24.2.2 直线和圆的位置关系课时作业（3）

24.2.2 直线和圆的位置关系课时作业（3）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.下列说法正确的是（　　）
A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．圆周角等于圆心角的一半
C．圆是中心对称图形 D．圆的对称轴是直径
2.如L是⊙O的切线，要判定AB⊥L，还需要添加的条件是（ ）A．AB经过圆心O B．AB是直径
C．AB是直径，B是切点 D．AB是直线，B是切点
3.已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（　　）
A．OP=5 B．OE=OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
4.如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（　　）
A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B
5.如图，AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连接CF，BF，下列结论中，不正确的是（　　）
A．∠F= B．AB⊥BF C．CE是⊙O的切线 D．
6.如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF⊥OA，交圆于B，P为EB上任一点，射线AP交圆于C，D为射线BF上一点，且DC=DP，下列结论：①CD为⊙O的切线；②PA＞PC；③∠CDP=2∠A，其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7.如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=﹣2x+与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
8.如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
（甲）以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
（乙）作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二、填空题
9.如图，点A、B、D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为　 　．
10.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为　 　．
11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=　 　cm时，BC与⊙A相切．
12.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为　 　秒．
14.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是　 　．（不添加其他字母和线条）
15.已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为　 　．
三、解答题
16.如图，CD是⊙O的直径，并且AC=BC，AD=BD．求证：直线AB是⊙O的切线．
17.如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？请说明理由．
18.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，MN过C点，AD⊥MN于D，AC平分∠DAB．求证：MN为⊙O的切线．
19.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线．
20.如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．
21.如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．
答案解析
一 、选择题
1.【考点】圆的认识；圆周角定理；切线的判定；中心对称图形
【分析】根据圆的有关性质确定、垂径定理对每一项分别进行判断，即可得出答案．
解：A． 垂直于半径的直线是圆的切线中，这条直线应经过此半径的外端，故错误；
B． 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，错误；
C． 圆是中心对称图形，正确；
D． 圆的对称轴是直径所在的直线，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，用到的知识点是圆的性质定理、垂径定理，需同学们熟练掌握．
2.【考点】切线的判定
【分析】根据圆的切线的判定方法“圆的切线垂直于经过切点的半径”，进行分析．解：根据切线的判定方法，则这里的AB是直径，且一端是切点．故选C．
3.【考点】切线的判定
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
解：∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
4.【考点】切线的判定
【分析】分别利用切线的判定进而得出得出∠BAT=90°，得出答案即可．
解：A、∵AB=4，AT=3，BT=5，
∴AB2+AT2=BT2，
∴△BAT是直角三角形，
∴∠BAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
B、∵∠B=45°，AB=AT，
∴∠T=45°，
∴∠BAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
C、∵AB为直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=35°，
∵∠TAC=55°，
∴∠CAT=90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
D、∠ATC=∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了切线的判定，正确把握判定方法得出∠BAT=90°是解题关键．
5.【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【分析】分别利用垂径定理以及圆周角定理和切线的判定方法分别分析得出即可．
解：A、∵半径OC经过AB的中点D，
∴=，
∴∠F=，故此结论正确，此选项错误；
B、由于F点不确定，无法得出AB⊥BF，故此选项正确；
C、∵半径OC经过AB的中点D，
∴CO⊥AB，
∵CE∥AB，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线，故此结论正确，不合题意；
D、由选项A得，=，故此结论正确，此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理和切线的判定方法等知识，正确把握相关性质是解题关键．
6.【考点】垂径定理；切线的判定
【分析】根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案．
解：∵DC=DP，
∴∠DPC=∠DCP，
∵∠DPC=∠APE，
∴∠DCP=∠APE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA；
∵∠OAC+∠APE=90°，
∴∠OCA+∠DCP=90°，
∴CD为⊙O的切线（①正确）；
②不一定；
连接CO，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCP=∠AOC．
∵∠DCP=（180°﹣2∠A），
又∵∠DCP=（180°﹣∠CDP），
∴180°﹣2∠A=180°﹣∠CDP，
∴∠CDP=2∠A，③正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的判定的理解及运用．
7.【考点】坐标与图形性质；切线的判定
【分析】如图所示，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，作出直线y=﹣2x+，令x=0求出y的值，确定出B的坐标，得到OB的长，令y=0求出x的值，确定出A的坐标，得到OA的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出斜边上的高OC，得到OC的长等于圆的半径1，可得出直线与圆相切．
解：如图所示，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，
对应直线y=﹣2x+，
令x=0，解得：y=；令y=0，解得：x=，
∴A（，0），B（0，），即OA=，OB=，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB==，
又S△AOB=AB?OC=OA?OB，
∴OC===1，又圆O的半径为1，
则直线y=﹣2x+与圆O的位置关系是相切．
故选：C．
【点评】此题考查了切线的性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，以及三角形的面积求法，其中切线的证明方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段长度等于半径，本题用的是第二种方法．
8.【考点】切线的判定；作图—复杂作图
【分析】（甲）由OP=BP，得出∠OBP=∠BOP，所以∠OBP≠90°，故（甲）错误；
（乙）根据线段的垂直平分线得出OB=PB，OM=PM，由已知条件OA=2AP，得出OM=OA=OB，从而得出∠BOP=∠BPO≠45°，即∠OBP≠90°，故（乙）错误；
解：（甲）如图1，∵以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，
∴OP=BP，
∴∠OBP=∠BOP，
∴∠OBP≠90°，
∴PB不是⊙O的切线，
∴（甲）错误；
（乙）如图2，∵作OP的中垂线，交圆O于B点，交OP于M，
∴OB=PB，OM=PM，
∵OA=2AP，
∴OM=OA=OB，
∴∠BOP=∠BPO≠45°，
∴∠OBP≠90°，
∴（乙）错误，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质以及直角三角形的判定等．
二 、填空题
9.【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定
【分析】先利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC=2∠A=50°，再求，∠OBC=180°﹣50°﹣40°=90°，可得结论．
解：∵∠BOC=2∠A=50°，∠OCB=40°，
∴在△OBC中，∠OBC=180°﹣50°﹣40°=90度．
∴直线BC与⊙O相切．
【点评】此题主要考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的判定．
10.【考点】切线的判定
【分析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．
解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC=90°．
【点评】此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．
【考点】切线的判定
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD=AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
【点评】本题考查了切线的判定．此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性质得到AB的长度的．
【考点】切线的判定
【分析】由PC=BC得到∠CPB=∠CBP，利用对顶角相等得∠APO=∠CPB，则∠CBP=∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°，加上∠A=∠ABO，所以∠CBP+∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理可得BC是⊙O的切线．
证明：∵PC=BC，
∴∠CPB=∠CBP，
而∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【考点】切线的判定；坐标与图形变化﹣平移
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故答案为2或10
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
【考点】切线的判定
【分析】根据切线的判定方法知，能使BD成为切线的条件就是能使OD垂直于DE的条件，从所有的条件中找到一个即可．
解：连接OD，
当DE与圆相切时，ED⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵AO=BO，
∴D是BC的中点．
故答案为：D是BC的中点．
【点评】本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．
【考点】待定系数法得出直线解析式，一次函数图象与几何变换，切线的判定
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m；
在Rt△OAB中，
AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD?AB=OA?OB，
∴OD?=×，
∵m＞0，解得OD=，
由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．
故答案为：m＜．
三 、解答题
【考点】切线的判定
【分析】欲证明AB是⊙O的切线，只要证明CD⊥AB即可；
证明：∵CA=CB，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∵CD是直径，
∴AB是⊙O的切线．
【点评】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
【考点】角平分线的性质；切线的判定
【分析】作PE⊥AB于E，如图，先根据角平分线定理得到PE=PD，然后根据切线的判定定理即可得到AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．
解：AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．理由如下：
作PE⊥AB于E，如图，
∵P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB于E，
∴PE=PD，
∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．
【考点】切线的判定
【分析】连接OC，如图，由OA=OC得到∠2=∠3，由AC平分∠DAB得到∠1=∠2，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，则OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到结论．
证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴直线MN为⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．
【考点】梯形；切线的判定
【分析】首先过点O作OE⊥CD于点E，易证得OE是梯形ABCD的中位线，可得OE=（AD+BC），又由AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O．可得OE等于⊙O的半径．
证明：过点O作OE⊥CD于点E，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥OE∥BC，
∵OA=OB，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
∴OE=（AD+BC），
∵AD+BC=AB，
∴OE=AB，
∵以AB为直径作⊙O．
∴直线CD是⊙O的切线．
【点评】此题考查了切线的判定以及梯形的中位线的性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【考点】复杂作图，角平分线的性质与作法，直线与圆的位置关系
【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；
（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．
解：（1）如图所示：
；
（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O与直线AC相切，
【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键．
【考点】直线与圆的位置关系；三角形中位线定理；垂径定理；切线的判定．
【分析】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；
（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切．
证明：连接OD、AD，
∵点D是的中点，
∴=，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．
（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，
由垂径定理可得：OH⊥BC， ==，
∴=，
∴DG=BC，
∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
∴OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH=8．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．