第二十二章 相似形全章教案
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第22章 相似形
22.1 比例线段
第1课时 相似图形
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
【情感、态度与价值观】
在探索的学习过程中感受成功,建立自信,体验数学学习活动充满着探索与创造,交流与合作的乐趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解相似图形的对应角相等、对应边的比相等.
【教学难点】
能运用相似图形的性质解决问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
在一根象牙筷子上雕刻出一万多首唐诗,你能想象那是怎样的一种情形吗?也许你会说,那可能吗?
微雕大师们借助放大镜就能办到,其实在放大镜下的象牙筷和实际的象牙筷只是大小不同,而形状完全相同.
二、合作探究
探究点1 相似图形
典例1 如图,在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框,保证外框的边与原图形的对应边平行,则外框与原图一定相似的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 矩形不相似,因为其对应角的度数一定相同,但对应边的比值不一定相等,不符合相似的条件;锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似,因为其三个角均相等,三条边均对应成比例,符合相似的条件;正五边形相似,因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等,符合相似的条件.
[答案] C
变式训练 下面给出了一些关于相似的命题,其中真命题有 ( )
(1)菱形都相似;(2)等腰直角三角形都相似;(3)正方形都相似;(4)矩形都相似;(5)正六边形都相似.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] (1)所有菱形的对应角不一定相等,故菱形不一定都相似;(2)等腰直角三角形都相似,正确;(3)正方形都相似,正确;(4)矩形对应边比值不一定相等,故矩形不一定都相似;(5)正六边形都相似,正确,故符合题意的有3个.
[答案] C
探究点2 相似多边形
典例2 如图所示,给出的两个四边形是相似形,具体数据如图所示,求出未知边a、b的长度及角α的值.
[解析] 因为四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,所以∠B'=∠B=63°,∠D'=∠D,,所以,所以a=5,b=18.在四边形A'B'C'D'中,∠D'=360°-(84°+75°+63°)=138°.∠α=∠D=∠D'=138°.
【技巧点拨】若两个多边形相似,那么它们的对应角相等,对应边成比例.在书写两个多边形相似时,要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
变式训练 如图,一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板ABCD如图所示,镶在其外围的木质边框宽75 cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗?为什么?
[解析] 不相似.∵矩形ABCD中,AB=1.5 m,AD=3 m,镶在其外围的木质边框宽75 cm=0.75 m,∴EF=1.5+2×0.75=3 m,EH=3+2×0.75=4.5 m,,∴内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似.
【方法总结】判定两个多边形相似,需要对应角相等,对应边成比例,这两个条件缺一不可.
三、板书设计
相似图形
相似图形
◇教学反思◇
本节课主要是相似多边形的定义,这节课主要是让学生自学,将定义和相似比等概念进行理解记忆,通过与相似三角形的定义的对比,得到相似多边形的概念.
第2课时 比例线段
◇教学目标◇
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.
【情感、态度与价值观】
培养学生与他人交流、合作的意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
认识成比例的线段.
【教学难点】
理解成比例线段的概念.
◇教学过程◇
一、情境导入
再过一段时间,就要到五·一节了.今年,爸爸答应带小明去贵州黄果树风景区游玩.小明在一张1∶1000000的地图上找到他家与黄果树风景区的大体位置,他想知道从家里到贵州黄果树风景区的距离
是多少,可不知该怎么办.你能尝试着帮助小明来解决吗?
二、合作探究
探究点1 比例线段
典例1 下列各组中的四条线段成比例的是 ( )
A.4,2,1,3 B.1,2,3,5
C.3,4,5,6 D.1,2,2,4
[解析] 2×1≠3×4,故A错误;1×5≠2×3,故B错误;4×5≠3×6,故C错误;2×2=1×4,故D正确.
[答案] D
探究点2 比例中项
典例2 已知线段a=3 cm,b=4 cm,那么线段a,b的比例中项等于 cm.?
[解析] ∵线段a=3 cm,b=4 cm,∴线段a,b的比例中项==2 cm.
[答案] 2
变式训练 如果a=3,b=2,且b是a和c的比例中项,那么c= ( )
A.± B C D.±
[答案] C
探究点3 比例尺
典例3 在比例尺为1∶10000000的地图上,量的甲、乙两地的距离是30 cm,则两地的实际距离是 ( )
A.30 km B.300 km
C.3000 km D.30000 km
[解析] 设相距30 cm的两地实际距离为x cm,根据题意得1∶10000000=30∶x,解得x=300000000,∵300000000 cm=3000 km,∴相距30 cm的两地实际距离为3000 km.
[答案] C
变式训练 A,B两地的实际距离为3000 m,画在图上的距离A'B'=6 cm.求图上距离与实际距离的比.
[解析] ∵AB=3000 m=300000 cm,
∴A'B'∶AB=6∶300000=1∶5000.
【技巧点拨】比例尺=图上距离∶实际距离.根据比例尺进行计算时,要注意单位的转换.
三、板书设计
比例线段
比例线段
◇教学反思◇
本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握,不要过高要求学生掌握更多的内容.学生能了解性质,并能简单运用即可,重要的还是后续的相似三角形的学习,当相似三角形的特征掌握之后,再进一步研究相似多边形的性质,学生就比较容易掌握.
第3课时 比例的性质与黄金分割
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解比例的基本性质;
2.能根据比例的基本性质求比值,能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形;
3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
【过程与方法】
通过例题的学习,培养学生的灵活运用能力.
【情感、态度与价值观】
建立初步的空间观念,发展形象思维;并通过有趣的图形,培养学生学习数学的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
比例的基本性质.
【教学难点】
掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618;一些长方形的画框,宽与长之比也设计成0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关,你知道0.618这个比值的来历吗?
二、合作探究
探究点1 比例基本性质
典例1 如果四条线段a,b,c,d构成,m>0,则下面推理正确的有 ( )
;;;
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] ,m>0,;,m>0,,;错误;④设=k,则a=kb,c=kd,所以;综上所述,推理正确的有①②④.
[答案] C
变式训练 已知,求
[解析] 设=k,则x=2k,y=3k,z=4k.
遇到连等式时常利用设“k”法,即引进参数解题.具体步骤如下:
①设这些相等的比值为k;②转化为每个比的前项等于后项的k倍;③代入求有关比例式的值.
探究点2 黄金分割
典例2 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB长为20米,一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处,则下列结论一定正确的是 ( )
①AB∶AC=AC∶BC;②AC≈6.18米;③AC=10(-1)米;④BC=10(3-)米或10(-1)米.
A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.④
[解析] 若AC[答案] D
变式训练
如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内,点E是AB的黄金分割点,BE>AE,若AB=2a,则BE长为 ( )
A.(+1)a B.(-1)a
C.(3-)a D.(-2)a
[答案] B
三、板书设计
比例的性质与黄金分割
1.比例的基本性质
2.黄金分割
◇教学反思◇
本节课学习的黄金分割是一个新的概念,学生缺少这方面知识的积累,因此教学中在内容选择上,充分利用网络资源,选用大量图文作为背景,通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割,体现数学丰富的文化价值.同时,在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.
第4课时 平行线分线段成比例定理及推论
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论,并会灵活应用.
【过程与方法】
经历探索的活动过程,培养识图能力和推理论证能力.
【情感、态度与价值观】
发展学生的探索、归纳意识并养成合作交流的习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
【教学难点】
平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用,平行线分线段成比例定理的变式训练.
◇教学过程◇
一、情境导入
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行,且若AB=BC,则A1B1=B1C1,由此可以猜测:若两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等,这个猜测是真的吗?
二、合作探究
探究点1 平行线分线段成比例的基本事实
典例1
如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与直线a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,求BF的长.
[解析] ∵直线a∥b∥c,
又∵AC=4,CE=6,BD=3,
,即DF=4.5.
∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5.
变式训练 如图,已知DC∥EF∥GH∥AB,CB=30,且DE∶EG∶GA=1∶2∶3,求CF,FH,BH的长.
[解析] ∵DC∥EF∥GH∥AB,
∴CF∶FH∶BH=DE∶EG∶GA=1∶2∶3.
又CB=CF+FH+BH=30,
∴CF=5,FH=10,BH=15.
探究点2 三角形中的平行线分线段成比例
典例2
如图,在△ABC中,DF∥AC,DE∥BC.若AE=4,EC=2,BC=8,求BF和CF的长.
[解析] ∵DE∥BC,
∵DF∥AC,,
∴CF=BF=8-
变式训练 如图,已知在△ABC中,AE∶EB=CD∶CB=1∶3,AD与CE相交于点H,求的值.
[解析] 过点D作DF∥AB,交CE于点F,
∵CD∶CB=1∶3,
∴DF∶BE=1∶3,CF∶CE=1∶3,
又∵AE∶EB=1∶3,∴AE=DF,
∴DF∶AE=HF∶EH=1∶1,
设HF=EH=x,则EF=2x,CF=x,故可得
三、板书设计
平行线分线段成比例定理及推论
1.平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.
2.平行线分线段成比例的基本事实推论——三角形中的平行线分线段成比例.
◇教学反思◇
本节课宜采用探究式教学,教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者.教学过程中,应鼓励学生大胆探索,引导学生关注过程,及时肯定学生的表现,鼓励创新.
22.2 相似三角形的判定
第1课时 平行线与相似三角形
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并掌握三角形相似的判定定理.
【过程与方法】
经历观察、实验、猜想、证明的过程,培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学生积极参与,激发学生学习数学的兴趣,体验数学的探索与创造的快乐.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解三角形相似的判定定理.
【教学难点】
三角形相似的判定定理及应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
现有一块三角形玻璃ABC,不小心打碎了,只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃,能成功吗?
二、合作探究
探究点1 相似三角形的有关概念
典例1
如图,E是AD上的一点,△ABE∽△ADB,且,∠AEB=110°,∠A=40°.
(1)求∠ABD与∠D的度数;
(2)写出△ABE与△ADB的对应边成比例的比例式,并求出相似比.
[解析] (1)∵△ABE∽△ADB,
∴∠ABD=∠AEB=110°,∠D=∠ABE.
∵∠AEB=110°,∠A=40°,
∴∠ABE=30°,∴∠D=30°.
(2)∵△ABE∽△ADB,
变式训练
如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°.
求:(1)∠AED和∠ADE的度数;
(2)DE的长.
[解析] (1)因为△ABC∽△ADE,所以∠AED=∠ACB=40°.
在△ADE中,∠AED+∠ADE+∠A=180°,
即40°+∠ADE+45°=180°,所以∠ADE=95°.
(2)因为△ABC∽△ADE,所以,即,
所以DE==43.75(cm).
探究点2 探究相似三角形判定的基本定理
典例2
平行四边形ABCD中,M为对角线AC上一点,BM交AD于点N,交CD延长线于点E.试问图中有多少对不同的相似三角形?请尽可能多地写出来.
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴△BMC∽△NMA,△ABM∽△CEM,△ANB∽△DNE,△DNE∽△CBE,
∴△ANB∽△CBE,
还有△ABC≌△CDA(是特殊相似),
∴共有6对.
变式训练
如图,已知EF∥AC,GH∥AB,IK∥BC,写出图中所有和△DGF相似的三角形.
[解析] ①∵GH∥AB,∴∠B=∠DGF,∠BEF=∠GDF,
∴△GDF∽△BEF.
②∵GH∥AB,∴∠B=∠DGF,∠GDF=∠A.∴△GDF∽△BAC.
③∵EF∥AC,∴∠EFB=∠C,∠GDF=∠GHC,∴△GDF∽△GHC.
同理④△GDF∽△DHK.
⑤△GDF∽△IED.
⑥△GDF∽△IAK.
三、板书设计
平行线与相似三角形
1.定义判定:三个角对应相等,三边对应成比例的两三角形相似.
2.三角形相似的基本判定方法
判定预备定理:平行于三角形的一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
推理形式:如下图所示,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
涉及的基本图形(如图所示).
◇教学反思◇
感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的推理能力,培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.
第2课时 相似三角形的判定定理1
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握判定两个三角形相似的方法.
【过程与方法】
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力,感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法(AAS)的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解三角形相似的判定定理1——“两角对应相等,两个三角形相似”.
【教学难点】
三角形相似的判定定理1的运用.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察两副三角尺,其中同样角度(30°与60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的.如果两个三角形有两组角对应相等,它们一定相似吗?
二、合作探究
探究点1 相似三角形的判定定理1的证明
典例1 如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:△DEH∽△BCA.
[解析] ∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠D+∠DHE=∠B+∠BHF=90°,
而∠BHF=∠DHE,∴∠D=∠B.
又∵∠HED=∠C=90°,∴△DEH∽△BCA.
探究点2 利用相似三角形的判定定理1判定两三角形相似
典例2 在△ABC中,点D,E分别在AC,AB上,且满足∠ABD=∠ACE.
(1)找出图中存在的相似三角形,并简述理由;
(2)若将已知“∠ABD=∠ACE”改为“BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E”,图中存在几对相似三角形?请一一写出.
[解析] (1)∵∠ABD=∠ACE,∠A是公共角,
∴△ABD∽△ACE,
∵∠EFB=∠DFC,∴△BEF∽△CDF.
(2)两对.∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠AEC=∠ADB=90°,∠BEF=∠CDF=90°,
∵∠A=∠A,∠EFB=∠DFC,
∴△AEC∽△ADB,△BEF∽△CDF.
探究点3 相似三角形的判定定理1的应用
典例3 如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AB边上一点,且∠ADE=60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若BD=3,CE=2,求△ABC的边长.
[解析] (1)在△ABD中,∠ADC=∠B+∠BAD,又∠ADC=∠ADE+∠EDC,而∠B=∠ADE=60°,
∴∠BAD=∠CDE.
在△ABD和△DCE中,∠BAD=∠CDE,∠B=∠C=60°,
∴△ABD∽△DCE.
(2)设AB=x,则DC=x-3,
∵△ABD∽△DCE,
,,∴x=9.
即等边△ABC的边长为9.
【技巧点拨】本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”,解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等.
变式训练 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:△CDF∽△BGF;
(2)当点F是BC的中点时,过点F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6 cm,EF=4 cm,求CD的长.
[解析] (1)∵梯形ABCD,AB∥CD,
∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,
∴△CDF∽△BGF.
(2)∵△CDF∽△BGF,
又点F是BC的中点,BF=FC,
∴△CDF≌△BGF.∴DF=GF,CD=BG,
∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,
∴EF是△DAG的中位线.∴2EF=AG=AB+BG.
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2 cm,
∴CD=BG=2 cm.
三、板书设计
相似三角形的判定定理1
判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,简单地说:两角对应相等,两个三角形相似.
◇教学反思◇
本课教学力求使探究途径多元化,把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来,让学生充分感受探究的全面性,丰富探究的内涵.协同小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率,而且培养了学生的合作能力.
第3课时 相似三角形的判定定理2
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握三角形相似的判定定理2并熟练地运用.
【过程与方法】
经历观察、实验、猜想、证明的过程,培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
在合作、交流、探讨的学习氛围中,体验学习的快乐,树立学习的信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
掌握判定定理,会运用判定定理判定两个三角形相似.
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.
◇教学过程◇
一、情境导入
利用刻度尺和量角器画两个三角形,使它们的两条对应边成比例,并且夹角相等.量一量第三条对应边的长,计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等?你能得出什么结论?
二、合作探究
探究点1 探究相似三角形的判定定理2
典例1 如图,在△ABC与△DEF中,已知∠C=∠F,AC=3.5 cm,BC=2.5 cm,DF=2.1 cm,EF=1.5 cm.求证:△ABC∽△DEF.
[解析] ∵AC=3.5 cm,BC=2.5 cm,DF=2.1 cm,EF=1.5 cm,,又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF.
变式训练 如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为 时,△ADP和△ABC相似.?
[解析] 当△ADP∽△ACB时,,,解得AP=9.当△ADP∽△ABC时,,,解得AP=4,∴当AP的长度为4或9时,△ADP和△ABC相似.
[答案] 4或9
【技巧点拨】添加条件时,先明确已知的条件,再根据判定定理寻找需要的条件,对应本题可先假设两个三角形相似,再利用倒推法以及分类讨论解答.
探究点2 利用相似三角形的判定定理2判定两三角形相似
典例2 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AB,CB延长线上的点,CE=9,AD=15,连接DE.若BC=6,AC=8,求证:△ABC∽△DBE.
[解析] ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,∴AB==10,∴DB=AD-AB=15-10=5,∴DB∶AB=1∶2.又∵EB=CE-BC=9-6=3,∴EB∶BC=1∶2,∴EB∶BC=DB∶AB,又∵∠DBE=∠ABC,∴△ABC∽△DBE.
变式训练 如图,点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且,求DE的长.
[解析] ∵AE=1.5,AC=2,
,
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC
∵BC=3,∴DE=BC=3=
只有两边成比例的两个三角形不一定相似,如:两个等腰三角形就未必相似;两边成比例,且其中一边所对的角相等,这样的两个三角形不一定相似.
三、板书设计
相似三角形的判定定理2
1.三角形相似的判定定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.应用判定定理解决简单的问题.
◇教学反思◇
这节课主要采用动手实践,自主探索与合作交流的学习方法,使学生积极参与教学过程,在教学过程展开思维,培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力,进一步理解观察、类比、分析等数学思想方法,积累丰富的数学活动经验.
第4课时 相似三角形的判定定理3
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握三角形相似的判定定理3并熟练地运用.
【过程与方法】
经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合理推理能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力,形成推理、说明的科学态度.
◇教学重难点◇
【教学重点】
两个三角形相似的判定定理及其应用.
【教学难点】
三角形相似的条件归纳、证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
在如图所示的方格上任画一个三角形,再画第二个三角形,使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后,用量角器比较两个三角形的对应角,你发现了什么结论?
二、合作探究
探究点1 相似三角形的判定定理3的证明
典例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?
[解析] △ABC∽△EDF.
在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°,由勾股定理得AC==8.在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°,由勾股定理得ED==5.在△ABC和△EDF中,=2,=2,=2,所以,所以△ABC∽△EDF.
【技巧点拨】利用三边对应成比例判定两个三角形相似时,应说明三角形的三边对应成比例,而不是两边对应成比例.
变式训练 如图,已知,点B,D,F,E在同一条直线上,请找出图中的相似三角形,并说明理由.
[解析] △ABC∽△ADE,△BAD∽△CAE.
理由:,
∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
,,∴△BAD∽△CAE.
探究点2 利用判定定理3判定两三角形相似
典例2 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
[解析] △ABC和△DEF相似.
由勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,DE=4,DF=2,EF=2,
,
∴△ABC∽△DEF.
三、板书设计
相似三角形的判定定理3
1.定义:三边对应成比例的两个三角形相似.
2.应用.
◇教学反思◇
因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题,然后证明猜想的命题是否正确.课堂上教师主要还是以提问的形式,逐步引导学生去证明命题.
第5课时 直角三角形相似的判定
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.
【过程与方法】
类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.
【情感、态度与价值观】
培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.
◇教学重难点◇
【教学重点】
直角三角形相似定理的应用.
【教学难点】
了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.
◇教学过程◇
一、情境导入
判定两个直角三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法.类似地,判定两个直角三角形相似,除了前面一般三角形的三个判定定理外,是否也有特殊方法呢?
二、合作探究
探究点1 两个直角三角形相似的“斜边、直角边”或“HL”定理
典例1 如图,正方形ABCD边长为4,E,F分别是BC,CD上的两个动点(点E不与点B重合),∠AEF=90°,连接AE,AF,EF.
(1)试找出图中一定相似的三角形,简要证明过程;
(2)试找出图中不一定相似的三角形,并确定当其相似时点E所在的位置,简写推理过程;
(3)试找出图中一定不相似的三角形,简要说明理由.
[解析] (1)△ABE∽△ECF.
理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF.
(2)当BE=CE=2时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.
理由:∵△ABE∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,
∵BE=CE,∴AB∶AE=BE∶EF,
∵∠B=∠AEF=90°,∴△ABE∽△AEF,
同理:△AEF∽△ECF.
∴当BE=CE=2,即E是BC中点时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.
(3)△ABE不相似于△ADF,△ECF不相似于△ADF,△AEF不相似于△ADF.
∵∠AEF=90°,∴AF>AE,
∵∠B=∠D=90°,AB=AD,∴AB∶AD≠AE∶AF,∴△ABE不相似于△ADF.
同理:△ECF不相似于△ADF,△AEF不相似于△ADF.
探究点2 直角相似三角形的其他判定和性质综合应用
典例2 如图,已知△ACB与△DEF分别是以∠ACB与∠D为直角的等腰直角三角形,且点E在边AB上,DE刚好过C点,EF交CB于点G,求证:△ACE∽△BEG.
[解析] ∵△CAB与△DEF都是等腰直角三角形,∴∠A=∠B=∠DEF=∠F=45°,而∠CEB=∠DEF+∠FEB=∠A+∠ACE,∴∠ACE=∠FEB,∴△ACE∽△BEG.
典例3 已知:如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,△ADQ与△QCP是否相似?为什么?
[解析] ∵BP=3PC,Q是CD的中点,
,
又∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=∠D=90°,
在△ADQ与△QCP中,
∴△ADQ∽△QCP.
三、板书设计
直角三角形相似的判定
1.“HL”定理的内容
2.“HL”定理的应用
◇教学反思◇
本节课教学,主要是让学生在回顾相似三角形判定的基础上,进一步研究特殊的三角形相似的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.在教学过程中,让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法,一步步培养他们的逻辑推理能力.
22.3 相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系;
2.能灵活运用相似三角形的判定定理和性质.
【过程与方法】
在对性质定理的探究中,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
相似三角形性质定理的探究及应用.
【教学难点】
综合应用相似三角形的性质与判定定理,探索相似三角形中对应线段之间的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
为了响应建设节约型社会的号召,变废为宝,小明在爸爸的工厂找到了一块如图所示的三角形余料.经测量△ABC边BC=60厘米,高40厘米.他想把这个余料截一个正方形的奥运标语牌,使得正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.那么这个正方形的边长是多少呢?你能帮帮他吗?
二、合作探究
探究点1 与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质
典例1 已知两个三角形的相似比是1︰4,则它们的对应边上的中线比是 ,对应角的平分线的比是 .?
[解析] 根据相似三角形的性质定理1可直接写出结果,运用性质时,应注意对应关系,依据条件,恰当转化.要注意“对应”两字,不是对应的高线、中线、角平分线的比不等于相似比.
[答案] 1︰4;1︰4.
变式训练 顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是 ( )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
[答案] B
探究点2 相似三角形性质的应用
典例2 如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高线,矩形EFGH内接于△ABC,其长边FG在BC上,矩形相邻两边长的比为1∶2,AD交EH于点M,若BC=30 cm,AD=10 cm,求矩形EFGH的面积.
[解析] ∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥FG,即EH∥BC,∴∠AEH=∠B.又∵∠BAC=∠EAH,∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC,EH∥BC,∴AD⊥EH,从而可知MD=EF.∵矩形两邻边之比为1∶2.∴设EF=x cm,则EH=2x cm.由相似三角形对应高的比等于相似比得,解得x=6,∴EF=6 cm,EH=12 cm,∴S矩形EFGH=6×12=72(cm2).
三、板书设计
相似三角形的性质
1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形性质的应用.
◇教学反思◇
在本节课的教学过程中,先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等,对应边成比例,为后面的证明做了铺垫.在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知,让学生充分体会数学知识之间的内在联系,以此激发学生的学习兴趣,能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃.
第2课时 与相似三角形的周长、面积等有关的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,并能用来解决简单的问题.
【过程与方法】
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,体验化归思想.
【情感、态度与价值观】
经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
【教学难点】
掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质及有条理地表达与推理.
◇教学过程◇
一、情境导入
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结论.例如,在图中,△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形,相似比为k,其中AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高,那么AD,A'D'之间有什么关系?
二、合作探究
探究点1 相似三角形的周长比等于相似比
典例1 如图,△ABC和△EBD中,,若△ABC与△EBD的周长之差为10 cm,则求这两个三角形周长.
[解析] 设△ABC与△EBD的周长分别为p1,p2.
,
∴△ABC∽△EBD.即
又∵△ABC与△EBD的周长之差为10 cm,即p2=p1-10,
,解得p1=25,p2=p1-10=15,故△ABC的周长是25 cm,△EBD的周长是15 cm.
变式训练 已知△ABC与△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A',BC=6,AC=8,A'B'=20,则△A'B'C'的周长为 .?
[答案] 48
探究点2 相似三角形的面积比等于相似比的平方
典例2 已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.
[解析] 设△ABC的三边依次为:BC=5,AC=12,AB=13,
∵AB2=BC2+AC2,∴∠C=90°.
又∵△ABC∽△A'B'C',∴∠C'=∠C=90°,
又BC=5,AC=12,∴B'C'=10,A'C'=24.
∴S△A'B'C'=A'C'×B'C'=24×10=120.
变式训练 如图所示,平行四边形ABCD中,E是BC边上一点,且BE=EC,BD,AE相交于F点.
(1)求△BEF与△AFD的周长之比;
(2)若S△BEF=6 cm2,求S△AFD.
[解析] (1)∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,
∴△BEF∽△DAF.
又∵BE=BC,,∴△BEF与△AFD的周长之比为
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF,且相似比为,
,∴S△AFD=4S△BEF=4×6=24 cm2.
三、板书设计
相似三角形的性质
1.相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.
2.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
◇教学反思◇
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,通过探索让学生体验化归思想,学会应用相似三角形的性质来解决简单的问题.因此本课的教学设计应重点突出,探索从特殊到一般的过程,让学生深刻体验到数学归纳法的魅力.
22.4 图形的位似变换
第1课时 位似图形及性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质;
2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
【过程与方法】
经历画位似图形,探究位似变换对应点坐标间的关系,培养学生的作图能力,归纳探究的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生从特殊到一般地认识事物,获得数学的经验,激发学生探索知识的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
位似图形的有关概念、性质与作图.
【教学难点】
利用位似将一个图形放大或缩小.
◇教学过程◇
一、情境导入
生活中我们经常把自己看到的照片放大或缩小,由于没有改变图形的形状,我们得到的照片是真实的.
观察图中有多边形相似吗?如果有,那么这种相似有什么共同的特征?
二、合作探究
探究点1 判定是否是位似图形
典例1 下列3个图形中是位似图形的有 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
[解析] 根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行(或共线),所以位似图形是第一个和第三个.
[答案] C
【技巧点拨】判断两个图形是不是位似图形,首先要看它们是不是相似图形,再看它们对应顶点的连线是否交于一点.
探究点2 确定位似中心
典例2 找出下列图形的位似中心.
[解析] (1)连接对应点AE,BF,分别延长AE,BF,使AE,BF交于点O,点O就是位似中心.
(2)连接对应点AN,BM,延长AN,BM,使AN,BM的延长线交于点O,点O就是位似中心.
(3)连接AA',BB',AA',BB'的交点就是位似中心O.
探究点3 利用位似将一个图形放大或缩小
典例3 按要求画位似图形:
(1)图①中,以点O为位似中心,把△ABC放大到原来的2倍;
(2)图②中,以点O为位似中心,把△ABC缩小为原来的
[解析] (1)①连接OA,OB,OC;②分别延长OA至D,OB至E,OC至F,使AD=OA,BE=BO,CF=CO;③顺次连接D,E,F,∴△DEF是所求作的三角形.
(2)①连接OA,OB,OC;②作射线CP,在CP上取点M,N,Q使MN=NQ=CQ;③连接OM;④作NF∥OM交OC于点F;⑤再依次作EF∥BC交OB于点E,DE∥AB交OA于点D;⑥连接DF,∴△DEF是所求作的三角形.
【归纳总结】画位似图形的一般步骤为:
①确定位似中心;
②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;
③根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;
④顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.
探究点4 位似图形的实际应用
典例4 在放映电影时,我们需要把胶片上的图片放大到银幕上,以便人们欣赏.如图,点P为放映机的光源,△ABC是胶片上面的画面,△A'B'C'为银幕上看到的画面.若胶片上图片的规格是2.5 cm×2.5 cm,放映的银幕规格是2 m×2 m,光源P与胶片的距离是20 cm,则银幕应距离光源P多远时,放映的图象正好布满整个银幕?
[解析] 图中△A'B'C'是△ABC的位似图形,设银幕距离光源P为x m时,放映的图象正好布满整个银幕,则位似比为,解得x=16.即银幕距离光源P 16 m时,放映的图象正好布满整个银幕.
三、板书设计
位似图形及性质
位似图形
◇教学反思◇
在教学过程中,为了便于学生理解位似图形的特征,应注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识,然后通过归纳总结上升到理性认识,将形象与抽象有机结合,形成对位似图形的认识.教师应把学习的主动权充分放给学生,在每一环节及时归纳总结,使学生学有所获.
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.巩固位似图形及其有关概念;
2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律;
3.了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同,并能在复杂图形中找出这些变换.
【过程与方法】
会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握把一个图形按一定比例放大或缩小,体会数形结合的思想.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换.
【教学难点】
把一个图形按一定比例放大或缩小后,掌握点的坐标变化的规律.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察如图所示的坐标系.
试着发现坐标系中几个图形间的联系,然后自己作出一个类似的图形.
二、合作探究
探究点1 利用位似求点的坐标
典例1 线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD,则端点C的坐标为 ( )
A.(3,3) B.(3,3)或(-3,-3)
C.(-4,-1) D.(4,1)
[解析] ∵线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD,∴端点C的坐标为(3,3)或(-3,-3).
[答案] B
变式训练 △ABO的顶点坐标分别是A(-3,3),B(3,3),O(0,0),试将△ABO放大,使△ABO与△EFO的位似比为1:2,则点E和点F的坐标可能分别为 ( )
A.(-6,6),(6,6) B.(6,-6),(6,6)
C.(-6,6),(6,-6) D.(6,6),(-6,-6)
[答案] A
探究点2 在坐标系中画位似图形
典例2 在13×13的网格图中,已知△ABC和点M(1,2).
(1)以点M为位似中心,位似比为2,画出△ABC的位似图形△A'B'C';
(2)写出△A'B'C'的各顶点坐标.
[解析] (1)如图所示,△A'B'C'即为所求.
(2)△A'B'C'的各顶点坐标分别为A'(3,6),B'(5,2),C'(11,4).
【技巧点拨】画一个图形的位似图形时,位似中心的选择是任意的,这个点可以在图形的内部或外部或在图形上,对于具体问题要考虑画图方便且符合要求.
三、板书设计
平面直角坐标系中的位似变换
1.关于原点成位似的两个图形,若位似比是k,则原图形上的点(x,y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky).
2.在坐标系中画位似图形
◇教学反思◇
这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化,教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃,这样才能真正激发学生学习数学的兴趣,提高课堂学习效率.
22.5 综合与实践 测量与误差
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.进一步巩固相似三角形的知识;
2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度的一些实际问题.
【过程与方法】
经历分析实际问题中已知条件,建立数学模型,进而利用相似三角形知识解决问题.
【情感、态度与价值观】
体会数学和现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高用代数方法解决问题的能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
【教学难点】
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题).
◇教学过程◇
一、情境导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时的条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗?
二、合作探究
探究点1 测量物体高度
典例1 有一棵高大的松树,要测出它的高度,但不能爬到树上去,也不能将树砍倒,你能说出几种方法吗?说一说你的这些方法.
[解析] 方法一:如图,将一小木棒A'B'也立在阳光下,测量小木棒A'B'此时的影子长B'C'和树的影子长BC,测量小木棒A'B'的长,则易知△ABC∽△A'B'C',故有,所以AB=因为A'B',BC及B'C'都已经测量出来,从而可计算得到树高AB.
方法二:为了方便计算,还可将方法一改进一下,即不断测量小木棒的影长B'C',直到它与A'B'相等时,此时测量树的影长BC,则树高AB恰好等于此时的影长BC.
方法三:找一根比你身体高一点的木棒,将它竖直立在地上,你沿CE方向,从木棒DF的F处往后退到G点,使眼睛可以看到木棒顶端D与树尖A在同一条直线上,同时,测出水平方向与木棒DF和树AB的交点E,C,HG为眼睛离地面的高度.易知△HDE∽△HAC,从而,故AC=,
所以只要测出HC,DE,HE,就可以用上式求得AC,从而树高AB=AC+BC,这样,树高就可以求得了.
探究点2 测量河宽
典例2 为了测量一条河的高度,测量人员发现,该河两岸有一段是平行的,在河的一岸每隔4 m有一棵树,在河的另一岸每隔40 m有一根电线杆,你能想办法,测出河的宽度吗?
测量人员是这样做的:他们发现,站在离有树的河岸30 m处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有一棵树,利用相似三角形的知识计算河宽,请你帮助测量人员计算一下河宽.
[解析] 如图,点P为观测点,CD=40 m,AB=8 m,作PF⊥CD于点F,交AB于点E,则PE=30 m,
∵AB∥CD,
∴△PAB∽△PCD,
,即,
∴PF=150,∴EF=PF-PE=150-30=120(m).
答:河宽为120 m.
在解决某些不能直接度量的物体的高度或宽度等测量类问题时,可以借助其他物体间接测量,这时常常要构造相似三角形来解决.如测量旗杆的高度:
方法1:利用太阳光的影子.即如图1,让一名同学站立于旗杆的影子的末端D处,测出旗杆影长BD,再测出这名同学的高度C和影长BD,由于此时△ABD∽△CDE,即可求出旗杆高AB.
方法2:利用标杆.即如图2,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆,当旗杆的顶部、标杆的顶端与人的眼睛恰好在一条直线上时,分别测出观测者的脚到标杆底部的距离DE和到旗杆底部的距离BE,再测出标杆的高CD,利用相似三角形的知识即可求出旗杆的高AB.
方法3:利用镜子的反射.即如图3,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,当观测者看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时,测出观测者的脚到镜子的距离DM和旗杆底部到镜子的距离BM,再测出观测者的高CD,由于∠AMB=∠CMD,易得△AMB∽△CMD,即可求出旗杆高AB.
三、板书设计
测量与误差
1.利用相似三角形测量物体的高度.
2.利用相似三角形测量河的宽度.
◇教学反思◇
通过本节知识的学习,可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题,发展学生的应用意识,加深学生对相似三角形的理解和认识.基本达到了预期的教学目标,大部分学生都学会了建立数学模型,利用相似的判定和性质来解决实际问题.
22.1 比例线段
第1课时 相似图形
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.
【过程与方法】
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.
【情感、态度与价值观】
在探索的学习过程中感受成功,建立自信,体验数学学习活动充满着探索与创造,交流与合作的乐趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解相似图形的对应角相等、对应边的比相等.
【教学难点】
能运用相似图形的性质解决问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
在一根象牙筷子上雕刻出一万多首唐诗,你能想象那是怎样的一种情形吗?也许你会说,那可能吗?
微雕大师们借助放大镜就能办到,其实在放大镜下的象牙筷和实际的象牙筷只是大小不同,而形状完全相同.
二、合作探究
探究点1 相似图形
典例1 如图,在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框,保证外框的边与原图形的对应边平行,则外框与原图一定相似的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 矩形不相似,因为其对应角的度数一定相同,但对应边的比值不一定相等,不符合相似的条件;锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似,因为其三个角均相等,三条边均对应成比例,符合相似的条件;正五边形相似,因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等,符合相似的条件.
[答案] C
变式训练 下面给出了一些关于相似的命题,其中真命题有 ( )
(1)菱形都相似;(2)等腰直角三角形都相似;(3)正方形都相似;(4)矩形都相似;(5)正六边形都相似.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] (1)所有菱形的对应角不一定相等,故菱形不一定都相似;(2)等腰直角三角形都相似,正确;(3)正方形都相似,正确;(4)矩形对应边比值不一定相等,故矩形不一定都相似;(5)正六边形都相似,正确,故符合题意的有3个.
[答案] C
探究点2 相似多边形
典例2 如图所示,给出的两个四边形是相似形,具体数据如图所示,求出未知边a、b的长度及角α的值.
[解析] 因为四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似,所以∠B'=∠B=63°,∠D'=∠D,,所以,所以a=5,b=18.在四边形A'B'C'D'中,∠D'=360°-(84°+75°+63°)=138°.∠α=∠D=∠D'=138°.
【技巧点拨】若两个多边形相似,那么它们的对应角相等,对应边成比例.在书写两个多边形相似时,要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
变式训练 如图,一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板ABCD如图所示,镶在其外围的木质边框宽75 cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗?为什么?
[解析] 不相似.∵矩形ABCD中,AB=1.5 m,AD=3 m,镶在其外围的木质边框宽75 cm=0.75 m,∴EF=1.5+2×0.75=3 m,EH=3+2×0.75=4.5 m,,∴内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似.
【方法总结】判定两个多边形相似,需要对应角相等,对应边成比例,这两个条件缺一不可.
三、板书设计
相似图形
相似图形
◇教学反思◇
本节课主要是相似多边形的定义,这节课主要是让学生自学,将定义和相似比等概念进行理解记忆,通过与相似三角形的定义的对比,得到相似多边形的概念.
第2课时 比例线段
◇教学目标◇
【知识与技能】
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.
【过程与方法】
在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.
【情感、态度与价值观】
培养学生与他人交流、合作的意识.
◇教学重难点◇
【教学重点】
认识成比例的线段.
【教学难点】
理解成比例线段的概念.
◇教学过程◇
一、情境导入
再过一段时间,就要到五·一节了.今年,爸爸答应带小明去贵州黄果树风景区游玩.小明在一张1∶1000000的地图上找到他家与黄果树风景区的大体位置,他想知道从家里到贵州黄果树风景区的距离
是多少,可不知该怎么办.你能尝试着帮助小明来解决吗?
二、合作探究
探究点1 比例线段
典例1 下列各组中的四条线段成比例的是 ( )
A.4,2,1,3 B.1,2,3,5
C.3,4,5,6 D.1,2,2,4
[解析] 2×1≠3×4,故A错误;1×5≠2×3,故B错误;4×5≠3×6,故C错误;2×2=1×4,故D正确.
[答案] D
探究点2 比例中项
典例2 已知线段a=3 cm,b=4 cm,那么线段a,b的比例中项等于 cm.?
[解析] ∵线段a=3 cm,b=4 cm,∴线段a,b的比例中项==2 cm.
[答案] 2
变式训练 如果a=3,b=2,且b是a和c的比例中项,那么c= ( )
A.± B C D.±
[答案] C
探究点3 比例尺
典例3 在比例尺为1∶10000000的地图上,量的甲、乙两地的距离是30 cm,则两地的实际距离是 ( )
A.30 km B.300 km
C.3000 km D.30000 km
[解析] 设相距30 cm的两地实际距离为x cm,根据题意得1∶10000000=30∶x,解得x=300000000,∵300000000 cm=3000 km,∴相距30 cm的两地实际距离为3000 km.
[答案] C
变式训练 A,B两地的实际距离为3000 m,画在图上的距离A'B'=6 cm.求图上距离与实际距离的比.
[解析] ∵AB=3000 m=300000 cm,
∴A'B'∶AB=6∶300000=1∶5000.
【技巧点拨】比例尺=图上距离∶实际距离.根据比例尺进行计算时,要注意单位的转换.
三、板书设计
比例线段
比例线段
◇教学反思◇
本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握,不要过高要求学生掌握更多的内容.学生能了解性质,并能简单运用即可,重要的还是后续的相似三角形的学习,当相似三角形的特征掌握之后,再进一步研究相似多边形的性质,学生就比较容易掌握.
第3课时 比例的性质与黄金分割
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解比例的基本性质;
2.能根据比例的基本性质求比值,能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形;
3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
【过程与方法】
通过例题的学习,培养学生的灵活运用能力.
【情感、态度与价值观】
建立初步的空间观念,发展形象思维;并通过有趣的图形,培养学生学习数学的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
比例的基本性质.
【教学难点】
掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618;一些长方形的画框,宽与长之比也设计成0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关,你知道0.618这个比值的来历吗?
二、合作探究
探究点1 比例基本性质
典例1 如果四条线段a,b,c,d构成,m>0,则下面推理正确的有 ( )
;;;
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] ,m>0,;,m>0,,;错误;④设=k,则a=kb,c=kd,所以;综上所述,推理正确的有①②④.
[答案] C
变式训练 已知,求
[解析] 设=k,则x=2k,y=3k,z=4k.
遇到连等式时常利用设“k”法,即引进参数解题.具体步骤如下:
①设这些相等的比值为k;②转化为每个比的前项等于后项的k倍;③代入求有关比例式的值.
探究点2 黄金分割
典例2 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB长为20米,一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处,则下列结论一定正确的是 ( )
①AB∶AC=AC∶BC;②AC≈6.18米;③AC=10(-1)米;④BC=10(3-)米或10(-1)米.
A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.④
[解析] 若AC
变式训练
如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内,点E是AB的黄金分割点,BE>AE,若AB=2a,则BE长为 ( )
A.(+1)a B.(-1)a
C.(3-)a D.(-2)a
[答案] B
三、板书设计
比例的性质与黄金分割
1.比例的基本性质
2.黄金分割
◇教学反思◇
本节课学习的黄金分割是一个新的概念,学生缺少这方面知识的积累,因此教学中在内容选择上,充分利用网络资源,选用大量图文作为背景,通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割,体现数学丰富的文化价值.同时,在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.
第4课时 平行线分线段成比例定理及推论
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论,并会灵活应用.
【过程与方法】
经历探索的活动过程,培养识图能力和推理论证能力.
【情感、态度与价值观】
发展学生的探索、归纳意识并养成合作交流的习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
【教学难点】
平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用,平行线分线段成比例定理的变式训练.
◇教学过程◇
一、情境导入
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行,且若AB=BC,则A1B1=B1C1,由此可以猜测:若两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等,这个猜测是真的吗?
二、合作探究
探究点1 平行线分线段成比例的基本事实
典例1
如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与直线a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,求BF的长.
[解析] ∵直线a∥b∥c,
又∵AC=4,CE=6,BD=3,
,即DF=4.5.
∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5.
变式训练 如图,已知DC∥EF∥GH∥AB,CB=30,且DE∶EG∶GA=1∶2∶3,求CF,FH,BH的长.
[解析] ∵DC∥EF∥GH∥AB,
∴CF∶FH∶BH=DE∶EG∶GA=1∶2∶3.
又CB=CF+FH+BH=30,
∴CF=5,FH=10,BH=15.
探究点2 三角形中的平行线分线段成比例
典例2
如图,在△ABC中,DF∥AC,DE∥BC.若AE=4,EC=2,BC=8,求BF和CF的长.
[解析] ∵DE∥BC,
∵DF∥AC,,
∴CF=BF=8-
变式训练 如图,已知在△ABC中,AE∶EB=CD∶CB=1∶3,AD与CE相交于点H,求的值.
[解析] 过点D作DF∥AB,交CE于点F,
∵CD∶CB=1∶3,
∴DF∶BE=1∶3,CF∶CE=1∶3,
又∵AE∶EB=1∶3,∴AE=DF,
∴DF∶AE=HF∶EH=1∶1,
设HF=EH=x,则EF=2x,CF=x,故可得
三、板书设计
平行线分线段成比例定理及推论
1.平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.
2.平行线分线段成比例的基本事实推论——三角形中的平行线分线段成比例.
◇教学反思◇
本节课宜采用探究式教学,教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者.教学过程中,应鼓励学生大胆探索,引导学生关注过程,及时肯定学生的表现,鼓励创新.
22.2 相似三角形的判定
第1课时 平行线与相似三角形
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并掌握三角形相似的判定定理.
【过程与方法】
经历观察、实验、猜想、证明的过程,培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学生积极参与,激发学生学习数学的兴趣,体验数学的探索与创造的快乐.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解三角形相似的判定定理.
【教学难点】
三角形相似的判定定理及应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
现有一块三角形玻璃ABC,不小心打碎了,只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃,能成功吗?
二、合作探究
探究点1 相似三角形的有关概念
典例1
如图,E是AD上的一点,△ABE∽△ADB,且,∠AEB=110°,∠A=40°.
(1)求∠ABD与∠D的度数;
(2)写出△ABE与△ADB的对应边成比例的比例式,并求出相似比.
[解析] (1)∵△ABE∽△ADB,
∴∠ABD=∠AEB=110°,∠D=∠ABE.
∵∠AEB=110°,∠A=40°,
∴∠ABE=30°,∴∠D=30°.
(2)∵△ABE∽△ADB,
变式训练
如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°.
求:(1)∠AED和∠ADE的度数;
(2)DE的长.
[解析] (1)因为△ABC∽△ADE,所以∠AED=∠ACB=40°.
在△ADE中,∠AED+∠ADE+∠A=180°,
即40°+∠ADE+45°=180°,所以∠ADE=95°.
(2)因为△ABC∽△ADE,所以,即,
所以DE==43.75(cm).
探究点2 探究相似三角形判定的基本定理
典例2
平行四边形ABCD中,M为对角线AC上一点,BM交AD于点N,交CD延长线于点E.试问图中有多少对不同的相似三角形?请尽可能多地写出来.
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴△BMC∽△NMA,△ABM∽△CEM,△ANB∽△DNE,△DNE∽△CBE,
∴△ANB∽△CBE,
还有△ABC≌△CDA(是特殊相似),
∴共有6对.
变式训练
如图,已知EF∥AC,GH∥AB,IK∥BC,写出图中所有和△DGF相似的三角形.
[解析] ①∵GH∥AB,∴∠B=∠DGF,∠BEF=∠GDF,
∴△GDF∽△BEF.
②∵GH∥AB,∴∠B=∠DGF,∠GDF=∠A.∴△GDF∽△BAC.
③∵EF∥AC,∴∠EFB=∠C,∠GDF=∠GHC,∴△GDF∽△GHC.
同理④△GDF∽△DHK.
⑤△GDF∽△IED.
⑥△GDF∽△IAK.
三、板书设计
平行线与相似三角形
1.定义判定:三个角对应相等,三边对应成比例的两三角形相似.
2.三角形相似的基本判定方法
判定预备定理:平行于三角形的一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
推理形式:如下图所示,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
涉及的基本图形(如图所示).
◇教学反思◇
感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的推理能力,培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.
第2课时 相似三角形的判定定理1
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握判定两个三角形相似的方法.
【过程与方法】
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力,感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法(AAS)的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解三角形相似的判定定理1——“两角对应相等,两个三角形相似”.
【教学难点】
三角形相似的判定定理1的运用.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察两副三角尺,其中同样角度(30°与60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的.如果两个三角形有两组角对应相等,它们一定相似吗?
二、合作探究
探究点1 相似三角形的判定定理1的证明
典例1 如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:△DEH∽△BCA.
[解析] ∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠D+∠DHE=∠B+∠BHF=90°,
而∠BHF=∠DHE,∴∠D=∠B.
又∵∠HED=∠C=90°,∴△DEH∽△BCA.
探究点2 利用相似三角形的判定定理1判定两三角形相似
典例2 在△ABC中,点D,E分别在AC,AB上,且满足∠ABD=∠ACE.
(1)找出图中存在的相似三角形,并简述理由;
(2)若将已知“∠ABD=∠ACE”改为“BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E”,图中存在几对相似三角形?请一一写出.
[解析] (1)∵∠ABD=∠ACE,∠A是公共角,
∴△ABD∽△ACE,
∵∠EFB=∠DFC,∴△BEF∽△CDF.
(2)两对.∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠AEC=∠ADB=90°,∠BEF=∠CDF=90°,
∵∠A=∠A,∠EFB=∠DFC,
∴△AEC∽△ADB,△BEF∽△CDF.
探究点3 相似三角形的判定定理1的应用
典例3 如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AB边上一点,且∠ADE=60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若BD=3,CE=2,求△ABC的边长.
[解析] (1)在△ABD中,∠ADC=∠B+∠BAD,又∠ADC=∠ADE+∠EDC,而∠B=∠ADE=60°,
∴∠BAD=∠CDE.
在△ABD和△DCE中,∠BAD=∠CDE,∠B=∠C=60°,
∴△ABD∽△DCE.
(2)设AB=x,则DC=x-3,
∵△ABD∽△DCE,
,,∴x=9.
即等边△ABC的边长为9.
【技巧点拨】本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”,解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等.
变式训练 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:△CDF∽△BGF;
(2)当点F是BC的中点时,过点F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6 cm,EF=4 cm,求CD的长.
[解析] (1)∵梯形ABCD,AB∥CD,
∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,
∴△CDF∽△BGF.
(2)∵△CDF∽△BGF,
又点F是BC的中点,BF=FC,
∴△CDF≌△BGF.∴DF=GF,CD=BG,
∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,
∴EF是△DAG的中位线.∴2EF=AG=AB+BG.
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2 cm,
∴CD=BG=2 cm.
三、板书设计
相似三角形的判定定理1
判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,简单地说:两角对应相等,两个三角形相似.
◇教学反思◇
本课教学力求使探究途径多元化,把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来,让学生充分感受探究的全面性,丰富探究的内涵.协同小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率,而且培养了学生的合作能力.
第3课时 相似三角形的判定定理2
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握三角形相似的判定定理2并熟练地运用.
【过程与方法】
经历观察、实验、猜想、证明的过程,培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
在合作、交流、探讨的学习氛围中,体验学习的快乐,树立学习的信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
掌握判定定理,会运用判定定理判定两个三角形相似.
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.
◇教学过程◇
一、情境导入
利用刻度尺和量角器画两个三角形,使它们的两条对应边成比例,并且夹角相等.量一量第三条对应边的长,计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等?你能得出什么结论?
二、合作探究
探究点1 探究相似三角形的判定定理2
典例1 如图,在△ABC与△DEF中,已知∠C=∠F,AC=3.5 cm,BC=2.5 cm,DF=2.1 cm,EF=1.5 cm.求证:△ABC∽△DEF.
[解析] ∵AC=3.5 cm,BC=2.5 cm,DF=2.1 cm,EF=1.5 cm,,又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF.
变式训练 如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为 时,△ADP和△ABC相似.?
[解析] 当△ADP∽△ACB时,,,解得AP=9.当△ADP∽△ABC时,,,解得AP=4,∴当AP的长度为4或9时,△ADP和△ABC相似.
[答案] 4或9
【技巧点拨】添加条件时,先明确已知的条件,再根据判定定理寻找需要的条件,对应本题可先假设两个三角形相似,再利用倒推法以及分类讨论解答.
探究点2 利用相似三角形的判定定理2判定两三角形相似
典例2 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AB,CB延长线上的点,CE=9,AD=15,连接DE.若BC=6,AC=8,求证:△ABC∽△DBE.
[解析] ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,∴AB==10,∴DB=AD-AB=15-10=5,∴DB∶AB=1∶2.又∵EB=CE-BC=9-6=3,∴EB∶BC=1∶2,∴EB∶BC=DB∶AB,又∵∠DBE=∠ABC,∴△ABC∽△DBE.
变式训练 如图,点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且,求DE的长.
[解析] ∵AE=1.5,AC=2,
,
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC
∵BC=3,∴DE=BC=3=
只有两边成比例的两个三角形不一定相似,如:两个等腰三角形就未必相似;两边成比例,且其中一边所对的角相等,这样的两个三角形不一定相似.
三、板书设计
相似三角形的判定定理2
1.三角形相似的判定定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.应用判定定理解决简单的问题.
◇教学反思◇
这节课主要采用动手实践,自主探索与合作交流的学习方法,使学生积极参与教学过程,在教学过程展开思维,培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力,进一步理解观察、类比、分析等数学思想方法,积累丰富的数学活动经验.
第4课时 相似三角形的判定定理3
◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握三角形相似的判定定理3并熟练地运用.
【过程与方法】
经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合理推理能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力,形成推理、说明的科学态度.
◇教学重难点◇
【教学重点】
两个三角形相似的判定定理及其应用.
【教学难点】
三角形相似的条件归纳、证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
在如图所示的方格上任画一个三角形,再画第二个三角形,使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后,用量角器比较两个三角形的对应角,你发现了什么结论?
二、合作探究
探究点1 相似三角形的判定定理3的证明
典例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?
[解析] △ABC∽△EDF.
在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°,由勾股定理得AC==8.在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°,由勾股定理得ED==5.在△ABC和△EDF中,=2,=2,=2,所以,所以△ABC∽△EDF.
【技巧点拨】利用三边对应成比例判定两个三角形相似时,应说明三角形的三边对应成比例,而不是两边对应成比例.
变式训练 如图,已知,点B,D,F,E在同一条直线上,请找出图中的相似三角形,并说明理由.
[解析] △ABC∽△ADE,△BAD∽△CAE.
理由:,
∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
,,∴△BAD∽△CAE.
探究点2 利用判定定理3判定两三角形相似
典例2 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
[解析] △ABC和△DEF相似.
由勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,DE=4,DF=2,EF=2,
,
∴△ABC∽△DEF.
三、板书设计
相似三角形的判定定理3
1.定义:三边对应成比例的两个三角形相似.
2.应用.
◇教学反思◇
因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题,然后证明猜想的命题是否正确.课堂上教师主要还是以提问的形式,逐步引导学生去证明命题.
第5课时 直角三角形相似的判定
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.
【过程与方法】
类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.
【情感、态度与价值观】
培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.
◇教学重难点◇
【教学重点】
直角三角形相似定理的应用.
【教学难点】
了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.
◇教学过程◇
一、情境导入
判定两个直角三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法.类似地,判定两个直角三角形相似,除了前面一般三角形的三个判定定理外,是否也有特殊方法呢?
二、合作探究
探究点1 两个直角三角形相似的“斜边、直角边”或“HL”定理
典例1 如图,正方形ABCD边长为4,E,F分别是BC,CD上的两个动点(点E不与点B重合),∠AEF=90°,连接AE,AF,EF.
(1)试找出图中一定相似的三角形,简要证明过程;
(2)试找出图中不一定相似的三角形,并确定当其相似时点E所在的位置,简写推理过程;
(3)试找出图中一定不相似的三角形,简要说明理由.
[解析] (1)△ABE∽△ECF.
理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF.
(2)当BE=CE=2时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.
理由:∵△ABE∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,
∵BE=CE,∴AB∶AE=BE∶EF,
∵∠B=∠AEF=90°,∴△ABE∽△AEF,
同理:△AEF∽△ECF.
∴当BE=CE=2,即E是BC中点时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.
(3)△ABE不相似于△ADF,△ECF不相似于△ADF,△AEF不相似于△ADF.
∵∠AEF=90°,∴AF>AE,
∵∠B=∠D=90°,AB=AD,∴AB∶AD≠AE∶AF,∴△ABE不相似于△ADF.
同理:△ECF不相似于△ADF,△AEF不相似于△ADF.
探究点2 直角相似三角形的其他判定和性质综合应用
典例2 如图,已知△ACB与△DEF分别是以∠ACB与∠D为直角的等腰直角三角形,且点E在边AB上,DE刚好过C点,EF交CB于点G,求证:△ACE∽△BEG.
[解析] ∵△CAB与△DEF都是等腰直角三角形,∴∠A=∠B=∠DEF=∠F=45°,而∠CEB=∠DEF+∠FEB=∠A+∠ACE,∴∠ACE=∠FEB,∴△ACE∽△BEG.
典例3 已知:如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,△ADQ与△QCP是否相似?为什么?
[解析] ∵BP=3PC,Q是CD的中点,
,
又∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=∠D=90°,
在△ADQ与△QCP中,
∴△ADQ∽△QCP.
三、板书设计
直角三角形相似的判定
1.“HL”定理的内容
2.“HL”定理的应用
◇教学反思◇
本节课教学,主要是让学生在回顾相似三角形判定的基础上,进一步研究特殊的三角形相似的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.在教学过程中,让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法,一步步培养他们的逻辑推理能力.
22.3 相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系;
2.能灵活运用相似三角形的判定定理和性质.
【过程与方法】
在对性质定理的探究中,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦,树立学好数学的自信心.
◇教学重难点◇
【教学重点】
相似三角形性质定理的探究及应用.
【教学难点】
综合应用相似三角形的性质与判定定理,探索相似三角形中对应线段之间的关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
为了响应建设节约型社会的号召,变废为宝,小明在爸爸的工厂找到了一块如图所示的三角形余料.经测量△ABC边BC=60厘米,高40厘米.他想把这个余料截一个正方形的奥运标语牌,使得正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.那么这个正方形的边长是多少呢?你能帮帮他吗?
二、合作探究
探究点1 与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质
典例1 已知两个三角形的相似比是1︰4,则它们的对应边上的中线比是 ,对应角的平分线的比是 .?
[解析] 根据相似三角形的性质定理1可直接写出结果,运用性质时,应注意对应关系,依据条件,恰当转化.要注意“对应”两字,不是对应的高线、中线、角平分线的比不等于相似比.
[答案] 1︰4;1︰4.
变式训练 顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是 ( )
A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
[答案] B
探究点2 相似三角形性质的应用
典例2 如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高线,矩形EFGH内接于△ABC,其长边FG在BC上,矩形相邻两边长的比为1∶2,AD交EH于点M,若BC=30 cm,AD=10 cm,求矩形EFGH的面积.
[解析] ∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥FG,即EH∥BC,∴∠AEH=∠B.又∵∠BAC=∠EAH,∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC,EH∥BC,∴AD⊥EH,从而可知MD=EF.∵矩形两邻边之比为1∶2.∴设EF=x cm,则EH=2x cm.由相似三角形对应高的比等于相似比得,解得x=6,∴EF=6 cm,EH=12 cm,∴S矩形EFGH=6×12=72(cm2).
三、板书设计
相似三角形的性质
1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形性质的应用.
◇教学反思◇
在本节课的教学过程中,先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等,对应边成比例,为后面的证明做了铺垫.在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知,让学生充分体会数学知识之间的内在联系,以此激发学生的学习兴趣,能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃.
第2课时 与相似三角形的周长、面积等有关的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,并能用来解决简单的问题.
【过程与方法】
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,体验化归思想.
【情感、态度与价值观】
经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
【教学难点】
掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质及有条理地表达与推理.
◇教学过程◇
一、情境导入
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结论.例如,在图中,△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形,相似比为k,其中AD,A'D'分别为BC,B'C'边上的高,那么AD,A'D'之间有什么关系?
二、合作探究
探究点1 相似三角形的周长比等于相似比
典例1 如图,△ABC和△EBD中,,若△ABC与△EBD的周长之差为10 cm,则求这两个三角形周长.
[解析] 设△ABC与△EBD的周长分别为p1,p2.
,
∴△ABC∽△EBD.即
又∵△ABC与△EBD的周长之差为10 cm,即p2=p1-10,
,解得p1=25,p2=p1-10=15,故△ABC的周长是25 cm,△EBD的周长是15 cm.
变式训练 已知△ABC与△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A',BC=6,AC=8,A'B'=20,则△A'B'C'的周长为 .?
[答案] 48
探究点2 相似三角形的面积比等于相似比的平方
典例2 已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.
[解析] 设△ABC的三边依次为:BC=5,AC=12,AB=13,
∵AB2=BC2+AC2,∴∠C=90°.
又∵△ABC∽△A'B'C',∴∠C'=∠C=90°,
又BC=5,AC=12,∴B'C'=10,A'C'=24.
∴S△A'B'C'=A'C'×B'C'=24×10=120.
变式训练 如图所示,平行四边形ABCD中,E是BC边上一点,且BE=EC,BD,AE相交于F点.
(1)求△BEF与△AFD的周长之比;
(2)若S△BEF=6 cm2,求S△AFD.
[解析] (1)∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,
∴△BEF∽△DAF.
又∵BE=BC,,∴△BEF与△AFD的周长之比为
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF,且相似比为,
,∴S△AFD=4S△BEF=4×6=24 cm2.
三、板书设计
相似三角形的性质
1.相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.
2.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
◇教学反思◇
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方,通过探索让学生体验化归思想,学会应用相似三角形的性质来解决简单的问题.因此本课的教学设计应重点突出,探索从特殊到一般的过程,让学生深刻体验到数学归纳法的魅力.
22.4 图形的位似变换
第1课时 位似图形及性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质;
2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
【过程与方法】
经历画位似图形,探究位似变换对应点坐标间的关系,培养学生的作图能力,归纳探究的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生从特殊到一般地认识事物,获得数学的经验,激发学生探索知识的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
位似图形的有关概念、性质与作图.
【教学难点】
利用位似将一个图形放大或缩小.
◇教学过程◇
一、情境导入
生活中我们经常把自己看到的照片放大或缩小,由于没有改变图形的形状,我们得到的照片是真实的.
观察图中有多边形相似吗?如果有,那么这种相似有什么共同的特征?
二、合作探究
探究点1 判定是否是位似图形
典例1 下列3个图形中是位似图形的有 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
[解析] 根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行(或共线),所以位似图形是第一个和第三个.
[答案] C
【技巧点拨】判断两个图形是不是位似图形,首先要看它们是不是相似图形,再看它们对应顶点的连线是否交于一点.
探究点2 确定位似中心
典例2 找出下列图形的位似中心.
[解析] (1)连接对应点AE,BF,分别延长AE,BF,使AE,BF交于点O,点O就是位似中心.
(2)连接对应点AN,BM,延长AN,BM,使AN,BM的延长线交于点O,点O就是位似中心.
(3)连接AA',BB',AA',BB'的交点就是位似中心O.
探究点3 利用位似将一个图形放大或缩小
典例3 按要求画位似图形:
(1)图①中,以点O为位似中心,把△ABC放大到原来的2倍;
(2)图②中,以点O为位似中心,把△ABC缩小为原来的
[解析] (1)①连接OA,OB,OC;②分别延长OA至D,OB至E,OC至F,使AD=OA,BE=BO,CF=CO;③顺次连接D,E,F,∴△DEF是所求作的三角形.
(2)①连接OA,OB,OC;②作射线CP,在CP上取点M,N,Q使MN=NQ=CQ;③连接OM;④作NF∥OM交OC于点F;⑤再依次作EF∥BC交OB于点E,DE∥AB交OA于点D;⑥连接DF,∴△DEF是所求作的三角形.
【归纳总结】画位似图形的一般步骤为:
①确定位似中心;
②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;
③根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;
④顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.
探究点4 位似图形的实际应用
典例4 在放映电影时,我们需要把胶片上的图片放大到银幕上,以便人们欣赏.如图,点P为放映机的光源,△ABC是胶片上面的画面,△A'B'C'为银幕上看到的画面.若胶片上图片的规格是2.5 cm×2.5 cm,放映的银幕规格是2 m×2 m,光源P与胶片的距离是20 cm,则银幕应距离光源P多远时,放映的图象正好布满整个银幕?
[解析] 图中△A'B'C'是△ABC的位似图形,设银幕距离光源P为x m时,放映的图象正好布满整个银幕,则位似比为,解得x=16.即银幕距离光源P 16 m时,放映的图象正好布满整个银幕.
三、板书设计
位似图形及性质
位似图形
◇教学反思◇
在教学过程中,为了便于学生理解位似图形的特征,应注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识,然后通过归纳总结上升到理性认识,将形象与抽象有机结合,形成对位似图形的认识.教师应把学习的主动权充分放给学生,在每一环节及时归纳总结,使学生学有所获.
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.巩固位似图形及其有关概念;
2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律;
3.了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同,并能在复杂图形中找出这些变换.
【过程与方法】
会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握把一个图形按一定比例放大或缩小,体会数形结合的思想.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换.
【教学难点】
把一个图形按一定比例放大或缩小后,掌握点的坐标变化的规律.
◇教学过程◇
一、情境导入
观察如图所示的坐标系.
试着发现坐标系中几个图形间的联系,然后自己作出一个类似的图形.
二、合作探究
探究点1 利用位似求点的坐标
典例1 线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD,则端点C的坐标为 ( )
A.(3,3) B.(3,3)或(-3,-3)
C.(-4,-1) D.(4,1)
[解析] ∵线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD,∴端点C的坐标为(3,3)或(-3,-3).
[答案] B
变式训练 △ABO的顶点坐标分别是A(-3,3),B(3,3),O(0,0),试将△ABO放大,使△ABO与△EFO的位似比为1:2,则点E和点F的坐标可能分别为 ( )
A.(-6,6),(6,6) B.(6,-6),(6,6)
C.(-6,6),(6,-6) D.(6,6),(-6,-6)
[答案] A
探究点2 在坐标系中画位似图形
典例2 在13×13的网格图中,已知△ABC和点M(1,2).
(1)以点M为位似中心,位似比为2,画出△ABC的位似图形△A'B'C';
(2)写出△A'B'C'的各顶点坐标.
[解析] (1)如图所示,△A'B'C'即为所求.
(2)△A'B'C'的各顶点坐标分别为A'(3,6),B'(5,2),C'(11,4).
【技巧点拨】画一个图形的位似图形时,位似中心的选择是任意的,这个点可以在图形的内部或外部或在图形上,对于具体问题要考虑画图方便且符合要求.
三、板书设计
平面直角坐标系中的位似变换
1.关于原点成位似的两个图形,若位似比是k,则原图形上的点(x,y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky).
2.在坐标系中画位似图形
◇教学反思◇
这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化,教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃,这样才能真正激发学生学习数学的兴趣,提高课堂学习效率.
22.5 综合与实践 测量与误差
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.进一步巩固相似三角形的知识;
2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度的一些实际问题.
【过程与方法】
经历分析实际问题中已知条件,建立数学模型,进而利用相似三角形知识解决问题.
【情感、态度与价值观】
体会数学和现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高用代数方法解决问题的能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
【教学难点】
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题).
◇教学过程◇
一、情境导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时的条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗?
二、合作探究
探究点1 测量物体高度
典例1 有一棵高大的松树,要测出它的高度,但不能爬到树上去,也不能将树砍倒,你能说出几种方法吗?说一说你的这些方法.
[解析] 方法一:如图,将一小木棒A'B'也立在阳光下,测量小木棒A'B'此时的影子长B'C'和树的影子长BC,测量小木棒A'B'的长,则易知△ABC∽△A'B'C',故有,所以AB=因为A'B',BC及B'C'都已经测量出来,从而可计算得到树高AB.
方法二:为了方便计算,还可将方法一改进一下,即不断测量小木棒的影长B'C',直到它与A'B'相等时,此时测量树的影长BC,则树高AB恰好等于此时的影长BC.
方法三:找一根比你身体高一点的木棒,将它竖直立在地上,你沿CE方向,从木棒DF的F处往后退到G点,使眼睛可以看到木棒顶端D与树尖A在同一条直线上,同时,测出水平方向与木棒DF和树AB的交点E,C,HG为眼睛离地面的高度.易知△HDE∽△HAC,从而,故AC=,
所以只要测出HC,DE,HE,就可以用上式求得AC,从而树高AB=AC+BC,这样,树高就可以求得了.
探究点2 测量河宽
典例2 为了测量一条河的高度,测量人员发现,该河两岸有一段是平行的,在河的一岸每隔4 m有一棵树,在河的另一岸每隔40 m有一根电线杆,你能想办法,测出河的宽度吗?
测量人员是这样做的:他们发现,站在离有树的河岸30 m处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有一棵树,利用相似三角形的知识计算河宽,请你帮助测量人员计算一下河宽.
[解析] 如图,点P为观测点,CD=40 m,AB=8 m,作PF⊥CD于点F,交AB于点E,则PE=30 m,
∵AB∥CD,
∴△PAB∽△PCD,
,即,
∴PF=150,∴EF=PF-PE=150-30=120(m).
答:河宽为120 m.
在解决某些不能直接度量的物体的高度或宽度等测量类问题时,可以借助其他物体间接测量,这时常常要构造相似三角形来解决.如测量旗杆的高度:
方法1:利用太阳光的影子.即如图1,让一名同学站立于旗杆的影子的末端D处,测出旗杆影长BD,再测出这名同学的高度C和影长BD,由于此时△ABD∽△CDE,即可求出旗杆高AB.
方法2:利用标杆.即如图2,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆,当旗杆的顶部、标杆的顶端与人的眼睛恰好在一条直线上时,分别测出观测者的脚到标杆底部的距离DE和到旗杆底部的距离BE,再测出标杆的高CD,利用相似三角形的知识即可求出旗杆的高AB.
方法3:利用镜子的反射.即如图3,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,当观测者看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时,测出观测者的脚到镜子的距离DM和旗杆底部到镜子的距离BM,再测出观测者的高CD,由于∠AMB=∠CMD,易得△AMB∽△CMD,即可求出旗杆高AB.
三、板书设计
测量与误差
1.利用相似三角形测量物体的高度.
2.利用相似三角形测量河的宽度.
◇教学反思◇
通过本节知识的学习,可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题,发展学生的应用意识,加深学生对相似三角形的理解和认识.基本达到了预期的教学目标,大部分学生都学会了建立数学模型,利用相似的判定和性质来解决实际问题.