24.3 正多边形和圆一点就通（知识回顾+夯实基础+提优特训+中考链接+答案）

24.3正多边形和圆一点就通
【知识回顾】
1.正多边形与圆
如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这个n边形一定是________.
2.正多边形的有关概念
(1)中心:正多边形的_____________.
(2)半径:正多边形_______的半径.
(3)中心角:正多边形每一边所对的_______.
(4)边心距:正多边形的_____到正多边形的一边的_____.
3.正多边形的画法
先将_______n等分,然后顺次连接各分点所得的多边形为_________.
4.利用尺规在圆中作正六边形和正方形
(1)正六边形:在半径为R的圆上依次截取等于__的弦,将圆___等分,顺次连接各分点得_______形.
(2)正方形:作出已知圆的互相垂直的直径将圆___等分,顺次连接各分点得_____形.
【夯实基础】
1、下列命题正确的是( )
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
2、如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( )
A．240° B．120° C．60° D．30°
3、下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
4、若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
A. B．2 C. D．1
5、一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是( )
A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形
6、正三角形的边心距、半径和高的比是( )
A.1∶2∶3 B.1∶∶
C.1∶∶3 D.1∶2∶
7、一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为________．
8、如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_________．
9、边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是______．
10、如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为_________．
11、将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形,这个正方形的边长(结果保留根号).
12、已知☉O的半径为1 cm,求作☉O的内接正八边形.
【提优特训】
1、圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍
C.扩大了四倍 D.没有变化
2、若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )
A.6,3 B.3,3 C.6,3 D.6,3
3、如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( )
A．(2，－3 B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2)
4、以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
5、在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为　　　　.
6、如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝______．
7、如图(1),(2),(3),…,(n),M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.
(1)求图(1)中∠MON的度数.
(2)图(2)中∠MON的度数是　　　　,图(3)中∠MON的度数是　　　　.
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
8、我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2)、图(3)…
(1)观察以上图形并完成下表:
图形名称
基本图的个数
特征点的个数
图(1)
1
7
图(2)
2
12
图(3)
3
17
图(4)
4
…
…
…
猜想:在图(n)中,特征点的个数为　　　　(用含n式子表示)
(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1=　　　　　;图(2013)的对称中心的横坐标为　　　　.
【中考链接】
1、(南京中考)△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为 .
2、(绵阳中考)如图,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为( )
A.6mm B.12mm
C.6mm D.4mm
【参考答案】
【夯实基础答案】
D 2. B 3.A 4. A 5. C 6.A 7.12 8. 36° 9. 2 10.(，－)
11.解∵△BDE是等腰直角三角形,BE=1,∴BD=,
∴正方形的边长等于AB+2BD=1+.
[
12.(1)如图所示,作直径AC,使AC=2 cm.
(2)作AC的中垂线BD交☉O于B,D两点.
(3)连接AD,作AD的中垂线交于M点.
(4)用同样的方法作出,,的中点分别为E,F,G.
(5)依次连接各分点,即得正八边形.正八边形AEBFCGDM即为所求作的☉O的内接正八边形.
【提优特训答案】
1. D 2. B 3. C 4. A 5. ∶1 6. 75°
7.(1)连接OB,OC.
∵正△ABC内接于☉O,
∴∠OBM=∠OCN=30°,
∠BOC=120°.
又∵BM=CN,OB=OC,
∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM=∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90°　72°
(3)∠MON=.
【中考链接答案】
1. 9（提示：根据已知,△OAB为等腰三角形,且△OAB的一个内角为70°,则这个角可能是底角,也可能是顶角.若70°角为顶角,则边数为=,不符合题意,舍去;若70°角为底角,则顶角为40°,则边数为=9,符合题意,故边数为9.）
2. C