新湘教版 数学 九年级上 课时教学设计
课题
3.2 平行线分段成比例
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①掌握平行线等分线段的基本定理；
②掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题；
③掌握基本定理的推导过程并能以之解题。
过程与方法：
①通过观察、猜测、举例验证、归纳等数学活动；
②经历探究比例基本性质的过程，渗透有序思考，感受变与不变的思想，体验平行线等分线段定理的价值。
情感态度与价值观：引导学生自主参与知识探究过程，培养学生初步的观察、分析、比较、判断、概括的能力，发展学生的思维。
重点
①平行线等分线段定理；
②平行线分线段成比例定理、推论及应用。
难点
①平行线等分线段定理；
②平行线分线段成比例定理、推论及应用。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
同学们，在上节课中，我们已经学习了有关比例的基本性质、平行线等分线段定理，在这节课中，我们将一起学习有关分线段成比例的知识。在上课之前，我们一起回顾下以前学过的知识：
同学们，在上节课中，我们已经学习了有关比例的基本性质，在这节课中，我们将一起学习有关分线段成比例的知识。在上课之前，我们一起回顾下以前学过的知识：
回顾：我们学过平行线的性质有哪些？
平行线间的平行线段 相等 .
即AB= EF ，BC= FG .
【导入新课】下图是一架梯子的示意图，根据生活常识可以得到AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且AB=BC，A1B1=B1C1.由此，可以猜想出什么结果呢？
如图，已知直线a∥b∥c．直线l1，l2被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，且AB=BC，要证明A1B1=B1C1，能不做辅助线证明吗？如果必须做辅助线，你考虑怎么做呢？
过点B作直线l3//l2，分别与直线a，c相交于点A2，C2，由于a//b//c，l3//l2，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知：A2B=A1B1，BC2=B1C1.
在△BAA2和△BCC2中：
∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，
∠BAA2=∠BCC2，
因此△BAA2≌△BCC2.从而BA2=BC2，所以A1B1=B1C1.
学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
知识探究、导入新课，通过知识探究让学生主动发现知识。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到平行线等分线段的定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
符号语言：∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】若AB∥CD∥EF，AC=CE，则BD=DF=AC=CE.( )
解析：∵AB∥CD∥EF，AC=CE，
∴BD=DF
但是AC不一定与CE相等.
∴ BD=DF，AC=CE，而四个不一定相等.
平行线等分线段：推论1:
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
符号语言：
∵在四边形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC
【例2】如图，EF//CD//AB，且DF=OD=AO，OE=6，则BE（A?）
A.9 B.10
C.11 D.12
【知识探究】如图，任意画两条直线l1，l2．再画三条与l1，l2相交的平行线a，b，c分别度量l1，l2，被直线a，b，c截得的线段是AB，BC，A1B1，B1C1，若AB=BC，请问ABBC与A1B1相等吗？
解：相等，都等于1.
∵直线a∥b∥c，AB=BC
∴A1B1=B1C1
∴ABBC=A1B1=1.
平行线等分线段成比例定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
符号语言
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
∴ABBC=A1B1=1.
【导入新课】已知直线a//b//c//d//e，线段AB=BC=CD=DE，请你任意选择3条平行线截直线m，n，找一组比例线段写下来，并写出它们的比值.
1.选择直线m，n被a，b，d三条平行线所截，
可得：ABBD=FGGP=12
即：左上左下=右上右下
2.选择直线m，n被a，b，e三条平行线所截，
可得：ABBE=FGGK=13
即：左上左下=右上右下
3.选择直线m，n被a，c，d三条平行线所截，
可得：ACCD=FHHP=2
即：左上左下=右上右下
4.选择直线m，n被a，d，e三条平行线所截，
可得：ADDE=FPPK=3
即：左上左下=右上右下
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到平行线分线段成比例的定理：
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
符号语言：如果直线a//b//c，那么ABBC=DEEF.
平行线分线段成比例定理，符号表达形式：
接下来，我们看一些具体的例子：
【例3】 如图，已AA1//BB1//CC1，AB=2，BC=3，A1B1=1.5， 求B1C1的长.
解：由平行线段成比例可知：
ABBC=A1B1B1C1，
即23=1.5B1C1
因此，B1C1=3×1.52=2.25
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？
结论：后者是前者的一种特殊情况！
【例4】如图，在△ABC中，已知DE//BC，则ADDB=AEEC和ADAB=AEAC成立吗？为什么？
【例5】如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AB=3，AD=2，EC=1.8，求AC的长.
解：∵DE//BC
∴ADAB=AEAC=AC?ECAC
∴23=AC?1.8AC=1?1.8AC
∴AC=5.4.
结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
小结：平行线分线段成比例
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握平行线分线段成比例的定理。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握平行线分线段成比例的定理。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1.如图，在△ABC中，已知MN//BC，DN//MC，小红同学由此得出了以下四个结论，其中正确的结论是（ ②③④ ）
①ADDM=DNMC ②ANCN=AMAB ③AMMB=ANNC ④ DNMC=MNBC
2.已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=5，A1B1=0.5，求B1C1的长.
解：由平行线分线段成比例可知：
ABBC=A1B1B1C1，即25=0.5B1C1?，
因此，B1C1=1.25.
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=3，AB=5，AE=2，求AC的长.
解：由平行线分线段成比例可知：
ADAB=AEAC，即35=2AC?，
因此，AC=103.
4.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，ABBC=23，EF=9，求DF的长.
解：∵ AD∥BE∥CF
∴ABBC=DEEF
∴23=DE9
∴DE=6
∴DF=DE+EF=6+9=15.
5.如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB，试判断ADDB=BFFC成立吗？若成立说明理由.
解：ADDB=BFFC成立，理由如下：
∵ DE∥BC，∴ADDB=AEEC
∵EF//AB，∴BFFC=AEEC
∴ADDB=BFFC.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
平行线分线段成比例
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
平行线分线段成比例
平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
课本第71页练习第1、2题；
课本第71页习题3.2第1题；
课本第72页第2、3题.
3.2 平行线分段成比例
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题
1．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
2．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
3．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，线段AB与CD交于点O，下列条件中能判定AC∥BD的是（ ）
A．OC=1，OD=2，OA=3，OB=4 B．OA=1，AC=2，AB=3，BD=4
C．OC=1，OA=2，CD=3，OB=4 D．OC=1，OA=2，AB=3，CD=4．
5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则=（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=2，AE=6，则EC的长为 ．
7．如图所示，AB∥EF，若CE=4，CF=3，AE=BC，则BC= ．
8．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条直线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=4，BC=6，DE=3，则DF的长为 ．
三．解答题
9．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
10．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：
（1）当=时，=；
（2）当=时，=；
（3）当=时，=；
…
猜想：当=时，=？并说明理由．
11．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
试题解析
一．选择题
1．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，
∴．
故选：B．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．
2．D
【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到==，则CE=DF，由DF∥AE得到===，则AE=4DF，然后计算的值．
【解答】解：过点D作DF∥CA交BE于F，如图，
∵DF∥CE，
∴=，
而BD：DC=2：3，
∴=，则CE=DF，
∵DF∥AE，
∴=，
∵AG：GD=4：1，
∴=，则AE=4DF，
∴==．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=5，AC=8，DF=12，
∴，
即，
可得；DE=6，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．
4．C
【分析】根据平行线的判定方法即可一一判断．
【解答】解：A、∵≠，
∴本选项不符合题意．
B、无法判断=，
∴本选项不符合题意；
C、∵OC=1，OA=2，CD=3，OB=4，
∴=，
∴AC∥BD，
∴本选项符合题意；
D、∵≠，
∴本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，所以中考常考题型．
5．A
【分析】求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴==．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
二．填空题
6．3
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
即，
解得：EC=3，
则EC的长是3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
7．12
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴=．
∵CE=4，CF=3，AE=BC，
∴=，
则BC=12．
故答案是：12．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
8．7.5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
即，
∴DF=7.5，
故答案为：7.5
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
三．解答题
9．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
10．【分析】如图，作辅助线；证明，得到EG=nAE；证明EG=CG，AC=（2n+1）AE，即可解决问题．
【解答】解：猜想：当=时，=；理由如下：
如图，过点D作DG∥BE，交AC与点G；
则，
∴，EG=nAE；
∵AD是△ABC的中线，
∴EG=CG，AC=（2n+1）AE，
∴．
【点评】该题主要考查了平行线分线断成比例定理等几何知识点的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造平行线，灵活运用平行线分线断成比例定理来分析、判断、推理或解答．
11．【分析】（1）如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到=，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有=；
（2）先利用勾股定理计算出AC=5，再利用（1）中的结论得到=，即=，则可计算出BD=，然后利用勾股定理计算出AD=，从而可得到△ABD的周长．
【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴=，∠2=∠ACE，∠1=∠E，
∵∠1=∠2，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
∴=；
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
课件35张PPT。3.2 平行线分段成比例数学湘教版 九年级上回顾：我们学过平行线的性质有哪些？平行线间的平行线段 . 相等即AB= ，BC= . EFFG 下图是一架梯子的示意图，根据生活常识可以得到AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且AB=BC，A1B1=B1C1.由此，可以猜想出什么结果呢？ 如图，已知直线a∥b∥c．直线l1，l2被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，且AB=BC，要证明A1B1=B1C1，能不做辅助线证明吗？如果必须做辅助线，你考虑怎么做呢？ 过点B作直线l3//l2，分别与直线a，c相交于点A2，C2，由于a//b//c，l3//l2，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知：A2B=A1B1，BC2=B1C1. 在△BAA2和△BCC2中：
∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，
∠BAA2=∠BCC2，
因此△BAA2≌△BCC2.从而BA2=BC2，所以A1B1=B1C1. 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等.符号语言
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1平行线等分线段定理: 【例1】若AB∥CD∥EF，AC=CE，则BD=DF=AC=CE.( )×解析：∵AB∥CD∥EF，AC=CE，
∴BD=DF
但是AC不一定与CE相等.
∴ BD=DF，AC=CE，而四个不一定相等.经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.ABCDEF符号语言：
∵在四边形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC推论1:AEBCF经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。符号语言
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴AF=FC推论2:【例2】如图，EF//CD//AB，且DF=OD=AO，OE=6，则BE（ ?）
A.9 B.10
C.11 D.12A相等，都等于1.?? 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.?平行线等分线段成比例定理: 已知直线a//b//c//d//e，线段AB=BC=CD=DE，请你任意选择3条平行线截直线m，n，找一组比例线段写下来，并写出它们的比值. ? ? ? ? 平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.??平行线分线段成比例定理，符号表达形式：? 【例3】如图，已AA1//BB1//CC1，AB=2，BC=3，A1B1=1.5， 求B1C1的长.?平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？结论：后者是前者的一种特殊情况！?????结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．Al1Dl2EBCl3Al1Dl2EBCl3A型图?X型图平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例．?两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.平行线分线段成比例 【例6】已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3，A1B1=1.5，求B1C1的长.??②、③、④ 2.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=3，AB=5，AE=2，求AC的长.???推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.ABCDEFAEBCF推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边. 平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等Al1Dl2EBCl3Al1Dl2EBCl3A型图?X型图平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例．?两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.平行线分线段成比例推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.ABCDEFAEBCF推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边. 平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等Al1Dl2EBCl3Al1Dl2EBCl3A型图?X型图平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例．?两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.平行线分线段成比例课本第71页练习第1、2题；
课本第71页习题3.2第1题；
课本第72页第2、3题.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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