
（2）∵以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，
∴0≤x≤；
（3）∵y=﹣x2+x﹣，
∴当x=1时，y最大=，
答：当PB=1cm时，即为BC的中点，y有最大值，最大值是1cm2．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及扇形面积求法和二次函数的最值求法，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．
22．归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：
（1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？
（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由．
（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．
通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．
【解答】解：（1）当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，
所以其中心O经过的路程为：．
（2）中心O经过的路程为．
（3）当n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所对的圆心角为，
所以中心O经过的路程为．
（4）是定值2πR，理由如下：
在△ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ，△ABC的外接圆⊙O的半径为R，
把△ABC沿直线l向右翻滚一周时，其外心O经过的路线是三条弧，
当AC边与直线l重合时，C与C'重合，A与A'重合，B与B'重合，
连接CO、C'O'，则∠ACO=∠A'C'O'，
所以∠OCO'=∠ACA'=180°﹣γ，
所以，
同理，另两条弧长分别为：，，
所以外心O所经过的路程为2πR．
通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值．
【点评】此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握一些特殊图形的性质，熟练记忆弧长公式，有一定的难度，注意培养猜测、推理能力．
23．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．
①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．
【解答】解：（1）①S阴影=S扇形ABC+S△BP′C﹣S扇形PBP′﹣S△ABP
=S扇形ABC﹣S扇形PBP′
=，
=（a2﹣b2）；
②连接PP′，
根据旋转的性质可知：
BP=BP′，∠PBP′=90°；
即：△PBP′为等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，
∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，
∴∠BPA+∠BPP′=180°，
即A、P、P′共线，
∴∠PP′C=135°﹣45°=90°；
在Rt△PP′C中，PP′=4，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6．
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．
同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2=2PB2；
∵PA2+PC2=2PB2=PP′2，
∴PC2+P′C2=PP′2，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．
【点评】本题是一道综合性很强的题，不但考查了扇形的面积公式，还综合了旋转及三角形、正方形等相关知识，难度较大．
24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
【解答】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE=PC，AC=BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA=BE=PB+PC．（2分）
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
∴∠APB=45°，
∴BP=BE，∴；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴．（4分）
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，
连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=，
∴PM=PB，
∴
∴（7分）
【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．
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