24.2.1 点和圆的位置关系课时作业（2）

24.2.1 点和圆的位置关系课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
3.下列命题是假命题的是（　　）
A．不在同一直线上的三点确定一个圆
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．正六边形的内角和是720°
D．角的边越大，角就越大
4.下列说法中，①半圆是弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤三点确定一个圆．其中错误的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤
5.若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
6.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（　　）
A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或 cm
7.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（　　）
A．5 B． C．5 D．5
二 、填空题
9.如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　 　．
10.图中△ABC外接圆的圆心坐标是　 　．
11.如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，直线EF与AD相交于点O，若OA=2，则△ABC外接圆的面积为　　　　　　．
12.△ABC中，∠C为直角，AB=2，则这个三角形的外接圆半径为　 　．
13.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）
14.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=　 　．
15.如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB=　 　．
三 、解答题
16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．
17.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
18.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
19.已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
20.如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
21.如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
答案解析
一 、选择题
1.【考点】点与圆的位置关系；反证法
【分析】由于反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．由此即可解决问题．
解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：点在圆上或圆内．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反证法的步骤，其中在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2.【考点】确定圆的条件
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小
解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
3.【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，真命题；
B、角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题；
C、正六边形的内角和是720°，真命题；
D、角的边越大，角就越大是假命题，因为角的大小与边的长短无关．
故选D．
4.【考点】确定圆的条件
【分析】根据圆有关定义，以及根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，过三点的圆等知识分别判断得出答案即可．解：①根据半圆是弧，故此选项正确，不符合题意；②由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，故此选项正确，不符合题意；③过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，符合题意；④长度相等的弧是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，符合题意；⑤根据不在一条直线上的三点确定一个圆得出，故此选项错误，符合题意．故选：D．
5.【考点】三角形的外接圆与外心
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．
解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．
故选：B．
6.【考点】确定圆的条件，三角形的外接圆与外心
【分析】由于已知的三角形两边没有明确是直角边还是斜边，因此有两种情况：
①1cm、2cm同为直角边，②1cm为直角边，2cm为斜边；
由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，若外接圆直径最小，那么直角三角形的斜边最小，显然①是不符合题意，因此直角三角形的斜边为2cm，即圆布的最小直径是2cm．
解：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm必为直角三角形的斜边长；
由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm，
故选A．
7.【考点】三角形的外接圆与外心，垂径定理
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解：如图：
根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选D．
8.【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．
【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB=∠C=30°，进而求得∠PAB=∠APB=30°，∠ABP=120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD=PD，∠OBP=∠OBA=60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB=OA=5，解直角三角形求得PD，即可求得PA．
解：连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30°?PB=×5=，
∴AP=2PD=5，
故选D．
二 、填空题
9.【考点】确定圆的条件．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
10.【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．
【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
解：设圆心坐标为（x，y）；
依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），
则有： ==；
即（3﹣x）2+（6﹣y）2=（1﹣x）2+（4﹣y）2=（1﹣x）2+y2，
化简后得：x=5，y=2；
因此圆心坐标为：（5，2）．
【点评】本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
11.【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出O点即为△ABC外接圆的圆心，进而求出其面积．
解：∵AB=AC，AD是BC边中线，
∴AD垂直平分BC，
∵分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，
∴EF垂直平分AC，
∵直线EF与AD相交于点O，
∴点O即为△ABC外接圆圆心，
∴AO为△ABC外接圆半径，
∴△ABC外接圆的面积为：4π．
故答案为：4π．
【点评】此题主要考查了三角形的外心，得出O点即为△ABC外接圆圆心是解题关键．
12.【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】这个直角三角形的外接圆直径是斜边长，把斜边长除以2可求这个三角形的外接圆半径．
解：∵△ABC中，∠C为直角，AB=2，
∴这个三角形的外接圆半径为2÷2=1．
故答案为：1．
13.【考点】确定圆的条件
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．
解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为：能．
14.【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；
解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4，
∴AC=AB?cos60°=2，
故答案为2．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【考点】三角形的外接圆与外心
【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三 、解答题
16.【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】根据圆周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直径，根据勾股定理计算即可．
解：∵∠A和∠D所对的弧都是弧BC，
∴∠D=∠A=45°，
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，
∴∠D=∠DBC=45°，
∴CB=CD=2，
由勾股定理得：BD==2．
17.【考点】确定圆的条件
【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC的中点的距离等于BC的一半就可以．
解：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
18.【考点】确定圆的条件，圆周角、弧、弦之间的关系
【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知： BD ＝ CD ，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
19.【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．
证明：（1）在⊙O中，
∵=，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠B=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD=CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，
∵=，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH=CH，
∵AD=AG，
∴DH=HG，
∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，
∵BD=AE，
∴CG=AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．
20.【考点】作图—复杂作图；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）取BF=CH=AD构成等边三角形，作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
解：（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
21.【考点】三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图
【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．
解：（1）如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴=，
∴OE⊥BC，
∴EF=3，
∴OF=5﹣3=2，
在Rt△OCF中，CF==，
在Rt△CEF中，CE==．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．