13.4课题学习最短路径问题课件（34张PPT）

l
八年级一班同学做游戏，在活动区域边缘放了一些球(如下图)，小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?
A
B小明
如图，直线L两侧有两点A、B。
在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两点的距离之和最小？
两点的所有连线中，线段最短。
C
A
B
C
如图，直线L同侧有两点A、B。
在直线L上求一点C，使它到Ａ、Ｂ两点的距离之和最小？
l
A
B
C

任务1:测量点C到A 、 B的距离,求和，填入学案的空格上。
任务2:小组合作，由组长安排分工(一人找点,一人测量,一人计数，其余监督)任意在直线L上取点C ′(不与点C重合)探究测量，填入空格。
L
A
B
C


l
在L上任取另一点C ‘,连接AC ' 、BC'、B'C'.
∵ 直线 L是点Ｂ、Ｂ'的对称轴，点Ｃ、Ｃ'在对称轴上，
∴CB=CB',C'B=C'B'.
∴AC+CB=AC+CB'=AB'。
在△AC'B'中，AC'+C'B'>AB',
∴AC'+C'B>AC+CB,
即AC+CB 最小.
证明:
Ｃ'
直线同侧两点到直线上一点的距离和最小问题
直线异侧两点到直线上一点的距离和最小问题
探究1与探究2的区别与联系
C
八年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如下图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?
A
B小明
l
巩固新知
∠AOB的边OA上有两点M、N，在∠AOB 的角平分线OC上找一点P，使MP+NP最小，下列作法正确的是（）
O
B
A
M
N
C
O
B
A
M
N
C
O
B
A
M
N
C
O
B
A
M
N
C
P
P
P
P
N’
（A）
（D）
（C）
（B）
如果另一侧放着一些小木棍，小明还要跑到另一侧去取小木棍，则又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球、小木棍，才能最快跑到目的地A?你能说说为什么吗?
M
N
A
B小明
l1
l2
要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气.
(1)泵站修在管道的什么地方，可使它到A、B两镇的距离相等？
(2)泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
A
B
l
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
思维分析
1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
Ｍ
Ｎ
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
思维火花
各抒己见
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请检验.
合作与交流
1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
A1
M
N
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE, BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,
则AB两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
A·
问题延伸一
如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
思维分析
如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.
平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：
（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
使A1A2=PQ.
（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２　＝ＰＱ　；
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；
连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为
ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１　点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.
最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２　＝MN　；
连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；
连接B１N交B１的对岸于P点，建桥PQ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．
问题延伸二
如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
思维分析
如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.
平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２　＝PQ，A2A3 =GH 　；
连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；
连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；
连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.
此时从A到B点路径最短.
沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１，使AA１＝MN，平移B点至B1、B2 ,使BB1＝GH，B1B2 =PQ ；
连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；
连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；
此时从A到B点路径最短.
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1＝GH ；
连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；
连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；
此时从A到B点路径最短.
问题解决
延伸小结
　　同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3　，．．．，An,平移距离分别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1,此时所走路径最短.

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课本P93复习题第15题。
作 业