第21章　二次函数与反比例函数全章教案

第21章　二次函数与反比例函数
21.1　二次函数
◇教学目标◇

【知识与技能】
理解二次函数的概念,并掌握二次函数表达式的特点.
【过程与方法】
能够根据实际问题熟练地列出二次函数的表达式,并求出函数的自变量的取值范围.
【情感、态度与价值观】
联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想.
◇教学重难点◇
【教学重点】
二次函数的概念.
【教学难点】
能够根据实际问题列出二次函数的表达式.
◇教学过程◇
一、情境导入
现有一根12 m长的绳子,用它围成一个矩形,如何围,才能使矩形的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时,它的面积最大,他说的有道理吗?
二、合作探究
探究点1　二次函数的相关概念
典例1　下列函数是二次函数的有 (　　)
A.y=8x2+1 B.y=2x-3
C.y=3x2+ D.y=
[解析]　根据二次函数的概念可知A项正确.
[答案]　A
变式训练　当a=　　　　时,函数y=(a-2)+ax-1是二次函数.?
[答案]　-2
【易错警示】求二次函数中的字母系数的值时,要根据二次函数的定义,在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下,还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中,往往容易忽略二次项系数不能为0这个条件,只是从自变量的最高次数是2入手列方程求a的值,从而得出错解.
探究点2　根据实际问题列二次函数表达式
典例2　列出下列函数的表达式.
(1)一个圆柱的高等于底面半径的2倍,则它的表面积S与底面半径r之间有怎样的表达式?
(2)某工厂一种产品现在年产量是20件,计划今后两年增加产量,如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
(3)n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,则比赛的场次数m与球队数n之间有怎样的表达式?
[解析]　(1)S=2πr2+2πr·2r=6πr2.
(2)y=20(1+x)2.
(3)m=
变式训练　一个正方形的边长是12 cm.若从中挖去一个长为2x cm,宽为(x+1) cm的小长方形,剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的函数表达式,并指出y是x的什么函数.
(2)当小长方形的长中x的值为2,4时,相应的剩余部分面积是多少?
[解析]　(1)y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144,∴y是x的二次函数.
(2)当x=2,4时,相应的剩余部分面积分别为132 cm2,104 cm2.
三、板书设计
二次函数
二次函数
◇教学反思◇
本节课从实际问题入手,结合学生已有的知识经验,观察、归纳出二次函数的概念以及二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),并使学生从中体会函数的思想.在本节课的教学过程中,学生经常列不出二次函数表达式,对于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.21.2　二次函数的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2的图象和性质

◇教学目标◇

【知识与技能】
会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.
【教学难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.
◇教学过程◇
一、情境导入
从桌面弹射粉笔,从空中平抛粉笔和乒乓球,观察物体在空中的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?
二、合作探究
探究点1　二次函数y=ax2的图象
典例1　(1)用描点法在同一坐标系中画出y=x2,y=x2,y=2x2的图象.
(2)比较上述图象,抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数有何关系?
(3)根据你的研究结果,请你在上述平面直角坐标系中近似画出函数y=x2的图象.
[解析]　(1)y=x2,y=x2,y=2x2的图象如图所示.

(2)抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系:系数越大,开口越小.
(3)平面直角坐标系中近似画出函数y=x2的图象如图虚线所示.
变式训练　已知y=(k+2)是二次函数.
(1)求k的值;
(2)画出函数的图象.
[解析]　(1)∵y=(k+2)为二次函数,
解得k=1.
(2)当k=1时,函数的表达式为y=3x2,用描点法画出函数的图象.
列表:
x -1 - 0 1 …
y=3x2 3 0 3 …


描点:(-1,3),,(0,0),,(1,3).
连线:用光滑的曲线按x从小到大的顺序连接各点,图象如图所示.

探究点2　二次函数y=ax2的性质
典例2　已知点(-3,y1),(1,y2),(,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是　　　　.?
[解析]　方法一:把x=-3,1,分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,则y1>y3>y2.
方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2.

方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y1).又∵3>>1,∴y1>y3>y2.
【归纳总结】比较二次函数中函数值的大小有三种方法:①直接把自变量的值代入表达式中,求出对应函数值进行比较;②图象法;③根据函数的增减性进行比较,但当要比较的几个点在对称轴的两侧时,可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点,转化到同侧后,然后利用性质进行比较.
变式训练　已知函数y=(m+3)是关于x的二次函数.
(1)求m的值.
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下?
(3)当m为何值时,该函数有最小值?
(4)试说明函数图象的增减性.
[解析]　(1)∵函数y=(m+3)是关于x的二次函数,∴m2+3m-2=2,m+3≠0,解得:m1=-4,m2=1.
(2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0,∴m<-3,
∴当m=-4时,该函数图象的开口向下.
(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3,
∴当m=1时,该函数有最小值.
(4)当m=1时,x>0时,y随x的增大而增大,x<0时,y随x的增大而减小;
当m=-4时,x>0时,y随x的增大而减小,x<0时,y随x的增大而增大.


二次函数y=ax2的最值是图象顶点的纵坐标,当a>0时,函数图象的开口向上,顶点是最低点,此时顶点的纵坐标为函数的最小值;当a<0时,函数图象的开口向下,顶点是最高点,此时顶点的纵坐标为函数的最大值.
三、板书设计
二次函数y=ax2的图象和性质
二次函数y=ax2的图象和性质
◇教学反思◇
本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.

第2课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质

◇教学目标◇

【知识与技能】
使学生能利用描点法作出二次函数y=ax2+k的图象.
【过程与方法】
让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、归纳的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质.
【教学难点】
理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入

如图,隧道的截面是抛物线,可以用y=-x2+4表示,该隧道内设双行道,限高为3 m,那么每条行道宽是多少米?
二、合作探究
探究点1　函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象的相互关系
典例1　下图是y=2x2+1,y=2x2-1图象,根据图象回答下列问题:

(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1开口方向　　　　,对称轴是　　　　,顶点坐标　　　　.?
(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与y=2x2之间有什么关系?
[解析]　(1)向上;y轴;(0,1),(0,-1).
(2)y=2x2+1是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的,而y=2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的.


二次函数y=ax2与y=ax2+k(a>0)的图象的异同点:开口方向向上、开口大小相同、对称轴都为y轴,顶点坐标不同,分别为(0,0),(0,k).
变式训练　抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到 (　　)
A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
[答案]　B
探究点2　二次函数y=ax2+k的图象特征
典例2　已知一次函数y=ax-c的图象如图1所示,则二次函数y=ax2+c的图象大致为图2中的 (　　)

[解析]　由一次函数y=ax-c的图象可知a<0,c<0.由a<0可知,抛物线y=ax2+c的开口向下,由c<0可知,抛物线y=ax2+c与y轴的交点在x轴下方,且抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴,所以只有D符合条件.
[答案]　D
【技巧点拨】解此类题目的关键是熟知一次函数与二次函数的图象特点,特别是理解a,b,c对抛物线形状及开口方向、位置的影响.
变式训练　数学课上,李老师给同学们出了这样一道数学题:m取何值时,抛物线y=(m-2)+1的开口向下?小明看到题后,只用了几分钟,就完成了这道题,他的解答过程如下:
∵抛物线开口向下,∴m-2<0,∴m<2,即当m<2时抛物线y=(m-2)+1的开口向下.
同学们,你认为小明的解答过程正确吗?如果不正确,请帮小明分析错误的原因,并改正过来.
[解析]　错误原因:忘记x的指数为2.
正确解法:∵抛物线开口向下,∴m-2<0,∴m<2,又∵函数为二次函数,∴m2=2,解得m=±,∴当m=±时,抛物线开口向下.
探究点3　二次函数y=ax2+k的图象性质
典例3　已知y=ax2+k的图象上有三点A(-5,y1),B(1,y2),C(3,y3),且y2A.a>0 B.a<0
C.a≥0 D.a≤0
[解析]　点A(-5,y1)关于y轴的对称点是A'(5,y1),由1<3<5且y20时,y随x的增大而增大,所以a>0.
[答案]　A
变式训练　已知函数y=(k+2)+2是关于x的二次函数.求k的值;当x为何值时,y随x的增大而增大?
[解析]　k2-k-4=2,∴k1=3,k2=-2.
当k=-2时,k+2=0应舍去.∴k=3.
当x>0时,y随x的增大而增大.
三、板书设计
二次函数y=ax2+k的图象与性质

y=ax2+k a>0 a<0
图象
开口 开口向上 开口向下
a的绝对值越大,开口越小
顶点 (0,k)
顶点是最低点,有最小值 顶点是最高点,有最大值
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减


◇教学反思◇
通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:
首先,掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;
其次,能够理解a,k对函数图象的影响,初步体会二次函数表达式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础;
最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神.

第3课时　二次函数y=a(x+h)2的图象和性质

◇教学目标◇

【知识与技能】
利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.
【过程与方法】
使学生经历探究二次函数y=a(x+h)2性质的过程,理解函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象,理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
【教学难点】
理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
在青青草原上,慢羊羊在课堂上讲授有关二次函数的知识,只见他把已画的y=x2的图象向上、下、左、右四个方向平移1个单位长度.然后提出问题:平移所得的四条抛物线与抛物线y=x2的形状、大小如何?
二、合作探究
探究点1　二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系
典例1　抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后抛物线对应的二次函数的表达式.
[解析]　抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后的抛物线对应的二次函数的表达式可表示为y=a(x-3)2,
把x=-1,y=4代入,得4=a×(-1-3)2,解得a=
∴平移后抛物线对应的二次函数的表达式为y=(x-3)2.
【技巧点拨】抛物线y=a(x-h)2与y=ax2形状相同,位置不同,y=a(x-h)2是由y=ax2左右平移得到的,二次函数图象的平移规律:左加右减,上加下减.
变式训练　已知二次函数y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0),且过点A
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)点B(2,-2)在这个函数图象上吗?
(3)你能通过左、右平移函数图象,使它过点B吗?若能,请写出平移方案.
[解析]　(1)由已知可得y=a(x+1)2,
又∵过点A,∴a=-,
∴y=-(x+1)2.
(2)当x=2时,y=-(2+1)2=--2,
∴点B(2,-2)不在这个函数图象上.
(3)能,因为左、右平移只改变m的值,
∴-2=-(2+m)2,
∴2+m=±2,∴m1=0,m2=-4,
∴y=-x2或y=-(x-4)2
∴方案一:把y=-(x+1)2向右平移1个单位;
方案二:把y=-(x+1)2向右平移5个单位.
探究点2　函数y=a(x+h)2图象特征
典例2　在同一坐标系中画出二次函数y=2x2,y=2x2+1和y=2(x+1)2的图象,并回答下列问题:
(1)它们的形状相同吗?
(2)分别说出它们的开口方向、顶点坐标和对称轴.
[解析]　画出函数的图象如图:

(1)它们的形状相同;
(2)函数y=2x2的开口向上,顶点坐标为(0,0),对称轴是y轴;函数y=2x2+1的开口向上,顶点坐标为(0,1),对称轴是y轴;函数y=2(x+1)2的开口向上,顶点坐标为(-1,0),对称轴是直线x=-1.
探究点3　函数y=a(x+h)2增减性
典例3　若二次函数y=-(x-m)2,当x>1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是　　　　.?
[解析]　∵y=-(x-m)2,
∴二次函数对称轴为x=m,开口向下,
∴当x>m时,y随x的增大而减小,
∵当x>1时,y随x的增大而减小,∴m≤1.
[答案]　m≤1
变式训练　对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是 (　　)
A.y随x的增大而增大
B.当x>0时,y随x的增大而增大
C.当x=-1时,y有最小值0
D.当x>1时,y随x的增大而增大
[答案]　D
三、板书设计
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质

函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y的最值 增减性
在对称轴左侧 在对称轴右侧
y=a(x+h)2 a>0 向上 直线x=-h (-h,0) 最小值是0 y随x的增大而减小 y随x的增大而 增大
a<0 向下 直线x=-h (-h,0) 最大值是0 y随x的增大而增大 y随x的增大而 减小


◇教学反思◇
通过本节学习使学生认识到y=a(x+h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的,初步认识到a,h对y=a(x+h)2位置的影响,a的符号决定抛物线方向,|a|决定抛物线开口的大小,h决定向左、向右平移,从中领会数形结合的数学思想.

第4课时　二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质

◇教学目标◇

【知识与技能】
1.理解并掌握二次函数y=a(x+h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;
2.确定函数y=a(x+h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
经历函数y=a(x+h)2+k性质的探索过程,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
确定函数y=a(x+h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x+h)2+k的性质.
【教学难点】
正确理解函数y=a(x+h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+1)2-1有哪些性质?
二、合作探究
探究点1　二次函数y=a(x+h)2+k的图象
典例1　二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为 (　　)

[解析]　根据函数表达式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可.a=1>0,抛物线开口向上,由表达式可知对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2,-1).
[答案]　D
变式训练　二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过 (　　)

A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限
[答案]　B
探究点2　二次函数y=a(x+h)2+k的图象与y=ax2之间的关系
典例2　将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得的抛物线是 (　　)
A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+1
C.y=(x+2)2+1 D.y=(x+2)2-1
[解析]　由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=x2向下平移1个单位所得抛物线的表达式为y=x2-1;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=x2-1向右平移2个单位所得抛物线的表达式为y=(x-2)2-1.
[答案]　A
变式训练　将抛物线y=2(x+1)2-2向右平移2个单位,再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式是 (　　)
A.y=2(x+3)2 B.y=(x+3)2
C.y=(x-1)2 D.y=2(x-1)2
[答案]　D


一般地,抛物线y=a(x+h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x+h)2+k.平移的方向、距离要根据h,k的值决定.
探究点3　二次函数y=a(x+h)2+k的性质
典例3　对于二次函数y=2(x-1)2-3的图象性质,下列说法不正确的是 (　　)
A.开口向上
B.对称轴为直线x=1
C.顶点坐标为(1,-3)
D.最小值为3
[解析]　a=2>0,则函数开口向上,故A正确;对称轴是x=1,故B正确;顶点坐标是(1,-3),故C正确;最小值是-3,故D错误.
[答案]　D
变式训练　已知二次函数y=a(x-1)2+3,当x<1时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 (　　)
A.a≥0 B.a≤0
C.a>0 D.a<0
[答案]　D
三、板书设计
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质

函数 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 y的最值 增减性
在对称轴左侧 在对称轴右侧
y=a(x+h)2+k a>0 向上 直线x= -h (-h,k) 最小值是k y随x的增大而 减小 y随x的增大而 增大
a<0 向下 直线x= -h (-h,k) 最大值是k y随x的增大而 增大 y随x的增大而 减小


◇教学反思◇
教师在学生探究真知之旅上应是一个促进者、协作者、组织者.要做善于点燃学生探究欲望和智慧火把的人,要善于让学生说教师要说的话,做教师想做的事,这就是一个成功的促进者.
数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.要彻底抛弃“唯书论”“唯师论”,与学生一起去探究协作,寻觅适合学生自己的真知才是最有效的教学.要开展成功的探究,教师要科学设置问题情景或问题素材,使探究的问题具有层次性和探究性,适时、适势、适度地用教学机制调控课堂.

第5课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

◇教学目标◇

【知识与技能】
掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程.
【情感、态度与价值观】
鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
【教学难点】
理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们已经知道了二次函数y=a(x+h)2+k的图象特点,那么二次函数y=-2x2-8x-7的图象有什么特点?
二、合作探究
探究点1　化二次函数y=ax2+bx+c为y=a(x+h)2+k的形式
典例1　用配方法把函数y=-3x2+6x+1化成y=a(x+h)2+k的形式,并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
[解析]　y=-3x2+6x+1=-3(x2-2x)+1=-3(x-1)2+4.
开口方向向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).


抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点坐标是
用配方法将一般式转化为顶点式的步骤是一提、二配、三整理.“提”就是提取二次项系数,使二次项系数变为1,注意不能像配方法解方程一样,两边同除以二次项系数;“配”就是配上一次项系数一半的平方,注意这里的一次项系数是在第一步提取了二次项系数后的一次项系数;“整理”就是将式子整理成y=a(x+h)2+k的形式(即顶点式).
探究点2　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
典例2　二次函数y=-x2+2kx+1(k<0)的图象可能是 (　　)

[解析]　函数y=-x2+2kx+1(k<0)的对称轴是x=-=k<0,得对称轴在y轴的左侧.当x=0时,y=1,图象与y轴的交点在x轴的上方,故A正确.
[答案]　A
典例3　若点A(2,y1),B(-3,y2),C(-1,y3)均在抛物线y=x2-4x-m的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　)
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2
[解析]　∵二次函数y=x2-4x-m中a=1>0,∴开口向上,对称轴为x=-=2.∵点A(2,y1)在对称轴上,∴y1最小.又∵B(-3,y2),C(-1,y3)都在对称轴的左侧,而在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故y2>y3.∴y2>y3>y1.
[答案]　C
【方法总结】当二次项系数a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.
典例4　已知二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值为2,则a的值为 (　　)
A.3 B.-1 C.4 D.4或-1
[解析]　∵二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值2,∴a>0,y最小值==2,整理,得a2-3a-4=0,解得a=-1或4.∵a>0,∴a=4.
[答案]　C
【技巧点拨】求二次函数的最大(小)值有三种方法:第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.
探究点3　二次函数图象与性质的应用
典例5　已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是 (　　)

A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0
C.ab<0,c>0 D.ab<0,c<0
[解析]　由图象可知,a<0,x=->0,c>0,所以ab<0,C正确.
[答案]　C
三、板书设计
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.化二次函数y=ax2+bx+c为y=a(x+h)2+k的形式
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
3.二次函数图象与性质的应用
◇教学反思◇
本节课研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,关键是通过配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x+h)2+k的形式.教学时,可以结合复习一元二次方程的知识,认识两者的相同与不同之处.注意让学生根据图象或利用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标.


*第6课时　二次函数表达式的确定

◇教学目标◇

【知识与技能】
1.掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的表达式的方法;
2.掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的表达式的方法.
【过程与方法】
体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力.
【情感、态度与价值观】
体验二次函数的表达式的应用,使学生认识数学的重要性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的表达式 .
【教学难点】
已知图象上三个点的坐标求二次函数的表达式;根据不同条件选择不同的方法求二次函数的表达式.
◇教学过程◇
一、情境导入
芳芳在平面直角坐标系画了一个二次函数的图象,该图象有如下三个特点:①开口向下;②顶点是原点;③过点(6,-6).你能确定该二次函数的表达式吗?
二、合作探究
探究点1　待定系数法求二次函数的表达式
典例1　已知二次函数经过(-1,10),(1,4),(2,7),求这个二次函数表达式.
[解析]　设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,∵二次函数y=ax2+bx+c过点(-1,10),(1,4),(2,7)三点解得所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.
变式训练　有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0,求这个二次函数表达式.
[解析]　设所求二次函数表达式为y=ax2+bx+c,由题意得解方程组得故所求二次函数表达式为y=x2+x-1.
典例2　已知抛物线的顶点为(-2,5),且点(1,-4)在抛物线上,求抛物线的表达式.
[解析]　∵抛物线的顶点坐标为(-2,5),∴可设抛物线的表达式为y=a(x+2)2+5.∵抛物线过点(1,-4),∴(1+2)2·a+5=-4,解得a=-1.∴所求抛物线的表达式为y=-(x+2)2+5.
变式训练　如图,抛物线的对称轴为y轴,求图中抛物线的表达式.

[解析]　∵抛物线上一点坐标为(0,3),∴可设抛物线表达式为y=ax2+3.∵抛物线上一点坐标为(1,1),∴1=a+3.解得a=-2.∴抛物线表达式为y=-2x2+3.
探究点2　求直线与抛物线的交点
典例3　直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是　　　　.?
[解析]　联立两函数的表达式有解方程组得则直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是(1,3),(-2,0).
变式训练　直线y=ax-6与抛物线y=x2+4x+3只有一个交点,则a=　　　　.?
[答案]　-2或10
三、板书设计
二次函数表达式的确定
1.待定系数法求二次函数的表达式
2.求直线与抛物线的交点
◇教学反思◇
本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a,b,c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a,b,c的三元一次方程组,求出三个待定系数a,b,c就可以写出二次函数的表达式.
教学过程中应让学生自主探索二次函数表达式的求法,让学生体会数学知识的价值,从而提高学习数学知识的兴趣.

21.3　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程

◇教学目标◇

【知识与技能】
掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系.
【过程与方法】
经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的联系.
【情感、态度与价值观】
进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用函数图象求一元二次方程的近似解.
【教学难点】
用数形结合的思想解方程.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系是h=gt2,那么,小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?
二、合作探究
探究点　一元二次方程与二次函数的关系
典例1　下列函数的图象与x轴只有一个交点的是 (　　)
A.y=x2+2x-3 B.y=x2+2x+3
C.y=x2-2x+3 D.y=x2-2x+1
[解析]　选项A中b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0,选项B中b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,选项C中b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0,选项D中b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点.
[答案]　D
典例2　二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是 (　　)
A.k<3 B.k<3且k≠0
C.k≤3 D.k≤3且k≠0
[解析]　∵二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,∴方程kx2-6x+3=0(k≠0)有实数根,即Δ=36-12k≥0,解得k≤3.由于是二次函数,故k≠0,则k的取值范围是k≤3且k≠0.
[答案]　D
【方法总结】二次函数y=ax2+bx+c,当b2-4ac>0时,图象与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图象与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图象与x轴没有交点.
变式训练　若抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点,则m的取值范围是 (　　)
A.m<-1 B.m<1
C.m>-1 D.m>1
[答案]　B
典例3　若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为 (　　)
A B
C D
[解析]　∵对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,∴-=2,解得b=-4.解方程x2-4x=5,得x1=-1,x2=5.
[答案]　D
【方法总结】本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解.
三、板书设计
二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与二次方程之间的关系:当y为某一确定值m时,相应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根.
2.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(x0,0),则x0是方程ax2+bx+c=0的根.
◇教学反思◇
猜想、探索和交流是本节重要的学习方法.在学习中学生也许会遇到不能理解“一元二次方程的根就是二次函数与y=m交点的横坐标”的情况,这些都需要教师恰当的启发、引导、纠正,但绝不要简单地代替.

第2课时　图象法求一元二次方程的近似解

◇教学目标◇

【知识与技能】
会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【过程与方法】
经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的联系.
【情感、态度与价值观】
进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
【教学难点】
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
◇教学过程◇
一、情境导入
作出二次函数y=x2-x-6的图象,根据图象回答下列问题:
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么?
(2)当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2-x-6=0有什么关系?
二、合作探究
探究点1　利用二次函数图象解一元二次方程
典例1　利用二次函数的图象求一元二次方程-x2+2x-3=-8的实数根(精确到0.1).

[解析]　在平面直角坐标系内作出函数y=-x2+2x-3的图象,如图.由图象可知方程-x2+2x-3=-8的根是抛物线y=-x2+2x-3与直线y=-8的交点的横坐标,左边的交点横坐标在-1与-2之间,另一个交点的横坐标在3与4之间.
(1)先求在-2和-1之间的根,利用计算器进行探索:
x -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 -1.5
y -6.41 -6.84 -7.29 -7.76 -8.25


因此x≈-1.4是方程的一个实数根.
(2)另一个根可以类似地求出:
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
y -6.41 -6.84 -7.29 -7.76 -8.25


x≈3.4是方程的另一个实数根.
【归纳总结】用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法:(1)作出函数的图象,并由图象确定方程解的个数;(2)由图象与y=h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围;(3)利用计算器求方程的实数根.
探究点2　借助二次函数图象确定一元二次不等式的解
典例2　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数值y>0时,x的取值范围是 (　　)

A.x<-1 B.x>3
C.-13
[解析]　由图可知,x<-1或x>3时,y>0.
[答案]　D
变式训练　已知二次函数y=x2-2x-1的图象如图所示,根据图中提供的信息,使得y≤2成立的x的取值范围是 (　　)

A.x≤-1或x≥3 B.-2≤x≤2
C.x≥-2 D.-1≤x≤3
[答案]　D
三、板书设计
图象法求一元二次方程的近似解
1.利用二次函数图象解一元二次方程
2.借助二次函数图象确定一元二次不等式的解
◇教学反思◇
学习这节内容要充分运用两种思想方法:
一、函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.
二、数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.
在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性质去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.
21.4　二次函数的应用
第1课时　图形面积的最值问题

◇教学目标◇

【知识与技能】
能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并理解顶点与最值的关系,通过对求面积最大值问题的探索总结,让学生掌握解决其他最值问题的方法与能力.
【过程与方法】
经历探索最大面积问题的过程,通过变式训练的阶梯螺旋理解,能够感悟用二次函数解决最值问题的实质,体会二次函数是解决最优化问题的模型.
【情感、态度与价值观】
通过学生之间的讨论、交流和探索,建立合作意识和提高探索能力,激发学习的兴趣和欲望,体会数学在生活中广泛的应用价值.
◇教学重难点◇
【教学重点】
利用二次函数求最值问题
【教学难点】
正确构建数学模型.
◇教学过程◇
一、情境导入
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔,我们来看这样一个生活中常见的问题:某广告公司设计一幅周长为8米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米.请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.
二、合作探究
探究点　用二次函数解决图形面积最优值
典例1　用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为y平方米.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米?
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.
[解析]　(1)y=x(16-x)=-x2+16x(0(2)当y=60时,-x2+16x=60,解得x1=10,x2=6.所以当x=10或6时,围成的养鸡场的面积为60平方米.
(3)方法一:当y=70时,-x2+16x=70,整理得x2-16x+70=0,由于Δ=256-280=-24<0,因此此方程无实数根,所以不能围成面积为70平方米的养鸡场;
方法二:y=-x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,y有最大值64,即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米,所以不能围成70平方米的养鸡场.
典例2　某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境:

请根据上面的信息,回答下列问题:
(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
[解析]　(1)设AB=x米,可得BC=69+3-2x=72-2x.
(2)小英说法正确;
矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648,
∵72-2x>0,∴x<36,∴0∴面积最大的不是正方形.
三、板书设计
图形面积的最值问题
1.解几何最值问题的一般步骤:
(1)列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.

2.与面积有关的函数与方程问题,可通过面积公式列出函数表达式或方程,再利用函数和方程的思想进行解答.
◇教学反思◇
本节课不仅是对前面所学知识的运用与巩固,也是二次函数这一章重点内容之体现.更是以后对求函数最值重要方法和工具,又是将实际问题转化为数学问题培养学生建模的一次尝试.
本节课的设计从内容上体现了数学的应用价值,问题的呈现符合学生的认知规律,组织形式突出了学生的主体地位,教师稍加点拨,适可而止,把更多的思考空间留给学生.突出学生的双基,三维目标能落实到位,希望能达到预期教学效果.

第2课时　抛物线形物体的二次函数问题

◇教学目标◇

【知识与技能】
通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关的实际问题.
【过程与方法】
掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切联系.
【情感、态度与价值观】
培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.
◇教学重难点◇
【教学重点】
根据具体情境建立适当的直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点.
【教学难点】
建立适当的直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数表达式.
◇教学过程◇
一、情境导入
某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示),大门的宽度为8米,两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,请你确定校门的高度是多少?

二、合作探究
探究点　拱桥、涵洞问题
典例　如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米.水面下降1米时,水面的宽度为　　　　米.?

[解析]　如图,建立直角坐标系,设这条抛物线为y=ax2,把点(2,-2)代入,得-2=a×22,a=-,∴y=-x2,当y=-3时,-x2=-3,x=±

[答案]　2
【技巧点拨】在解决呈抛物线形状的实际问题时,通常的步骤是:(1)建立合适的平面直角坐标系;(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标;(3)设出抛物线的表达式,并将点的坐标代入函数表达式,求出函数表达式;(4)利用函数表达式解决实际问题.
变式训练　如图,有一个抛物线的拱形立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长?

[解析]　由题意知抛物线的顶点坐标为(20,16),
∴可设抛物线的表达式为y=a(x-20)2+16.
∵点B(40,0)在抛物线上,∴a(40-20)2+16=0,∴a=-,∴y=-(x-20)2+16.
∵竖立柱柱脚的点为(15,0)或(25,0),
∴当x=15时,y=-(15-20)2+16=15;当x=25时,y=-(25-20)2+16=15.
∴铁柱应取15 m.
三、板书设计
抛物线形物体的二次函数问题
二次函数
的应用
◇教学反思◇
通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:首先,掌握利用二次函数知识解决最值问题;其次,会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、建立函数模型等问题;最后,发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.

第3课时　运动物体中的二次函数问题

◇教学目标◇

【知识与技能】
通过图形之间的关系列出函数表达式,会利用二次函数的知识解决面积最值问题.
【过程与方法】
用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题,感受数学的应用价值.
【情感、态度与价值观】
培养学生利用数学思想解决实际问题的能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题.
【教学难点】
通过图形之间的关系列出函数表达式,从现实问题中建立二次函数模型.
◇教学过程◇
一、情境导入
行驶中的汽车,在制动后由于汽车惯性,还要向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“制动距离”.为了测定某型号汽车的制动性能,对其进行了测试,测得数据如下表:
制动时车速/km·h-1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5


【问题1】请你以制动时车速的数据为横坐标(x值),制动距离的数据为纵坐标(y值),在直角坐标系中描出这些数据的点、连线,观察所画的函数的图象,你发现了什么?
【问题2】若把这个函数的图象看成是一条抛物线,你能求出此函数的表达式吗?
【问题3】现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故,现场测得制动距离为46.5 m,则交通事故发生时车速是多少?是否因超速(该公路最高时速为110 km/h)行驶导致了交通事故?
二、合作探究
探究点1　二次函数与高度问题
典例1　某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高米,与篮圈中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮圈距地面3米.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中?
(2)此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功?

[解析]　(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A,B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点.设二次函数表达式为y=a(x-h)2+k,将点A,B的坐标代入,可得y=-(x-4)2+4.将点C的坐标代入表达式,得左边=右边,即点C在抛物线上,所以此球一定能投中.
(2)将x=1代入表达式,得y=3.因为3.1>3,所以盖帽能获得成功.
探究点2　二次函数与刹车距离
典例2　已知某型汽车在干燥的路面上,汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.
速度v(km/h) 48 64 80 96 112 …
刹车距离s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 …


(1)请你以汽车刹车时的车速v为自变量,刹车距离s为函数,在如图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;

(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数表达式;
(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.
[解析]　(1)描点连线,画出函数的图象如下:

(2)图象可看成是一条抛物线,这个函数可看作二次函数.
(3)设所求函数表达式为s=av2+bv+c,
把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,
得解得
∴s=v2+v.
(4)当v=80时,v2+v=802+80=52.5,
∵s=52.5,∴s=v2+v.
当v=112时,v2+v=1122+112=94.5,
∵s=94.5,
∴s=v2+v,经检验,所得结论是正确的.
三、板书设计
运动物体中的二次函数问题

◇教学反思◇
本节课重点是如何利用二次函数建立数学模型,并利用二次函数的有关性质来解决实际问题.在本节课的教学过程中有两个难点:1.如何将情景中的已知条件转化为直角坐标系中有关点和线的问题.2.如何根据实际情景建立最有利于问题解决的直角坐标系.
为了解决上述两个问题,我做了这样的处理:设置课前练习,分散难点;设置分组讨论,让学生在集体讨论中体会直角坐标系的建立;将题目问题细化,降低题目难度.

21.5　反比例函数
第1课时　反比例函数的概念

◇教学目标◇

【知识与技能】
1.理解反比例函数的概念,能判断一个给定的函数是否为反比例函数;
2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式,体会函数的模型思想.
【过程与方法】
从现实情境和已有知识经验出发,经历抽象反比例函数的过程,让学生建立初步的符号感,发展学生的抽象思维能力.
【情感、态度与价值观】
通过创设情境让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程,养成用数学思维方式解决实际问题的习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
反比例函数的概念和应用.
【教学难点】
理解反比例函数的含义.
◇教学过程◇
一、情境导入
生活中许多科学问题与数学息息相关,比如我们平时使用的台灯,太暗了,可以调得亮一点,太刺眼了呢,可以调得柔和一些.这反映了电压、电流强度、电阻这三者之间的关系.这是物理中学习欧姆定律I=,I相当于y,U相当于k,R相当于x,y=,y是x的反比例函数,那么I是R的反比例函数吗?怎样的函数是反比例函数?
二、合作探究
探究点1　反比例函数的概念
典例1　下列函数中,能表示y是x的反比例函数的是 (　　)
A.x(y+2)=1 B.y=
C.y= D.y=x
[答案]　A
【知识归纳】一般地,表达式形如y=(k为常数,且k≠0)的函数叫做反比例函数.
变式训练　水池中蓄水90 m3,现用放水管以x(m3/h)的速度排水,经过y(h)排空,求y与x之间的函数表达式,y是x的反比例函数吗?
[解析]　由题意,得y=,y是x的反比例函数.
探究点2　确定反比例函数表达式
典例2　已知y是x的反比例函数,当x=-2时,y=-6.
(1)写出y与x的函数表达式;
(2)求当x=-4时y的值.
[解析]　(1)∵y是x的反比例函数,∴可设y=,
∵当x=-2时,y=-6,=-6,即k=12,∴y与x的函数表达式为y=
(2)当x=-4时,y=,即y=-3.
变式训练　已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,并且当x=1时y=4;当x=3时,y=5.求当x=4时,y的值.
解:∵y1与x成正比例,y2与x成反比例,可以设y1=kx,y2=又∵y=y1+y2,∴y=kx+把x=1,y=4代入上式,解得k=2.∴y=2x+当x=4时,y=2×4+
阅读上述解答过程,其过程是否正确?若不正确,请说明理由,并给出正确的解题过程.
[解析]　其解答过程是错误的.
∵正比例函数y1=kx与反比例函数y2=的k值不一定相等,故设y1=k1x,y2=
∵y=y1+y2,∴y=k1x+
把x=1,y=4;x=3,y=5分别代入上式,
解得:k1=,k2=
∴y=x+当x=4时,y=

用待定系数法解答反比例函数问题的步骤:(1)设反比例函数表达式;(2)代入已知点,求出未知系数k;(3)确定反比例函数表达式.
三、板书设计
反比例函数
反比例
函数
◇教学反思◇
在这节课中,我认为最成功之处是比较充分地调动了学生的积极性、主动性.通过让学生回忆正比例函数,然后引出与它相反的反比例函数,用它们的对比吸引了学生的注意力,充分引发了学生学习的兴趣.在课程设计中,将反比例函数用比较数学化的问题实际化,从实际出发又回到实际也是比较合理.
第2课时　反比例函数的图象和性质

◇教学目标◇

【知识与技能】
1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画反比例函数的图象;
2.能利用反比例函数的图象和性质解决有关问题.
【过程与方法】
1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,总结出它的性质.
2.探索反比例函数的图象的性质,体会并掌握用数形结合思想解决数学问题的方法.
【情感、态度与价值观】
调动学生的主观能动性,积极参与数学活动,培养合作、交流意识,提高观察、分析、抽象的能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
反比例函数的图象和性质.
【教学难点】
反比例函数图象的画法及其性质的归纳.
◇教学过程◇
一、情境导入
在现实生活中,人们发现了很多相反的物理现象,并巧妙地运用于生活中.如一般的温度计都是利用热胀冷缩的原理制成的,但在低温物理、航空技术和宇宙航行研究中采用的半导体温度计,是利用半导体的电阻随温度的升高而减小的特性制成的.压力一定时,受力面积越大,压强就越小,为减小压强,越野吉普车的车轮制作得比普通车的宽,等等.
所以古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德曾说过:给我一个支点,我可以移动地球.这句话对吗?它们反映了什么样的函数关系?
二、合作探究
探究点1　反比例函数的图象与性质
典例1　如图,曲线是反比例函数y=的图象的一支.

(1)图象另一支在第　　　　象限;?
(2)m的取值范围是　　　　;?
(3)点A(-2,y1),B(-1,y2)和C(1,y3)都在这个反比例函数图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　)
A.y1C.y1>y2>y3 D.y1[解析]　(1)由反比例函数的图象可知,函数图象一支位于第四象限,故可知另一支位于第二象限.(2)∵反比例函数的图象位于二、四象限,∴4-2m<0,解得m>2.(3)∵反比例函数的系数k<0,∴此函数的图象在二、四象限,∵-2<0,-1<0,1>0,∴(-2,y1),(-1,y2)在第二象限,(1,y3)在第四象限,∴y1>0,y2>0,y3<0,∵-2<-1,∴y2>y1>0,∴y3[答案]　(1)二;(2)m>2;(3)B.
探究点2　反比例函数的应用
典例2　快乐饮料公司为了吸引更多的孩子喝自己公司生产的“快乐”牌饮料,在不改变饮料体积的同时,改变不同大小的饮料包装瓶来吸引儿童的注意,从而增加其销量.已知饮料包装瓶为圆柱体,当它的高为15 cm时,底面积为40 cm2.
(1)求包装瓶高h(单位:cm)与底面积S(单位:cm2)之间的函数表达式;
(2)当高为20 cm时,求底面积S.
[解析]　(1)当圆柱体的体积不变时,它的底面积S与高h成反比例关系.
设h=(V≠0).把h=15,S=40代入,有15=,解得V=600,
所以圆柱体包装瓶高h(单位:cm)与底面积S(单位:cm2)之间的函数表达式为h=(S>0).
(2)把h=20代入h=,得20=,解得S=30,即底面积S为30 cm2.
【技巧点拨】利用函数思想解决实际问题的一般方法是把实际问题中的变量与变量之间的关系抽象为数学问题中的某种函数关系,如本题把实际问题中的具有反比例关系的量抽象为反比例函数的表达式,最后应用函数表达式解决问题.
变式训练　人的视觉机能受运动速度的影响很大,行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的,车速增加,视野变窄,当车速为50 km/h时,视野为80度.如果视野f(单位:度)是车速v(单位:km/h)的反比例函数.
(1)求f,v之间的表达式;
(2)计算当车速为100 km/h时视野的度数.
(3)若在某弯道行车时,由于环境的影响,视野的度数至少是100度,车速最多是多少km/h?请给出直观解释.
[解析]　(1)设f,v之间的表达式为f=(v≠0),
当v=50时,f=80,∴80=,解得k=4000,所以f=(v>0).
(2)当v=100时,f=40(度),当车速为100 km/h时视野的度数为40度.
(3)当f=100时,v=40(km/h).
∵k=4000>0,在第一象限内,f随着v的增大而减小,
∴当视野的度数至少是100度时,车速最多是40 km/h.


电流、电阻、密度、压强等都是物理学中常见的量,它们之间有许多存在着反比例关系,用数学中的反比例函数知识来解决物理问题,体现了数学和物理之间的密切联系.
常见的题型有:(1)当电路中的电压一定时,电流与电阻成反比例关系;(2)当做的功一定时,作用力与在力的方向上通过的距离成反比例关系;(3)当气体质量一定时,密度与体积成反比例关系;(4)当压力一定时,压强与受力面积成反比例关系.
三、板书设计
反比例函数的图象与性质

函数 图象 性质 分布 对称点
y= k>0 在每一个象限内y随x增大而减小 第一、三象限 原点
y= k<0 在每一个象限内y随x增大而增大 第二、四象限 原点


◇教学反思◇
本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.
第3课时　反比例函数的应用

◇教学目标◇

【知识与技能】
能用反比例函数的定义和性质解决相关的数学问题.
【过程与方法】
经历探索反比例函数与方程、不等式之间关系的过程,体会它们之间的内在的辩证关系.
【情感、态度与价值观】
进一步认识数形结合的思想和待定系数法.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.
【教学难点】
体会反比例函数与方程、不等式之间关系,认识数形结合的思想方法.
◇教学过程◇
一、情境导入
在反比例函数y=的图象上任取一点P,过这一点分别作x轴、y轴的平行线,平行线与坐标轴围成的矩形的面积是多少?矩形的面积会随着点P的变化而变化吗?

二、合作探究
探究点1　反比例函数与图形面积
典例1　在反比例函数y=的图象中,阴影部分的面积不等于4的是 (　　)

[解析]　A图形面积为|k|=4;B阴影是梯形,面积为6;C和D的面积均为两个三角形面积之和,为2=4.
[答案]　B
变式训练　如图,正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,BC⊥x轴于点C,则△ABC的面积为 (　　)

A.1 B.2 C D
[答案]　A
探究点2　一次函数与反比例函数的综合运用
典例2　已知点A(0,2)和点B(0,-2),点P在函数y=-的图象上,如果△PAB的面积是6,求P点的坐标.
[解析]　如图所示,不妨设P点的坐标为(x0,y0),过P作PC⊥y轴于C.

∵A(0,2),B(0,-2),∴AB=4.
又∵PC=|x0|,且S△PAB=6,|x0|·4=6,
∴|x0|=3,∴x0=±3.
又∵P(x0,y0)在y=-的图象上,∴当x0=3时,y0=-;当x0=-3时,y0=
∴P点的坐标为
【技巧点拨】通过三角形的面积建立关于x0的方程求解,同时在直角坐标系中,点到y轴的距离等于横坐标的绝对值,点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值.
变式训练　如图,已知直线y=ax+b经过点A(0,-3),与x轴交于点C,且与双曲线相交于B,D两点,点B的坐标为(-4,-a).
(1)求直线和双曲线的函数表达式;
(2)求△CDO(其中O为原点)的面积.

[解析]　(1)把A(0,-3),B(-4,-a)代入y=ax+b中,得解得a=-1,b=-3,∴y=-x-3.把B(-4,1)代入y=中,得k=-4,∴y=-,∴一次函数为y=-x-3,反比例函数为y=-
(2)由直线y=-x-3求得点C坐标为(-3,0),由可得点D坐标为(1,-4),∴S△COD=3×4=6.
三、板书设计
反比例函数的应用
1.反比例函数与图形面积
2.一次函数与反比例函数的综合运用
◇教学反思◇
鼓励学生从数学知识、数学方法及数学情感等方面交流体会,通过完成对比表,进一步对知识进行梳理.积极引导学生从探索过程中提炼出解决问题的思想方法.通过强化训练使学生加深对反比例函数的性质的理解与记忆,不断地完善新的认知结构.



21.6　综合与实践　获取最大利润

◇教学目标◇

【知识与技能】
探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.
【过程与方法】
经历探究二次函数最大(小)值问题的过程,体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.
【情感、态度与价值观】
感受数学与生活的密切联系.
◇教学重难点◇
【教学重点】
对销售中最大利润问题的理解并建立二次函数模型.
【教学难点】
从实际问题中抽象出二次函数模型.
◇教学过程◇
一、情境导入
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是20元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是35元时,销售量是600件,而单价每降低1元,就可以多销售200件.若设降价为x(20≤x≤35的整数)元,该商店所获利润为y元.请你帮助分析,销售单价是多少元时,可以获利最多?
你能运用二次函数的知识解决这个问题吗?
二、合作探究
探究点　利用二次函数求最大利润问题
典例　某商品的进价为每件40元,售价每件不低于60元且每件不高于80元.当售价为每件60元时,每个月可卖出100件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数表达式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)当每件商品定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元?
[解析]　(1)y=(x-40)[100+2(60-x)]=-2x2+300x-8800(60≤x≤80且x为整数).
(2)y=-2x2+300x-8800=-2(x-75)2+2450,
∵a=-2<0,∴当x=75时,y有最大值2450.
答:每件商品的售价定为75元时,每个月可获得最大利润,最大的月利润是2450元.
(3)当y=2250元时,-2x2+300x-8800=2250,解得x1=65,x2=85,
其中,x2=85不符合题意,舍去.
答:当每件商品的售价为65元时,每个月的利润恰为2250元.
变式训练　市化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克,价格为每千克30元,物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元.经市场调查发现,日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.
(1)求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式.
(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大利润是多少元?
[解析]　(1)设y=kx+b,
由题意得解得
∴y=-2x+200(30≤x≤60).
(2)w=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6450(30≤x≤60).
(3)w=-2(x-65)2+2000.
∵30≤x≤60且x是整数,
∴当x=60时,w有最大值,w最大=1950(元).
答:销售单价为60元时,该公司日获利最大,最大利润是1950元.


解这类商品利润问题要注意:
(1)建模　要明确表达式:商品销售利润=每件商品利润×销售件数是建立二次函数表达式的依据;
(2)用模　顶点横坐标在自变量的取值范围内时,二次函数在顶点处取得最值;顶点横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据题目条件,具体分析,才能求出符合题意的最值.
三、板书设计
获取最大利润
获取最
大利润
◇教学反思◇
在课堂上通过对一系列问题的解决与交流,让学生通过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法,学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题.
所以在例题的处理中适当地降低了难度,让学生的思维有一个拓展的空间,在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高,同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法.