周滚动练(21.2第5课时~21.3)
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列表达式中,y是x的二次函数的是 (B)
A.x=y2
B.y=(x+2)(1-3x)
C.y=2x2-
D.y=(x-1)(x+2)-x2
2.下列关于二次函数y=x2-2x-1的说法中,正确的是 (D)
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标是(1,-1)
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.当x=1时,函数y的最小值是-2
3.(永州中考)抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是 (A)
A.m<2 B.m>2
C.0
4.(资阳中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是 (D)
A.-15
C.x<-1且x>5 D.x<-1或x>5
5.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限,那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是 (B)
6.根据表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解的范围是 (C)
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
A.3B.3.23C.3.24D.3.257.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 (C)
A.a>0
B.c<0
C.3是方程ax2+bx+c=0的一个根
D.当x<1时,y随x的增大而减小
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)的根的情况是 (C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.已知函数y=(m-1)x2+2x-m中,y是关于x的二次函数,则写一个符合条件的m的值是 2(本题答案不唯一,只要m取不等于1的值均可) .?
10.(舟山中考)把二次函数y=x2-12x化为形如y=a(x-h)2+k的形式为 y=(x-6)2-36 .?
11.已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数图象的表达式是 y=x2-3x+2 .?
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:①ac<0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1=1,x2=-3;⑤ax2+bx+c>0的解集是-1三、解答题(共52分)
13.(8分)把二次函数y=(x+3)(1-2x)+7化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项.
解:y=x-2x2+3-6x+7=-2x2-5x+10,
二次项是-2x2,一次项是-5x,常数项是10.
14.(10分)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的表达式.
解:设这个二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2,
∵二次函数的图象过坐标原点,
∴0=a(0-1)2-2,解得a=2,
∴这个二次函数的关系式是y=2(x-1)2-2=2x2-4x.
15.(10分)已知函数y=-x2-2x+2和y=x-2.
(1)填写下表:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=-x2-2x+2 … -1 2 -6 …
y=x-2 … -6 -3 -1 …
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象;
(3)结合函数图象,直接写出不等式-x2-2x+2>x-2的解集.
解:(1)填表如下:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=-x2-2x+2 … -6 -1 2 3 2 -1 -6 …
y=x-2 … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 …
(2)所画图象如图.
(3)由图象可知,不等式-x2-2x+2>x-2的解集是-416.(12分)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
解:(1)当x=0时,y=1,所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点(0,1).
(2)m=0或m=9.
17.(12分)(大连中考)如图,抛物线y=x2-3x+与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E.
(1)求直线BC的表达式;
(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.
解:(1)令y=0,可得x=或x=,∴A,B.令x=0,得y=,∴C,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
∴解得
∴直线BC的解析式为y=-x+.
(2)设点D,∴E,
设DE的长度为d,
∴d=-m+,
整理得d=-m2+m=-,
∵a=-1<0,∴当m=时,d最大=,
∴D点的坐标为.
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
知识要点基础练
知识点1 二次函数与一元二次方程
1.抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数为 (C)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.抛物线y=2x2-4x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是 x1=-1,x2=3 .?
知识点2 利用抛物线与x轴的交点情况求解
3.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是 (B)
A.k>- B.k≥-且k≠0
C.k≥- D.k>-且k≠0
4.(成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是 (B)
A.abc<0,b2-4ac>0 B.abc>0,b2-4ac>0
C.abc<0,b2-4ac<0 D.abc>0,b2-4ac<0
知识点3 利用二次函数求一元二次方程的近似解
5.根据下列表格中的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的自变量x与函数y的对应值,判断ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为 (C)
x 1.43 1.44 1.45 1.46
y=ax2+bx+c -0.095 -0.046 0.003 0.052
A.1.40C.1.446.利用二次函数y=-x2+x+2的图象和性质,求方程-x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值.(结果精确到0.1)
解:方程-x2+x+2=0的根是函数y=-x2+x+2与x轴交点的横坐标.
二次函数y=-x2+x+2的图象如图所示.
由图象可知方程有两个根,一个在-2和-1之间,另一个在3和4之间.
当x=3.2时,y=0.08;当x=3.3时,y=-0.145.
因此,x=3.2是方程的一个近似根,
故方程-x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为3.2.
综合能力提升练
7.(苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是 (B)
A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
8.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情况是 (C)
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
9.(济南中考)二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1
A.t≥-1 B.-1≤t<3
C.-1≤t<8 D.310.若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为 0,2或-2 .?
11.(青岛中考)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是 m>9 .?
12.(莱芜中考)二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-3,1,与y轴交于点C,下面四个结论:①16a-4b+c<0;②若P(-5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1>y2;③a=-c;④若△ABC是等腰三角形,则b=-.其中正确的有 ①③ .?
13.如图,抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A,B(点A在点B左侧).
(1)求点A,B的坐标;
(2)在该抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积是6?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)当y=0时,即-2x2+8x-6=0,解得x=1或x=3,所以点A坐标为(1,0),点B坐标为(3,0).
(2)存在.设点D的纵坐标为m,由(1)得点A坐标为(1,0),点B坐标为(3,0),所以AB=2,根据三角形面积公式×2·|m|=6,m=±6.又点D在抛物线y=-2x2+8x-6上,分两种情况:①当y=6时,即-2x2+8x-6=6,x2-4x+6=0,此方程无实数解;②当y=-6时,即-2x2+8x-6=-6,解得x=0或x=4.综上所述,点D坐标为(0,-6)或(4,-6).
14.已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数).
(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值;
(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围.
解:(1)当a=0时,函数y=x+1,它的图象显然与x轴只有一个交点(-1,0).
当a≠0时,依题意得方程ax2+x+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=1-4a=0,∴a=.
∴当a=0或a=时,函数图象与x轴恰有一个交点.
(2)若a>0,要使抛物线的顶点始终在x轴上方,
∴抛物线与x轴无交点,∴Δ=1-4a<0,∴a>;
若a<0,要使抛物线的顶点始终在x轴上方,
∴抛物线与x轴有两个交点,
∴Δ=1-4a>0,∴a<0.
∴当a>或a<0时,抛物线顶点始终在x轴上方.
15.已知二次函数y=2x2-mx-m2.
(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;
(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.
解:(1)由题,令y=2x2-mx-m2=0,Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=9m2≥0,∴方程2x2-mx-m2=0有根,∴该二次函数图象与x轴总有公共点.
(2)令函数y=2x2-mx-m2=0,Δ=m2+8m2>0,
∴m≠0.将x=1代入原方程有2-m-m2=0,
解得m=1或m=-2,
∴原方程为2x2-x-1=0或2x2+2x-4=0,
∴x1+x2=1+x2=或-1,
∴x2=-或-2,
∴B点坐标为或(-2,0).
探究拓展突破练
16.(宁波中考)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.
(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.
①求该抛物线的函数表达式;
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
解:(1)y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,
∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0,
∴不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.
(2)①∵该抛物线的对称轴是直线x=,
∴-,∴m=2,
∴抛物线表达式为y=x2-5x+6.
②∵y=x2-5x+6=,
∴该抛物线的顶点为,
∵抛物线开口向上,∴把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.
第2课时 二次函数与一元二次不等式
知识要点基础练
知识点1 二次函数与一元二次不等式
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,当y<0时,x的取值范围是 (A)
A.-13
C.x<-1 D.x>3或x<-1
2.(滨州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论:①2a+b=0;②4a-2b+c<0;③ac>0;④当y<0时,x<-1或x>2.其中正确的个数是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 (C)
A.x<2
B.x>-3
C.-3D.x<-3或x>1
4.如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的表达式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案)
(1)m=-1,y=x2-3x+2
(2)x<1或x>3
综合能力提升练
5.(贵港中考)如图,已知二次函数y1=x2-x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A(3,2),与x轴交于点B(2,0),若0
A.0C.23
6.(达州中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1.①b2>4ac;②4a-2b+c<0;③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5;④若(-2,y1),(5,y2)是抛物线上的两点,则y1
A.①② B.①④
C.①③④ D.②③④
7.(常州中考)已知二次函数y=ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表:
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 …
则在实数范围内能使得y-5>0成立的x的取值范围是 x<-2或x>4 .?
8.(牡丹江中考)若将图中的抛物线y=x2-2x+c向上平移,使它经过点(2,0),则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是 09.(乌鲁木齐中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0),且对称轴为直线x=1,有下列结论:①abc<0;②10a+3b+c>0;③抛物线经过点(4,y1)与点(-3,y2),则y1>y2;④无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点;⑤am2+bm+a≥0.其中所有正确的结论是 ②④⑤ .?
10.如图,二次函数的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C,D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B,D.
(1)请直接写出D点的坐标;
(2)求二次函数的表达式;
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
解:(1)D(-2,3).
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c常数),
根据题意,得解得
所以二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.
(3)x的取值范围是x<-2或x>1.
探究拓展突破练
11.阅读材料,解答问题.
例:用图象法解一元二次不等式x2-2x-3>0.
解:设y=x2-2x-3,则y是x的二次函数,∵a=1>0,∴抛物线开口向上.
又当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.
由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示.
观察函数图象可知:当x<-1或x>3时,y>0.
∴x2-2x-3>0的解集是x<-1或x>3.
(1)观察图象,直接写出一元二次不等式:x2-2x-3<0的解集是 ;?
(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式:x2-9>0.
解:(1)-1(2)设y=x2-9,则y是x的二次函数,
∵a=1>0,
∴抛物线开口向上.
又∵当y=0时,x2-9=0,
解得x1=-3,x2=3.
∴由此得抛物线y=x2-9的大致图象如图所示.
观察函数图象可知当x<-3或x>3时,y>0.
∴x2-9>0的解集是x<-3或x>3.
