24.2.2 直线和圆的位置关系课时作业（2）

24.2.2 直线和圆的位置关系课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠BAC=25°，则∠ADC等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（　　）
A．70° B．35° C．20° D．40°
3.如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（　　）
A．76° B．56° C．54° D．52°
4.如图，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上．如果∠CAB=55°，那么∠AOB等于（ ）
A． 55° B． 90° C． 110° D． 120°
5.如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6.如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．9
7.如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
8.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　）
A．6 B．2+1 C．9 D．
二 、填空题
9.如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是　　　　　　．
10.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为　 　．
11.如图，PA是(O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则(O的周长为 .（结果保留π）.
12.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD=　 　°．
13.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=　 　度．
14.如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为　 　cm．
15.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C、M是⊙O上的点，∠AMB=60°，过点
C作的切线交PA、PB于E、F，△PEF的外心在PE上．已知PA=3，则AE的长为　　．
三 、解答题
16.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
17.如图,☉O的半径OC=10cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16cm,直线l平移多少厘米时能与☉O相切?
18.如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．
19.如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，且∠BAC=52°．
（1）求∠OBA的度数；
（2）求∠D的度数．
20.如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE=AB．
21.如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．
答案解析
一 、选择题
1.【考点】切线的性质．
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠COB，根据切线性质得出∠OCD=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
解：如图，连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∵弧BC对的圆周角是∠A，对的圆心角是∠COB，
∴∠COB=2∠A=50°，
∴∠D=180°﹣∠DCO﹣∠COB=40°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，切线的性质的应用，主要考查了推理能力．
2.【考点】切线的性质；圆周角定理．
【分析】先依据切线的性质求得∠CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD的度数．
解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴AB⊥AC．
∴∠CAB=90°．
又∵∠C=70°，
∴∠CBA=20°．
∴∠DOA=40°．
故选：D．
3.【考点】切线的性质
【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．
解：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，
∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38°，
∴∠NOA=2∠B=76°．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
4.【考点】切线的性质；圆周角定理．
【分析】 根据切线的性质得∠OAC=90°，则∠OAB=35°，所以可求∠AOB=110°．
解：∵∠OAC=90°，
∴∠OAB=90°﹣55°=35°，
∴∠AOB=180°﹣35°×2=110°．
故选C．
【点评】此题运用了切线的性质定理、三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．
5.【考点】切线的性质．
【分析】已知AB和⊙O相切于点B，由切线的性质得出∠ABO=90°，由直角三角形的性质得出∠A。．
解：∵AB和⊙O相切于点B
∴∠ABO=90°
∴∠A=90°﹣∠AOB =90°﹣60°=30
故选B
6.【考点】切线的性质，圆周角定理
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．
解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
7.【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
8.【考点】切线的性质．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选C．
二 、填空题
9.【考点】切线的性质．
【分析】根据切线的性质以及垂径定理，在Rt△BOC中利用勾股定理求出BC，即可得出AB的长．
解：∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
在Rt△BOC中，∵∠BCO=90°，OB=5，OC=3，
∴BC==4（cm），
∴AB=2BC=8cm．
故答案为：8cm．
10.【考点】切线的性质．
【分析】连接OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．
解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：
r2+122=（8+r）2，
解得r=5．
故答案为：5．
11.【考点】切线的性质；勾股定理
【分析】连接AO，因为AP是切线，所以AP垂直于AO，根据勾股定理AO2=OP2－AP2
AO=3，⊙O的周长为6π,
解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，PA=4，OP=5，由勾股定理得：OA=3，
则⊙O的周长为2π×3=6π．
故答案为6π
12.【考点】切线的性质．
【分析】根据切线的性质求出∠BAC=90°，求出∠OAD=60°，根据圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD，代入求出即可．
解：∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC=90°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
故答案为：120．
13.【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出∠OCB的度数．
解：
∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°﹣40°=50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．
14.【考点】矩形的性质；垂径定理的应用；切线的性质
【分析】连接OC，利用垂径定理解答即可．
解：连接OC，
∵直尺一边与量角器相切于点C，
∴OC⊥AD，
∵AD=10，∠DOB=60°，
∴∠DAO=30°，
∴OE=，OA=，
∴CE=OC﹣OE=OA﹣OE=，
故答案为：
【点评】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理解答．
15.【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．
【分析】由切线长定理知：PA=PB，CE=CF，由△PEF的外心在PE上，知该三角形是直角三角形，由∠M=60°，可计算出∠P的度数，利用特殊角间关系，表示出AE、PE、PF、FB，利用EF=AE+BF可得方程，求出AE的长．
解：连接OA、OB．
∵∠AMB=60°，
∴∠AOB=120°
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB=3，∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形PAOB中，∠P=360°﹣∠PAO﹣∠AOB﹣∠OBP=60°
∵△PEF的外心在PE上，
∴△PEF是直角三角形，且∠PFE=90°．
在Rt△PEF中，∵∠P=60°，
∴PE=2PF，EF=PF．
设AE的长为x，则PE=3﹣AE=3﹣x，
则PF=（3﹣x），EF=（3﹣x），BF=3﹣PF=（3+x）
∵EF是⊙O的切线，
∴EA=EC，FC=FB．
∵EF=EC+FC=AE+BF
∴（3﹣x）=x+（3+x），
∴x=2﹣3．
【点评】本题考查了外接圆、切线长定理、60°角所在直角三角形的边角关系、圆周角圆心角间关系及二次根式的相关计算，属于综合性较强的题目．表示出各个线段的长，并利用线段的和列出方程是解决本题的关键．
三 、解答题
【考点】切线的性质；勾股定理．
【分析】连接OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径定理求得BE的长即可．
解：连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF=BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC﹣FC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BE=2BF=2．
【考点】勾股定理，垂径定理，切线的性质
【分析】连接OA，延长CO交⊙O于D，由垂径定理得OC平分AB．AH=8，由勾股定理可得OH=6，求得CH=4cm，DH=16cm．
解：如图,连接OA,延长CO交☉O于D,
∵l⊥OC,∴OC平分AB.∴AH=8.
在Rt△AHO中,OH===6,
∴CH=4cm,DH=16cm.
答:直线l向左平移4cm,或向右平移16cm时与圆相切.
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．
【考点】切线的性质；勾股定理．
【分析】连接OC，根据等腰三角形三线合一的性质可求得AC的长，然后在直角△OAC中，利用勾股定理即可求得OA的长．
解：连结OC，
∵C为切点，
∴OC⊥AB，即OC是△OAB的高，
∵∠A=∠B，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形，
∴AC=CB=AB=×16=8，
在Rt△OCA，OA===10．
【点评】本题主要考查圆的切线性质及勾股定理，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决问题．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）连接OA，由切线的性质可得∠OAC=90°，再由已知条件可求出∠OAB的度数，由圆的性质可得△OAB是等腰三角形，根据等边对等角即可求出∠OBA的度数；
（2）由（1）可知△OAB是等腰三角形，所以∠AOB的度数可求，再由圆周角定理即可求出∠D度数．
解：（1）连接OA，
∵AC与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠BAC=52°，
∴∠OAB=38°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=38°；
（2）∵∠OBA=∠OAB=38°，
∴∠AOB=180°﹣2×38°=104°，
∴∠D=∠AOB=52°．
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE=DM，结合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出=，进而可得出CD=BD，结合DE=DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根据全等三角形的性质可得出CE=BM，结合AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB．
证明：（1）连接OD，如图1所示．
∵OA=OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE．
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE=DM．
在△DAE和△DAM中，，
∴△DAE≌△DAM（SAS），
∴AE=AM．
∵∠EAD=∠MAD，
∴=，
∴CD=BD．
在Rt△DEC和Rt△DMB中，，
∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），
∴CE=BM，
∴AE+CE=AM+BM=AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：（1）利用平行线的判定定理找出AE∥OD；（2）利用全等三角形的性质找出AE=AM、CE=BM．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）欲证明AP=AB，只要证明∠APB=∠ABP即可；
（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解决问题．
（1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABP+∠OBC=90°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOC=90°，
∴∠OCB+∠CPO=90°，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠APB=∠ABP，
∴AP=AB．
（2）解：作OH⊥BC于H．
在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，
∴OA==5，
∵AP=AB=3，
∴PO=2．
在Rt△POC中，PC==2，
∵?PC?OH=?OC?OP，
∴OH==，
∴CH==，
∵OH⊥BC，
∴CH=BH，
∴BC=2CH=，
∴PB=BC﹣PC=﹣2=．