【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§4.4《探索三角形相似的条件》（原题卷）
一.选择题：（每小题5分 共25分）
1. 已知△ABC∽△A′B′C′且，则为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
2.下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A. ∠A=∠A′，∠B=∠B′
B. ∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°
C. ∠A=∠B，∠B′=∠A′
D. ∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′
3.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
二.填空题：（每小题5分 共25分）
6. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为______．
8.如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形_____________________________．(用相似符号连接)
9.如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
10.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
三.解答题（共50分）
11. 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的的最大边长为26，求的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．
12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
13.如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
14.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
15.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§4.4《探索三角形相似的条件》（解析卷）
一.选择题：（每小题5分 共25分）
1.已知△ABC∽△A′B′C′且，则为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
【答案】C
【解析】解：∵相似比=1；2，∴面积比=1：4．故选C．
2.下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A. ∠A=∠A′，∠B=∠B′
B. ∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°
C. ∠A=∠B，∠B′=∠A′
D. ∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′
【答案】C
【解析】解：A．若∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′；
B.∠C=∠C’=90°,∠A=12°,∠B’=78°,则∠A=12°,所以∠A=∠A’,∠C=∠C’,则可断定△ABC∽△A’B’C’.
C．若∠A=∠B，∠B′=∠A′，则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似；
D．若∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A﹣∠B=∠A′﹣∠B′，则∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′．
故选C．
3.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】（1）由AB∥CD可得△ABC∽△CDE；
（2）由AB∥EF可得△ABD∽△FED；
（3）由CD∥EF可得△ACD∽△AEF；
综上所述，在图中可确定有3对三角形相似.
故选C.
4.下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】（1）因为“有一个角为50°的两个等腰三角形”中，有可能是“一个等腰三角形的顶角为50°，另一个的底角为50°”，而此时这两个等腰三角形不相似，故①错误；
（2）因为“有一个角为100°的两个等腰三角形”中，100°的角只能是顶角，因此这两个三角形此时三个角都对应相等，所以它们一定相似；故②正确；
（3）因为“有一个锐角相等的两个直角三角形”中，加上“直角是相等的”，这样就有两个角相等了，因此这两个三角形一定相似，故③正确；
（4）因为“两个等边三角形”中，三个角都是对应相等的，因此这两个三角形一定相似，故④正确；
综上所述，有3个说法都是正确的.
故选C.
5.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
【答案】B
【解析】试题分析：设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选B．
二.填空题：（每小题5分 共25分）
6.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为______．
【答案】2：3
【解析】试题分析：根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2:3．
7.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为______．
【答案】4：1
【解析】试题解析：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，故答案为：4：1．
8.如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形_____________________________．(用相似符号连接)
【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE(答案不唯一)
【解析】(1)在△BDE和△CDF中
∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°
∴△BDE∽△CDF
(2)在△ABF和△ACE中
∵∠A=∠A,∠AFB=∠AEC=90°
∴△ABF∽△ACE
9.如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】AB∥DE
【解析】试题解析：答案不唯一，如
可添加
故答案为：
10.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
【答案】4或6
【解析】作出图形，然后分①点N在AC上，分AM和AB与AC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；②点N在BC上，求出BM，再分BM和AB与BC是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：如图所示，
①点N在AC上，若AM和AB是对应边， ∵△AMN∽△ABC， ∴，即， 解得MN=4， 若AM和AC是对应边， ∵△AMN∽△ACB， ∴，即， 解得MN=6； ②点N在BC上，BM=AB-AM=9-3=6， 若BM和AB是对应边， ∵△MBN∽△ABC， ∴，即， 解得MN=4， 若BM和BC是对应边， ∵△NBM∽△ABC， ∴，即， 解得MN=3， 综上所述，MN的长为3或4或6．
三.解答题（共50分）
11. 已知△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的的最大边长为26，求的另两条边的边长和周长以及最大角的度数．
【答案】90°．
【解析】试题分析：由题中条件可得三角形的相似比，进而可得其对应边的比，再由勾股定理逆定理可得三角形为直角三角形，即最大角为90°．
试题解析：解：∵△ABC的相似三角形的最大边长为26，即对应△ABC的对应最大边长13，所以对应边长的比值为2，所以另两边分别为10，24，故三角形的周长为10+24+26=60．
∵，∴三角形的最大角度为90°．
12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
【答案】详见解析.
【解析】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，
∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，
∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．
13.如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】试题分析：有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．
解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD．
14.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
【答案】（1）详见解析； （2）AE=8.
【解析】试题分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
试题解析：（1）证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴ ∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°，∴ ∠C＝180°－∠B．
∵ ∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴ ∠AFD＝180°－∠B，∴ ∠AFD＝∠C，∴ △ADF∽△DEC；
（2）在□ABCD中，CD＝AB＝8，∵ △ADF∽△DEC， ∴ ，∴ ，∴ DE＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，∴ AE⊥AD．在Rt△AED中，．
15.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【答案】167s或4s．
【解析】试题分析：首先设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
试题解析：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；
当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．
