【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§4.5《相似三角形判定定理的证明》（原题卷）
一.选择题：（每小题5分 共25分）
1. 下列命题中是真命题的是( )
A. 有一个角相等的直角三角形都相似 B. 有一个角相等的等腰三角形都相似
C. 有一个角是120°的等腰三角形都相似 D. 两边成比例且有一角相等的三角形都相似
2. 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( )
A. ∠ADE＝∠C B. ∠AED＝∠B C. D.
3.下面两个三角形一定相似的是（ ）
A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形
C. 两个钝角三角形 D. 两个等边三角形
4.如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列表达式正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二.填空题：（每小题5分 共25分）
6. 如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP等于________．
7. 如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是________．
8.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于______
9.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于______
10.如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝______________时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．
三.解答题（共50分）
11. 已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
12. 如图，ABCD是平行四边形，点E在边BC延长线上，连AE交CD于点F，如果∠EAC=∠D，试问：AC?BE与AE?CD是否相等？
13.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.
(1)求证：△ACB∽△DCE；
(2)求证：EF⊥AB.
14. 如图，在△ABC和△ADE中， ，点B，D，E在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE.
15.如图，在△ABC中（∠B≠∠C），AB=8 cm，BC=16 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由.
【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§4.5《相似三角形判定定理的证明》（解析卷）
一.选择题：（每小题5分 共25分）
1. 下列命题中是真命题的是( )
A. 有一个角相等的直角三角形都相似 B. 有一个角相等的等腰三角形都相似
C. 有一个角是120°的等腰三角形都相似 D. 两边成比例且有一角相等的三角形都相似
【答案】C
【解析】试题解析：A. 有一个角（直角除外）相等的直角三角形都相似，故原命题错误；
B. 顶角相等的等腰三角形都相似，故原命题错误；
C. 有一个角是120°的等腰三角形都相似，正确；
D. 两边成比例且夹角相等的三角形都相似，故原命题错误.
故选C．
2. 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( )
A. ∠ADE＝∠C B. ∠AED＝∠B C. D.
【答案】C
【解析】试题解析：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当时，△ABC∽△AED．
故选D．
3.下面两个三角形一定相似的是（ ）
A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形
C. 两个钝角三角形 D. 两个等边三角形
【答案】D
【解析】试题解析：A．等腰三角形的角不一定相等，各边也不一定对应成比例，所以A不正确；
B．两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，所以B不正确；
C．两个钝角三角形的对应角不一定相等，各边也不一定对应成比例，所以C不正确；
D．两个等边三角形的各角度都为，各边对应相等，所以D正确．
故选D．
4.如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列表达式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△AED∽△ACB，∴，故选B．
5.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】试题解析：如图①，∠OAB=∠，∠AOB=∠时，△AOB∽△．
如图②，AO∥BC，BA⊥，则∠=∠OAB，故△AOB∽△；
如图③，∥OB，∠ABC3=，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；
如图④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，则△AOB∽△．
故选D．
二.填空题：（每小题5分 共25分）
6. 如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP等于________．
【答案】2∶1
【解析】试题解析：在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB．
∵BP=3PC，Q是CD的中点，
∴．
又∵∠ADQ=∠QCP=90°，
∴△ADQ∽△QCP，
∴，即AQ：QP=2：1．
7. 如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是________．
【答案】1.8
【解析】试题解析：∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，
∴CD=10，BC=6，DE=3．
∵△CBF∽△CDE，
∴BF：DE=BC：DC，
∴BF=6÷10×3=1.8．
8.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于______
答案：
解析：解答：∵∠ADO=∠ADO，∠DOA=∠DAE=90°，
∴△AOD∽△EAD，
∴=．
故答案为：．
9.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于
【答案】1：3．
【解析】试题分析：一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD
又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．
10.如图，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝______________时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．
【答案】 或
【解析】试题解析：∵四边形是正方形，
又∵与以为顶点的三角形相似，
∴①与是对应边时，
解得
②与 是对应边时,
解得
∴为或时，与以为顶点的三角形相似，
故答案为：或
三.解答题（共50分）
11. 已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
【答案】2.
【解析】试题分析：此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．
试题解析：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△的两边长分别为1，1.5，可以看出，△的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．
12. 如图，ABCD是平行四边形，点E在边BC延长线上，连AE交CD于点F，如果∠EAC=∠D，试问：AC?BE与AE?CD是否相等？
【答案】相等，理由见解析.
【解析】试题分析：要证明AC?BE=AE?CD，只要证明这4条线段所在的三角形相似即可，但直接找不到，利用相等的线段代换后，从条件可以得出4条线段所在三角形相似从而得出结论．此题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形求出线段比，从而转化为线段的积．
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，
∵∠EAC=∠D，
∴∠EAC=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△ACE∽△BAE，
∴AC：AE=AB：BE，
即AC?BE=AE?AB，
∵AB=CD，
∴AC?BE=AE?CD．
13.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.
(1)求证：△ACB∽△DCE；
(2)求证：EF⊥AB.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）从图中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，利用两边对应成比例且夹角相等，可证△ACB∽△DCE；
（2）由相似三角形的性质可知，∠B=∠E，可得∠B+∠A=∠E+A=90°，即∠EFA=90°，故EF⊥AB．
（1）证明：∵
∴=，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ACB∽△DCE；
（2）∵△ACB∽△DCE，
∴∠B=∠E，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠E+A=90°，
即∠EFA=90°，
∴EF⊥AB．
14. 如图，在△ABC和△ADE中， ，点B，D，E在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE.
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：由在△ABC和△ADE中，，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD=∠CAE，又由，即可证得：△ABD∽△ACE．
试题解析：证明：∵在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．
15.如图，在△ABC中（∠B≠∠C），AB=8 cm，BC=16 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由.
【答案】经过2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似.
试题解析：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=4xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当 ，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x=2；
②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x=0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
