第一讲 数的开方实数培优竞赛辅导（含答案）

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第一讲 数的开方，实数培优竞赛辅导
知识要点：
平方根
①定义：若x=a,则_____叫做_____的一个平方根。记作：x=______（a≥0）.
其中_______叫a的算术平方根。
②平方根的性质：一个正数的平方根有______个，它们互为_______；0的平方根是 ；负数 平方根；一个非负数的算术平方根是一个_____数。
立方根
①定义：若x=a，则______叫做_______的立方根，记x=______，
②立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根之和为_______。
即：,
3、实数：
无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．
______与数轴上的点一一对应．
任何有理数都可以表示为分数（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
注意：1、平方与开平方、立方与开立方互为逆运算。
2、相关公式： （）； = ； ； ； 。
3、三个非负数： ， ， （a≥0）。
平方根等于本身的数是 立方根等于本身的数是 ；
算术平方根等于本身的数是 ；
二、基础夯实
一．选择题
1、下列给出的“25的平方根是±5”的表达式中，正确的是（ ）
　 A． =±5 B． =﹣5 C． ±=±5 D． =5
2、下列说法正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个 B．一个非零数与它的立方根同号
C．若一个数有立方根，则它就有平方根 D．一个数的立方根是非负数
3、下列说法正确的是（ ）
A．数轴上任一点表示唯一的有理数 B．数轴上任一点表示唯一的无理数
C．两个无理数之和一定是无理数 D．数轴上任意两点之间都有无数个点
4、下列语句：①﹣1是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③无理数都是无限小数．④无限小数是无理数⑤的立方根是2．⑥（﹣2）2的算术平方根是2．⑦﹣125的立方根是±5．⑧有理数和数轴上的点一一对应．其中正确的有（ ）
　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
5、已知a、b是实数，下列命题结论正确的是（ ）
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞｜b｜，则a2＞b2
C．若｜a｜＞b，则a2＞b2 D．若a3＞b3，则a2＞b2
6、一个数的平方是4，这个数的立方是（ ）
　 A． 8 B． ﹣8 C． 8或﹣8 D． 4或﹣4
的算术平方根与的相反数的倒数的积是（ ）
A.﹣1 B.±1 C.-1 D.
8、一个立方体的体积是9，则它的棱长是（ ）
　 A． 3 B． 3 C． D．
9、如图,数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
10、如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )
A．－3 B．－2 C．－3＋ D．2＋
11、在实数、0、、3.1415、、、2.123122312223…,，，中，无理数的个数为（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
12、一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a?5，则x值为( )
A． 2 B．－3 C．9 D． -9
13、估算的值是在（　　）
　 A． 2与3之间 B． 3与4之间 C． 4与5之间 D． 5与6之间
14、数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（　　）
　 A． a﹣b B． a+b C． |a﹣b| D． |a+b|
15、若x2=（﹣3）2，y3﹣27=0，则x+y的值是（　　）
　 A． 0 B． 6 C． 0或6 D． 0或﹣6
16、使为最大的负整数，则a的值为（　　）
　 A. ±5 B． 5 C． ﹣5 D． 不存在
17、如果－b是a的立方根，则下列结论正确的是（ ）
A．－b3＝a B．－b＝a3 C．b＝a3 D．b3＝a
18、两个无理数的和，差，积，商一定是（　　）
　 A． 无理数 B． 有理数 C． 0 D． 实数
19、若（ ）
A、0 B、1 C、-1 D、2
20、实数的平方根为（　　）
　 A． a B． ±a C． ± D． ±
二．填空题
1、的平方根是_______，的算术平方根是 ，
的立方根是_______，的平方根为_____。
2、若与互为相反数，则=______。
3、若和互为相反数。则x+y=_______。
4、设、为实数，且，则的值是______
5、边长为的两个正方形拼成一个正方形的边长为
6、比较大小：，
7、若则x＝______．
8、若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，则x-y=_________．
9、的平方根与﹣的立方根的积为　_________　．
三．解答题
1、计算：﹣++．


2、已知x是 的整数部分，y是 的小数部分，求 的平方根．






培优 竞赛精例
【例1】、实数a,b,c在数轴上的位置如图，化简






【变式题组】
已知，化简：






【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于( ) A．－1 B． 0 C．1 D．2
【变式题组】
已知，求的值。






2、x，y，m适合不等式，试求的平方根。



【例3】若a为?2的整数部分，b?1是9的平方根，且，求a＋b的值．
【变式题组】
1、若3＋的小数部分是a，3?的小数部分是b，则a＋b的值为____．
2、-5的整数部分为a，小数部分为b，则（＋a）--b＝____．
3、已知M是满足不等式的所有整数a的和，N是满足不等式的最大整数．求M＋N的平方根．





【例4】若a、b都为有理效，且满足．求a＋b的平方根．．






【变式题组】
设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b＝21?5，则a＋b＝____．
（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．










数的开方培优竞赛检测
1、若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2、设，b＝ －2，，则a、b、c的大小关系是( )
A．a3、若为实数，在下列式子中，能使成立的是（ ）
A. B. C. D.
4、下列判断中正确的是（ ）.
（A）若　　 （B）若
（C）若　 （D）若
5、若-3，则的取值范围是( ).
（A） ＞3 （B） ≥3 （C） ＜3 （D） ≤3
6、当 _______时，+3有最大值，最大值是________
7、如图，直径为2的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1，如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．
8、若b＝＋＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求m，n．





9、已知a，b是有理数，并且满足等式5-a=2b+-a，求a，b的值


第一讲 数的开方，实数辅导答案
知识要点：
平方根
①定义：若x=a,则___x__叫做____a_的一个平方根。记作：x=______（a≥0）.
其中_______叫a的算术平方根。
②平方根的性质：一个正数的平方根有_两_____个，它们互为___相反数____；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根；一个非负数的算术平方根是一个非负数。
立方根
①定义：若x=a，则_x_____叫做___a____的立方根，记x=______，
②立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根之和为__0_____。
即：,
实数：
无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．
_实数_____与数轴上的点一一对应．
任何有理数都可以表示为分数（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
注意：1、平方与开平方、立方与开立方互为逆运算。
相关公式： a ；（）； = ；
a ； -a ；； a ；。
3、三个非负数： ， ， （a≥0）。
平方根等于本身的数是 0 立方根等于本身的数是 0，
算术平方根等于本身的数是 0，1
二、基础夯实
一．选择题
1、下列给出的“25的平方根是±5”的表达式中，正确的是（ C ）
　 A． =±5 B． =﹣5 C． ±=±5 D． =5
2、下列说法正确的是（ B ）
A．一个数的立方根有两个 B．一个非零数与它的立方根同号
C．若一个数有立方根，则它就有平方根 D．一个数的立方根是非负数
3、下列说法正确的是（ D ）
A．数轴上任一点表示唯一的有理数 B．数轴上任一点表示唯一的无理数
C．两个无理数之和一定是无理数 D．数轴上任意两点之间都有无数个点
4、下列语句：①﹣1是1的平方根．②带根号的数都是无理数．③无理数都是无限小数．④无限小数是无理数⑤的立方根是2．⑥（﹣2）2的算术平方根是2．⑦﹣125的立方根是±5．⑧有理数和数轴上的点一一对应．其中正确的有（ B ）
　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
5、已知a、b是实数，下列命题结论正确的是（ B ）
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞｜b｜，则a2＞b2
C．若｜a｜＞b，则a2＞b2 D．若a3＞b3，则a2＞b2
6、一个数的平方是4，这个数的立方是（ C ）
　 A． 8 B． ﹣8 C． 8或﹣8 D． 4或﹣4
的算术平方根与的相反数的倒数的积是（ C ）
A.﹣1 B.±1 C.-1 D.
8、一个立方体的体积是9，则它的棱长是（ D ）
　 A． 3 B． 3 C． D．
9、如图,数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有( C )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
10、如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( B )
A．－3 B．－2 C．－3＋ D．2＋
11、在实数、0、、3.1415、、、2.123122312223…,，，中，无理数的个数为（ B ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
12、一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a?5，则x值为( C )
A． 2 B．－3 C．9 D． -9
13、估算的值是在（　C　）
　 A． 2与3之间 B． 3与4之间 C． 4与5之间 D． 5与6之间
14、数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（　C　）
　 A． a﹣b B． a+b C． D． |a+b|
15、若x2=（﹣3）2，y3﹣27=0，则x+y的值是（　C　）
　 A． 0 B． 6 C． 0或6 D． 0或﹣6
16、使为最大的负整数，则a的值为（　A　）
　 A. ±5 B． 5 C． ﹣5 D． 不存在
17、如果－b是a的立方根，则下列结论正确的是（ A ）
A．－b3＝a B．－b＝a3 C．b＝a3 D．b3＝a
18、两个无理数的和，差，积，商一定是（　D　）
　 A． 无理数 B． 有理数 C． 0 D． 实数
19、若（ B ）
A、0 B、1 C、-1 D、2
20、实数的平方根为（　D　）
　 A． a B． ±a C． ± D． ±
二．填空题
1、的平方根是_______，的算术平方根是 14 ，
的立方根是_______，的平方根为_____。
2、若与互为相反数，则=__1____。
3、若和互为相反数。则x+y=____1___。
4、设、为实数，且，则的值是___
5、边长为的两个正方形拼成一个正方形的边长为 2
6、比较大小： > ， >
7、若则x＝_-1_____．
8、若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，则x-y=_27.5或1.5________．
9、的平方根与﹣的立方根的积为　_________　．
三．解答题
1、计算：﹣++．
答案：9

2、已知x是 的整数部分，y是 的小数部分，求 的平方根．
答案：9
培优 竞赛精例
【例1】、实数a,b,c在数轴上的位置如图，化简
答案：
EMBED Equation.KSEE3
原式=a


【变式题组】
已知，化简：
答案：5-2x





【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于( C ) A．－1 B． 0 C．1 D．2
【变式题组】
已知，求的值。
解：a-20210 a-2020+=a
所以=2020 a-2021=2020 =2020
2、x，y，m适合不等式，试求的平方根。

，的平方根为
【例3】若a为?2的整数部分，b?1是9的平方根，且，求a＋b的值．
解：由题可得a=2，b-1=3所以a=2，b=4或-2
因为所以a=2，b=4
所以a+b=6
【变式题组】
1、若3＋的小数部分是a，3?的小数部分是b，则a＋b的值为__1__．
2、-5的整数部分为a，小数部分为b，则（＋a）--b＝_1__．
3、已知M是满足不等式的所有整数a的和，N是满足不等式的最大整数．求M＋N的平方根．
解：M=2,N=2所以M＋N的平方根为。
【例4】若a、b都为有理效，且满足．求a＋b的平方根．．
解：任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵，
∴ 即，∴，
a ＋b＝12 ＋13＝25．
∴a＋b的平方根为：．

【变式题组】
设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b＝21?5，则a＋b＝_1或-11___．
（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．
解：由题可得




数的开方培优竞赛检测
1、若，则的值为（ B ）
A. B. C. D.
2、设，b＝ －2，，则a、b、c的大小关系是( C )
A．a3、若为实数，在下列式子中，能使成立的是（ C ）
A. B. C. D.
4、下列判断中正确的是（ D ）.
（A）若　　 （B）若
（C）若　 （D）若
5、若-3，则的取值范围是( B ).
（A） ＞3 （B） ≥3 （C） ＜3 （D） ≤3
6、当 ___0____时，+3有最大值，最大值是____6____
7、如图，直径为2的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1，如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是_2_π__．
8、若b＝＋＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求m，n．
答案：m=4，n=5
9、已知a，b是有理数，并且满足等式5-a=2b+-a，求a，b的值
答案：a=，b=







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