周滚动练(21.1~21.2第4课时)
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列函数表达式中,y关于x的二次函数是 (C)
A.y=ax2-1 B.y=ax2+bx+c
C.y=x2-1 D.y=x2+
2.二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点 (A)
A.(2,4) B.(-2,-4)
C.(-4,2) D.(4,-2)
3.抛物线y=--3的顶点坐标是 (B)
A. B.
C. D.
4.把抛物线y=-2x2,先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到的函数表达式是 (D)
A.y=-2(x+1)2+1 B.y=-2(x+1)2-1
C.y=-2(x-1)2+1 D.y=-2(x-1)2-1
5.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是 (C)
6.若二次函数y=-x2的图象与直线y=-2相交于点A(x1,-2)和B(x2,-2),则x1+x2的值是 (B)
A.1 B.0
C.-1 D.-2
7.(益阳中考)若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 (B)
A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-1
8.如图,四边形ABCD中,AD=8 cm,AB=4 cm,BC=3 cm,∠A=30°,点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AD向点D运动,到达点D停止;同时点Q从点A出发,以1 cm/s的速度沿AB-BC向点C运动,到达点C停止.设△APQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是 (D)
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质 如:①图象都是抛物线;②开口向上;③都有最低点(或最小值);④与y轴交点均为(0,1)(答案不唯一) .(写出一个即可)?
10.小张同学说出了二次函数的两个条件:(1)当x<1时,y随x的增大而增大;(2)函数图象经过点(-2,4).则符合条件的二次函数表达式可以是 y=-(x-2)2+20(答案不唯一) .?
11.如图,李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD,用篱笆围成的另外三边总长为24 m,设BC的长为x m,矩形的面积为y m2,则y与x之间的函数表达式为 y=-x2+12x .?
12.若点A(0,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=(x+2)2-9的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是 y2三、解答题(共52分)
13.(8分)把二次函数y=(2x+3)(1-x)-3化为y=ax2+bx+c的形式,并分别指出二次项、一次项和常数项.
解:y=(2x+3)(1-x)-3=2x-2x2+3-3x-3=-2x2-x.
二次项是-2x2,一次项是-x,常数项是0.
14.(10分)已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,求m的取值范围.
解:(1)由题意得m2-m=0且m-1≠0,则m=0,
即当m=0时,这个函数是一次函数.
(2)由题意得m2-m≠0,即当m≠0且m≠1时,这个函数是二次函数.
15.(10分)已知某二次函数的图象是由二次函数y=2x2的图象平移后得到的,并且该二次函数的对称轴是直线x=1,同时该二次函数的图象经过点(3,2),求这个二次函数的表达式.
解:依题意,设该二次函数为y=2(x-1)2+b,
把点(3,2)代入,得2=2×(3-1)2+b,
解得b=-6.
故该二次函数的解析式为y=2(x-1)2-6.
16.(12分)如图所示的抛物线是由抛物线y=-x2经过平移而得到.这时抛物线过原点O和x轴正半轴上一点A,顶点为P,∠OPA=90°.
(1)求抛物线的顶点P的坐标及抛物线的表达式;
(2)求抛物线对应的二次函数在-≤x≤时的最大值和最小值.
解:(1)由题意可设y=-(x-a)2+b(a>0),
∵抛物线过点(0,0),代入得0=-a2+b,
∴b=a2,y=-(x-a)2+a2.
过点P作PM⊥x轴于点M,则OM=a,PM=a2.
∵P是抛物线顶点,∠OPA=90°,
∴PO=PA,∴OM=AM=PM,
∴a2=a,解得a=1或a=0(舍去),
∴P(1,1),抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1=-x2+2x.
(2)∵由(1)可知抛物线的顶点P(1,1),表达式为y=-(x-1)2+1,
∴抛物线的对称轴是直线x=1,
又∵抛物线开口向下,
∴当-∴当x=时,y最大=-+2×;
当x=-时,y最小=--2×=-.
17.(12分)如图,已知二次函数y=a(x-h)2+2的图象经过点O(0,0),A(4,0).
(1)写出该函数图象的对称轴.
(2)若抛物线上一点A'与点O,A构成了一个等边三角形,试判断点A'是否为该函数图象的顶点?
解:(1)设线段OA的中点为C,则C点坐标为(2,0),
∴二次函数的对称轴为直线x=2.
(2)由(1)可知h=2,∴二次函数的顶点坐标为(2,2),
过点A'作A'E'⊥OA,交OA于点E',
∵△OAA'为等边三角形,
∴OE'=2,A'E'=2,即A'(2,2),
∴点A'为该函数图象的顶点.
21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2的图象
1.二次函数y=6x2的图象是 (C)
A.线段 B.直线
C.抛物线 D.射线
2.二次函数y=x2的图象是一条抛物线,它的开口向 上 ,它的对称轴为 y轴 ,它的顶点坐标为 (0,0) .?
3.画出二次函数y=-x2的图象.
解:如图所示:
知识点2 二次函数y=ax2的性质
4.抛物线y=-5x2不具有的性质是 (C)
A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.与y轴不相交 D.顶点在原点
5.已知点A(-2,y1)和点B(-4,y2)都在二次函数y=-x2的图象上,则y1 > y2.(填“>”或“=”或“<”)?
6.点A(2,-4)在函数y=ax2的图象上,则点A在该图象上关于对称轴对称的点的坐标是 (-2,-4) .?
综合能力提升练
7.抛物线y=x2,y=-3x2,y=-x2,y=2x2的图象开口最大的是 (A)
A.y=x2 B.y=-3x2
C.y=-x2 D.y=2x2
8.正方形面积S m2与边长t m之间的函数关系可用下图中的哪个来表示 (B)
9.若ab<0,则函数y=ax2和y=ax+b在同一坐标系中的图象可能是 (B)
10.已知点,(-2,y2),(3,y3)都在抛物线y=ax2(a>0)上,则 (A)
A.y1B.y2C.y3D.y211.(玉林中考)抛物线y=x2,y=x2,y=-x2的共同性质是:①都是开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以y轴为对称轴;④都关于x轴对称.其中正确的个数是 (B)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
12.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为 k>-1 .?
13.如图所示,在同一坐标系中,作出下列函数的图象:①y=4x2;②y=x2;③y=x2.则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 ①③② .(填序号)?
14.(宜宾中考)如图,边长为2的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部分.则图中阴影部分的面积是 2 .?
15.已知抛物线y=ax2经过点A(3,-18).
(1)求抛物线的表达式.
(2)当x为何值时,y随x的增大而减小?
(3)当x为何值时,y有最大(小)值,是多少?
解:(1)由已知可得-18=a×32,解得a=-2,
∴抛物线的表达式为y=-2x2.
(2)当x>0时,y随x的增大而减小.
(3)当x=0时,它有最大值0.
16.(1)在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2,y=-x2,y=3x2,y=-3x2的图象;
(2)观察图象,并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴;
(3)说出各图象中的最高点或最低点的坐标.
解:(1)如图.
(2)顶点都是(0,0);对称轴都是y轴(或直线x=0);
y=3x2,y=x2,开口向上,
y=-3x2,y=-x2,开口向下.
(3)y=x2和y=3x2有最低点,且坐标为(0,0);
y=-x2和y=-3x2有最高点,且坐标为(0,0).
拓展探究突破练
17.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A,B两点,已知A点的横坐标是3,求A,B两点的坐标及抛物线的表达式.
解:∵直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A,B两点且A点的横坐标是3,
∴点A的纵坐标y=2×3+3=9.
∴点A的坐标为(3,9).
将点A的坐标代入y=ax2得a=1,
∴抛物线的表达式为y=x2,
由x2=2x+3解得x=3或x=-1,所以点B横坐标为-1,当x=-1时,y=1,所以点B坐标为(-1,1).
第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是 (B)
A.(2,1) B.(0,1)
C.(1,0) D.(1,2)
2.抛物线y=ax2-1的图象经过(4,-5),则a= - ?
3.抛物线y=-x2+3的对称轴是 直线x=0(或y轴) ,顶点坐标是 (0,3) .?
知识点2 二次函数y=ax2+k的图象的平移规律
4.抛物线y=2x2+1沿y轴向下平移2个单位长度,所得抛物线的函数表达式为 (C)
A.y=2(x+2)2+1 B.y=2(x-2)2+1
C.y=2x2-1 D.y=2x2+3
5.函数y=ax2+2(a≠0)的图象是由y=4x2-2的图象平移得到,那么a的值是 4 .?
6.已知函数:y=-x2,y=-x2+3和y=-x2-1.
(1)分别画出它们的图象,并说出各个图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)说出函数y=-x2+6的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)试说明函数y=-x2+3,y=-x2-1,y=-x2+6的图象分别由抛物线y=-x2作怎样的平移才能得到.
解:(1)如图所示.
y=-x2的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);y=-x2+3的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,3);y=-x2-1的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-1).
(2)y=-x2+6的图象开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,6).
(3)y=-x2+3的图象由抛物线y=-x2向上平移3个单位得到;y=-x2-1的图象由抛物线y=-x2向下平移1个单位得到;y=-x2+6的图象由抛物线y=-x2向上平移6个单位得到.
综合能力提升练
7.把抛物线y=ax2+c向上平移2个单位,得到抛物线y=x2,则a,c的值分别是 (B)
A.1,2 B.1,-2
C.-1,2 D.-1,-2
8.函数y=ax和y=ax2+b在同一坐标系中的图象可能是 (C)
9.对于二次函数y=kx2-k(k≠0),下列说法错误的是 (D)
A.函数图象经过点(1,0)
B.函数图象的顶点坐标是(0,-k)
C.函数图象的对称轴是y轴
D.当x<0时,y随x的增大而减小
10.如图,抛物线y=2x2-1与直线y=x+2交于B,C两点,抛物线顶点为A,则△ABC的面积为 (A)
A. B.
C. D.
11.若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0),B(n,0),与y轴交于点C(0,c),则称△ABC为“抛物三角形”.特别地,当mnc<0时,称△ABC为“倒抛物三角形”,此时a,c应分别满足条件 (C)
A.a>0,c>0 B.a>0,c<0
C.a<0,c>0 D.a<0,c<0
12.若抛物线y=ax2+2与抛物线y=-3x2-2关于x轴对称,则a= 3 .?
13.抛物线y=x2-2与x轴的交点坐标是 (2,0),(-2,0) ,与y轴的交点坐标是 (0,-2) .?
14.与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点为(0,3)的抛物线的表达式为 y=2x2+3或y=-2x2+3 .?
15.已知抛物线y=x2+1(如图所示).
(1)抛物线的顶点坐标是 (0,1) ,对称轴是 y轴(或直线x=0) ;?
(2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为点B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标.
解:(2)∵△PAB是等边三角形,
∴∠ABO=90°-60°=30°,
∴AB=2OA=4,∴PB=4.
把y=4代入y=x2+1,得x=±2.
∴P点的坐标为(2,4)或(-2,4).
16.能否适当地上下平移抛物线y=x2,使得到的新的图象经过点(4,1)?若能,请求出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.
解:设平移后的图象的函数表达式为y=x2+k,则1=×42+k,解得k=-3,
故平移后的函数的表达式为y=x2-3,即把抛物线y=x2向下平移3个单位.
拓展探究突破练
17.在平面直角坐标系xOy中,已知顶点为P(0,2)的二次函数图象与x轴交于A,B两点,A点坐标为(2,0).
(1)求该二次函数的表达式,并写出点B坐标;
(2)点C在该二次函数的图象上,且在第四象限,当△ABC的面积为12时,求点C坐标.
解:(1)设抛物线表达式为y=ax2+2,把(2,0)代入表达式得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2.∴B(-2,0).
(2)过C点作CH⊥x轴于H点.设C点的横坐标为m,CH=m2-2,
∵A(2,0),B(-2,0),∴AB=4,由题意可得×4×=12,解得m=±4.
∵点C在第四象限,∴m=4,∴C(4,-6).
第3课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
1.抛物线y=(x+2)2的顶点坐标是 (C)
A.(2,1) B.(2,-1)
C.(-2,0) D.(-2,-1)
2.抛物线y=-(x+1)2的开口向 下 ,顶点坐标是 (-1,0) ,对称轴是 直线x=-1 .?
3.(淄博中考)已知抛物线y=-(x+1)2.
(1)写出抛物线的对称轴;
(2)完成下表;
x … -7 -3 1 3 …
y … -9 -1 …
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象.
解:(1)抛物线的对称轴为直线x=-1.
(2)填表如下.
x … -7 -5 -3 -1 1 3 5 …
y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
(3)描点作图如下.
知识点2 二次函数y=a(x+h)2的图象的平移
规律
4.把抛物线y=-(x-5)2平移得到y=-x2,下列平移方法正确的是 (A)
A.沿x轴向左平移5个单位长度
B.沿x轴向右平移5个单位长度
C.沿y轴向上平移5个单位长度
D.沿y轴向下平移5个单位长度
5.把抛物线y=2x2向左平移1个单位,则平移后抛物线的顶点坐标是 (-1,0) .?
6.在同一个坐标系中,画出函数y1=2x2,y2=2(x-2)2与y3=2(x+2)2的图象,并说明y2,y3的图象与y1=2x2的图象的关系.
解:图略.
y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到;
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到.
综合能力提升练
7.关于二次函数y=-3(x-2)2的图象,下列说法正确的是 (D)
A.顶点坐标是(-2,0)
B.开口向上
C.对称轴是直线x=-2
D.最高点是(2,0)
8.顶点为(-6,0),开口向下,形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是 (D)
A.y=(x-6)2 B.y=(x+6)2
C.y=-(x-6)2 D.y=-(x+6)2
9.平行于x轴的直线与抛物线y=a(x-2)2的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点坐标为 (C)
A.(1,2) B.(1,-2)
C.(5,2) D.(-1,4)
10.如图,二次函数y=(x+a)2与一次函数y=ax-a的图象可能是 (D)
11.二次函数y=-3(x-4)2的图象是由抛物线y=-3x2向 右 平移 4 个单位得到,开口 向下 ,对称轴是 直线x=4 ,当x= 4 时,y有最 大 值,是 0 .?
12.已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 y2>y1>y3 .?
13.二次函数y=(x+h)2的图象如图所示,已知OA=OC,试求该抛物线的表达式.
解:∵y=(x+h)2,
∴当x=0时,y=h2,则C,
又A(-h,0),OA=OC,
∴-h=h2,解得h=0(舍去)或h=-2,
∴该抛物线的解析式为y=(x-2)2.
14.已知抛物线y=a(x+m)2的对称轴是直线x=2,抛物线与y轴的交点是(0,8),求a,m的值.
解:∵抛物线y=a(x+m)2,且抛物线的对称轴是直线x=2,
∴m=-2,∴抛物线解析式为y=a(x-2)2,
∵抛物线与y轴的交点是(0,8),
∴8=a(0-2)2,解得a=2.
15.已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y=-8x2都相同,并且它的顶点在抛物线y=2的顶点上.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的表达式;
(3)若(2)中所示抛物线的顶点不动,将抛物线的开口反向,求反向后的抛物线的表达式.
解:(1)y=-8.
(2)y=-8.
(3)y=8.
拓展探究突破练
16.如图所示,二次函数y1=a(x-b)2的图象与直线y2=kx-b交于A(0,-1),B(1,0)两点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点C(2,-4)在二次函数y1的图象上吗?若不在,你能否通过平移二次函数图象,使它经过点C?
解:(1)由图象可得y1=a(x-b)2的顶点坐标为B(1,0),所以y1=a(x-1)2,
又点A(0,-1)在y1的图象上,所以a=-1,
所以y1=-(x-1)2.
(2)当x=2时,y1=-1≠-4,所以点C(2,-4)不在y1的图象上.
把y1向左平移1个单位或向下平移3个单位,即可经过点C.
第4课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
1.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是 (A)
A.(-2,3)
B.(2,3)
C.(-2,-3)
D.(2,-3)
2.对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是 (B)
A.对称轴是直线x=1,最小值是2
B.对称轴是直线x=1,最大值是2
C.对称轴是直线x=-1,最小值是2
D.对称轴是直线x=-1,最大值是2
3.如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数表达式可能为 (D)
A.y=-x2
B.y=-(x+1)2
C.y=-(x-1)2-1
D.y=-(x+1)2-1
4.(1)在同一平面直角坐标系中画出函数y1=3(x-1)2-2和y2=-3(x-1)2+2的图象;
(2)结合图象分析这两个函数图象之间的关系.
解:(1)如图所示.
(2)相同点:①对称轴都是直线x=1;
②y1和y2函数图象关于x轴对称 ;
不同点:①开口方向不同,y1开口向上,y2开口向下;
②顶点不同,y1顶点(1,-2),y2顶点(1,2);
③最值不同,y1有最小值-2,y2有最大值2;
④增减性不同,x>1时,y1随x增大而增大,y2随x增大而减小;x<1时,y1随x增大而减小,y2随x增大而增大.
知识点2 二次函数y=a(x+h)2+k的图象的平
移规律
5.由函数y=-x2的图象平移得到函数y=-(x-4)2+5的图象,则这个平移是(D)
A.先向左平移4个单位,再向下平移5个单位
B.先向左平移4个单位,再向上平移5个单位
C.先向右平移4个单位,再向下平移5个单位
D.先向右平移4个单位,再向上平移5个单位
6.将抛物线y=(x+3)2-1先向上平移2个单位,再向左平移1个单位后,得到的抛物线的表达式为 y=(x+4)2+1 .?
综合能力提升练
7.对于二次函数y=a(x+k)2+k,无论k为何实数,其图象的顶点都在 (B)
A.直线y=x上 B.直线y=-x上
C.x轴上 D.y轴上
8.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象经过 (A)
A.第二、三、四象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第一、二、三象限
9.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标的最小值为-3,则点D的横坐标的最大值为 (D)
A.13 B.7 C.5 D.8
10.已知A(1,y1),B(-,y2),C(-2,y3)在函数y=a(x+1)2+k的图象上,其中a>0,则y1,y2,y3的大小关系是 (B)
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y3>y2>y1 D.y2>y1>y3
11.若二次函数y=(x-m)2-1,当x≤3时,y随x的增大而减少,则m的取值范围是 m≥3 .?
12.已知二次函数y=a(x-h)2+的图象经过原点O(0,0)和A(2,0),则该函数图象的顶点坐标为 (1,) .?
13.如图,点E是抛物线y=a(x-2)2+k的顶点,抛物线与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,与抛物线交于点B,与抛物线的对称轴交于点D,点A是抛物线的对称轴上一点,连接AC,AB.若△ABC是等边三角形,则图中阴影部分的面积之和是 2 .?
14.已知二次函数y=-(x-2)2+5,
(1)写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;
(2)已知A(-6,y1),B(1,y2),C(4,y3)均在函数图象上,请直接判断y1,y2,y3的大小.
解:(1)∵y=-(x-2)2+5,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,5),当x=2时,函数有最大值,最大值为5.
(2)y115.已知二次函数的图象的顶点是(-1,2),且过点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求证:对任意实数,点M(m,-m2)都不在这个二次函数的图象上.
解:(1)由题意可设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2.将代入表达式得a(0+1)2+2=,解得a=-,故二次函数的表达式为y=-(x+1)2+2.
(2)假设点M在二次函数的图象上,则有-m2=-(m+1)2+2,整理得m2-2m+3=0,因为Δ=(-2)2-4×3×1=-8<0,所以该一元二次方程无实根,即满足条件的m不存在.故对任意实数m,点M(m,-m2)都不在这个二次函数的图象上.
拓展探究突破练
16.如图,抛物线y=-x2+3与x轴相交于A,B两点,与直线y=-x+b相交于B,C两点,连接A,C两点.
(1)写出直线BC的表达式;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)令y=0,则-x2+3=0,解得x=±2,所以,点B的坐标为(2,0),代入y=-x+b得-×2+b=0,解得b=,直线BC的表达式为y=-x+.
(2)联立解得所以,点C的坐标为(-1,),∵AB=2-(-2)=2+2=4,∴△ABC的面积=×4×.
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.已知二次函数y=-2x2+4x-3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是 (A)
A.x≥1 B.x≥0
C.x≥-1 D.x≥-2
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移
2.把二次函数y=-x2-3x-的图象向上平移3个单位,再向右平移4个单位,则两次平移后的图象的表达式是 (A)
A.y=-(x-1)2+7 B.y=-(x+7)2+7
C.y=-(x+3)2+4 D.y=-(x-1)2+1
3.已知抛物线y=x2-4x-1.
(1)求该抛物线的顶点坐标及最值.
(2)该抛物线可由y=x2经过怎样的平移得到?
解:(1)y=x2-4x-1=x2-4x+4-4-1=(x-2)2-5.
∴该抛物线的顶点坐标是(2,-5);
∵a=1>0,抛物线开口向上,∴当x=2时,函数y有最小值,最小值是-5.
(2)该抛物线可由y=x2先向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度得到.
知识点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数
的关系
4.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+c的图象画在同一个直角坐标系中,可能是 (A)
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),且顶点在第一象限,如图所示.有下列结论:①a<0;②a+b+c>0;③->0;④abc>0.其中正确的是 ①②③ .?
综合能力提升练
6.(兰州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的表达式为y=x2-2x-3,则b,c的值为 (B)
A.b=2,c=2 B.b=2,c=0
C.b=-2,c=-1 D.b=-3,c=2
7.如果b>0,c>0,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是 (D)
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下列结论正确的是 (B)
A.y1C.y39.(攀枝花中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列命题中正确的是 (D)
A.a>b>c
B.一次函数y=ax+c的图象不经过第四象限
C.m(am+b)+bD.3b+2c>0
10.(衡阳中考)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1 > y2(填“<”、“>”或“=”).?
11.(上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的表达式可以是 y=2x2-1(答案不唯一) .(只需写一个)?
12.(厦门中考)已知点A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上.
(1)若b=1,c=3,求n的值;
(2)若此抛物线经过点B(4,n),且二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,请画出点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由.
解:(1)∵b=1,c=3,∴抛物线y=x2+x+3,
∵点A(-2,n)在抛物线上,
∴n=4+(-2)+3=5.
(2)∵此抛物线经过点A(-2,n),B(4,n),
∴抛物线的对称轴x==1,
∵二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,
∴抛物线的表达式为y=(x-1)2-4,
∴P(x-1,(x-1)2-4),
设P(p,q),则p=x-1,q=(x-1)2-4=p2-4.
∴点P的纵坐标q随横坐标p变化的表达式为q=p2-4,图略.
13.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(t,0),且t≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图,请通过观察图象,指出此时y的最小值,并写出t的值;
(2)若t=-4,求a,b的值,并指出此时抛物线的开口方向;
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.
解:(1)y的最小值为-3,t=-6.
(2)a=1,b=4,抛物线的开口向上.
(3)答案不唯一,只要t的值满足t>-3且t≠0即可.
14.已知抛物线F:y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P.
(1)当抛物线F经过点C(-1,-2)时,求它的表达式;
(2)设点P的纵坐标为yP,求yP的最小值,此时抛物线F上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1解:(1)y=x2+2x-1.
(2)当x=-2时,yP=4+4m+m2-2=(m+2)2-2,∴当m=-2时,yP取最小值-2,
此时抛物线F的表达式为y=x2+4x+2=(x+2)2-2,∴当x≤-2时,y随x的增大而减小,
∵x1y2.
拓展探究突破练
15.(宁波中考)如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
解:(1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3,得m=2,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点坐标为(1,4).
(2)连接BC交抛物线对称轴l于一点,则这一点即为所求点P.设直线BC的解析式为y=kx+b,
∵C(0,3),B(3,0),
∴解得
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
当x=1时,y=-1+3=2,
∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).
*第6课时 二次函数表达式的确定
知识要点基础练
知识点1 利用一般形式确定二次函数表达式
1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点在y轴上,且过点(-1,3),(-2,6),则其表达式为 (C)
A.y=x2-2 B.y=-x2+2
C.y=x2+2 D.y=-x2-2
2.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(-2,5)和(4,-1),试确定该函数的表达式.
解:根据题意,得,解得所求函数表达式为y=x2-3x-5.
知识点2 利用顶点式确定二次函数表达式
3.(无锡中考)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数表达式为 y=-x2+4x-3 .?
4.若二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点(-1,3),且对称轴是直线x=1,试确定该二次函数的表达式.
解:根据题意得
解得所求二次函数表达式为y=2x2-4x-3.
知识点3 利用交点式确定二次函数表达式
5.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为 (B)
A.y=x2-4x+5
B.y=x2-4x-5
C.y=x2+4x-5
D.y=x2+4x+5
6.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(-2,0).
(1)求此二次函数的表达式及顶点B的坐标;
(2)在抛物线上有一点P,满足S△AOP=3,请直接写出点P的坐标.
解:(1)由题可知图象过原点和A(-2,0),
故所求关系式为y=-x(x+2)=-x2-2x=-(x+1)2+1,顶点坐标B(-1,1).
(2)P1(-3,-3),P2(1,-3).
综合能力提升练
7.二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是(-1,-3),则b,c的值分别是 (D)
A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4
C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4
8.将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线表达式是 (C)
A.y=(x-1)2+1 B.y=(x+1)2+1
C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+1
9.(义乌中考)如图,矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1),一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使这个点与点C重合,则该抛物线的函数表达式变为 (A)
A.y=x2+8x+14 B.y=x2-8x+14
C.y=x2+4x+3 D.y=x2-4x+3
10.抛物线y=-x2,平移后使顶点坐标为(m,m),且经过点(2,-10),则平移后抛物线对应的函数表达式是 (C)
A.y=-(x-6)2+6
B.y=-(x+1)2-1
C.y=-(x-6)2+6或y=-(x+1)2-1
D.y=-(x+6)2+6或y=-(x-1)2-1
11.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,顶点C到x轴的距离为2,则此抛物线的表达式为 y=(x+2)(x-4)或y=-(x+2)(x-4) .?
12.二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0)两点,其顶点坐标是 (1,-4) .?
13.(杭州中考)设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数表达式为 y=x2-x+2或y=-x2+x+2 .?
14.如图,已知抛物线与x轴相交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点D是抛物线上的一点,请求出m的值,并求出此时△ABD的面积.
解:(1)∵抛物线与x轴的两个交点为A(1,0),B(3,0),
∴设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x-3).
将C(0,3)的坐标代入,得a=1,∴y=x2-4x+3.
(2)∵D是抛物线y=x2-4x+3上的点,
∴m=.∴S△ABD=×2×.
15.在平面直角坐标系内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
解:(1)∵二次函数图象的顶点为A(1,-4),
∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-4,
把点B(3,0)代入二次函数解析式,得
0=4a-4,解得a=1,
∴二次函数解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
(2)由对称性知二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(3,0)和(-1,0),
∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点,平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).
拓展探究突破练
16.如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意得解得b=4,c=3,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)∵点A与点C关于直线x=2对称,
∴连接BC,与直线x=2交于点P,则点P即为所求,易知C(3,0),B(0,3),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴解得k=-1,b=3,
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
∴直线BC与x=2的交点坐标为(2,1),
即点P的坐标为(2,1).
