周滚动练(21.5)
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.若y=(2-m)是二次函数,则m的值是 (C)
A.2 B.0
C.-2 D.2或-2
2.把抛物线y=-x2先向左平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线的表达式是 (B)
A.y=-(x+1)2+2 B.y=-(x+1)2-2
C.y=(x+1)2-2 D.y=-(x-1)2+2
3.函数y=(m2-m)是反比例函数,则 (C)
A.m=0 B.m=1
C.m=2 D.m=1或2
4.如图,是反比例函数y1=和一次函数y2=mx+n的图象,若y1
A.1C.x<6 D.x>1
5.(牡丹江中考)如图,直线y=-x+b与x轴交于点A,与双曲线y=-(x<0)交于点B.若S△AOB=2,则b的值是 (D)
A.4 B.3
C.2 D.1
6.在同一直角坐标系中,函数y=kx+k与y=(k≠0)的图象大致为(B)
7.某商人开始时将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,每天可销售100件,他想采用提高售价的办法来增加利润,经试销发现,这种商品每件每提高1元,每天的销售量就会减少10件,为了能使一天所得的利润最大,他应将售价定为 (C)
A.12元 B.13元 C.14元 D.15元
8.如图,A,B,C为反比例函数图象上的三个点,分别从点A,B,C向x轴、y轴作垂线,构成三个矩形,它们的面积分别是S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系是 (D)
A.S1=S2>S3 B.S1C.S1>S2>S3 D.S1=S2=S3
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.若函数y=3(x-4)2+k与x轴的一个交点坐标是(2,0),则它与x轴的另一个交点坐标是 (6,0) .?
10.如图,它是反比例函数y=图象的一支,根据图象可知常数m的取值范围是 m>5 .?
11.(菏泽中考)直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,则3x1y2-9x2y1的值为 36 .?
12.如图1所示蓄电池的电压为定值,使用该蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图2所示,如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不超过12 A,那么用电器可变电阻R应控制的范围是 R≥3 Ω .?
三、解答题(共52分)
13.(12分)已知抛物线y=-x2+x-.
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)指出x在什么范围内,函数值y随x的增大而减小.
解:(1)y=-x2+x-=-(x2-2x)-=-(x-1)2-1.∴该抛物线的顶点坐标是(1,-1).
(2)∵-<0,∴抛物线开口向下,∴当x>1时,y随x的增大而减小.
14.(12分)(成都中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于A(a,-2),B两点.
(1)求反比例函数表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
解:(1)反比例函数y=的表达式为y=,点B的坐标为(4,2).
(2)如图,设第一象限内反比例函数y=图象上的点的坐标为P,
∵PC∥y轴,点C在直线y=x上,∴点C的坐标为,
∴PC=,∴S△POC=PC·a=·a==3,
当=3时,解得a==2,∴点P为;
当=-3时,解得a=2,∴点P为(2,4).
综上,符合条件的点P的坐标为,(2,4).
15.(14分)我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15~20 ℃的新品种,如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象,其中AB段是恒温阶段,BC段是双曲线y=的一部分,请根据图中信息解答下列问题.
(1)求k的值;
(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15 ℃及15 ℃以上的时间有多少小时?
解:(1)把点B(12,20)代入y=,得k=240.
(2)设AD的解析式为y=mx+n.
把(0,10),(2,20)代入y=mx+n,得
解得∴AD的解析式为y=5x+10.
当y=15时,15=5x+10,x=1,15=,x=16,
∴16-1=15.
答:恒温系统在一天内保持大棚里温度在15 ℃及15 ℃以上的时间有15小时.
16.(14分)某商品现在售价为每件40元,每天可卖200件,该商品将从现在起进行90天的销售:在第x(1≤x≤49)天内,当天售价都较前一天增加1元,销量都较前一天减少2件;在第x(50≤x≤90)天内,当天的售价都是90元,销量仍然是较前一天减少2件,已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的当天利润为y元.
(1)求出y与x的函数表达式;
(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
解:(1)当1≤x≤49时,当天售价为(40+x)元,销售商品(200-2x)件,
∴y=(40+x-30)(200-2x)=-2x2+180x+2000.
当50≤x≤90时,当天售价为90元,销售量为(200-2x),
∴y=(90-30)(200-2x)=-120x+12000.
∴y=
(2)当1≤x≤49时,y=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,
∴当x=45时,y取得最大值6050;
当50≤x≤90时,由y=-120x+12000,知y随x的增大而减小,
∴当x=50时,y取得最大值6000.
∵6050>6000,
∴销售该商品第45天时,销售利润最大,最大利润为6050元.
小专题(一) 二次函数图象与性质综合
二次函数的图象与性质是安徽中考必考内容之一,主要考查二次函数的图象、抛物线的顶点坐标、增减性(大小比较)、最值、利用二次函数图象确定字母系数的取值范围以及二次函数与方程与不等式等问题,具有一定综合性,试题以选择题、填空题和解答题等不同的形式出现,有一定的难度.
类型1 与其他函数结合考查函数的图象
1.(威海中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.若正比例函数y=(b+c)x与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是 (C)
2.(凉山中考)已知抛物线y=x2+2x-m-2与x轴没有交点,则函数y=的大致图象是 (C)
3.(广州中考)a≠0,函数y=与y=-ax2+a同一直角坐标系中的大致图象可能是 (D)
类型2 根据二次函数的图象确定字母系数之间
的关系
4.(广安中考)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(-1,3),与x轴的交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,以下结论:①b2-4ac=0;②a+b+c>0;③2a-b=0;④c-a=3.正确的结论有 (B)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.(荆门中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是 (D)
A.a<0,b<0,c>0
B.-=1
C.a+b+c<0
D.关于x的方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
6.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是 (C)
A.①④ B.②④
C.①②③ D.①②③④
7.(贺州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a+b<0;③b2-4ac=0;④8a+c<0;⑤a∶b∶c=-1∶2∶3;其中正确的结论有 ①④⑤ .?
类型3 二次函数的图象与性质综合
8.(舟山中考)下列关于函数y=x2-6x+10的四个命题:①当x=0时,y有最小值10;②n为任意实数,x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值;③若n>3,且n是整数,当n≤x≤n+1时,y的整数值有(2n-4)个;④若函数图象过点(a,y0)和(b,y0+1),其中a>0,b>0,则aA.① B.②
C.③ D.④
9.(盐城中考)如图,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是 (D)
A.y=(x-2)2-2
B.y=(x-2)2+7
C.y=(x-2)2-5
D.y=(x-2)2+4
10.(宜宾中考)如图,抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x-4)2-3交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于B,C两点,且D,E分别为顶点.则下列结论:①a=;②AC=AE;③△ABD是等腰直角三角形;④当x>1时,y1>y2,其中正确结论的个数是 (B)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
11.(武汉中考)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若212.(天水中考)如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1y1;⑤x(ax+b)≤a+b.其中正确的结论是 ②⑤ .(只填写序号)?
类型4 利用二次函数的图象与性质比较大小
13.(德州中考)下列函数中,对于任意实数x1,x2,当x1>x2时,满足y1A.y=-3x+2 B.y=2x+1
C.y=2x2+1 D.y=-
14.(连云港中考)已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列表达式一定正确的是 (C)
A.y1>0>y2 B.y2>0>y1
C.y1>y2>0 D.y2>y1>0
15.(包头中考)已知一次函数y1=4x,二次函数y2=2x2+2,在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值为y1与y2,则下列关系正确的是 (D)
A.y1>y2 B.y1≥y2
C.y116.(咸宁中考)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 .?
小专题(三) 反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数的综合的常考的类型有:反比例函数与一次函数的表达式和交点问题、反比例函数与一次函数图象所涉及的常见面积计算问题、反比例函数与一次函数的图象问题(即利用图象比较函数值大小).它能综合考查学生的数学建模能力、阅读理解能力、分析和解决问题的能力.解决这类问题要注意应用转化、数形结合、方程与建模思想.
类型1 一次函数与反比例函数的表达式和交点问题
1.(玉林中考)若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点,则有 (A)
A.mn≥-9 B.-9≤mn≤0
C.mn≥-4 D.-4≤mn≤0
2.(山东枣庄)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为 (C)
A.-12 B.-27
C.-32 D.-36
3.(浙江温州)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴,y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA'B'D'与四边形OABD关于直线OD对称(点A'和A,B和B'分别对应),若AB=1,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A',B,则k的值为? .?
4.(江苏连云港)设函数y=与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a,b),则的值是 -2 .?
5.(浙江舟山)如图,一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y=(k2≠0)的图象交于点A(-1,2),B(m,-1).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在x轴上是否存在点P(n,0)(n>0),使△ABP为等腰三角形?若存在,求n的值;若不存在,说明理由.
解:(1)把A(-1,2)代入y=,得k2=-2,
∴反比例函数的表达式为y=-.
∵B(m,-1)在反比例函数的图象上,∴m=2.
由题意得解得
∴一次函数的表达式为y=-x+1.
(2)AB=3;
①当PA=PB时,(n+1)2+4=(n-2)2+1,
∵n>0,∴n=0(不符合题意,舍去);
②当PA=AB时,2+(n+1)2+4=(3)2,
∵n>0,∴n=-1+;
③当BP=BA时,1+(n-2)2+4=(3)2,
∵n>0,∴n=2+.
∴n=-1+或n=2+.
类型2 一次函数与反比例函数图象所涉及的
面积问题
6.(浙江衢州)如图,在直角坐标系中,点A在函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AB的垂直平分线与y轴交于点C,与函数y=(x>0)的图象交于点D.连接AC,CB,BD,DA,则四边形ACBD的面积等于 (C)
A.2 B.2 C.4 D.4
7.(山东滨州)在平面直角坐标系内,直线AB垂直于x轴于点C(点C在原点的右侧),并分别与直线y=x和双曲线y=相交于点A,B,且AC+BC=4,则△OAB的面积为 (A)
A.2+3或2-3 B.+1或-1
C.2-3 D.-1
8.(资阳中考)如图,在平行四边形ABCD中,点A,B,C的坐标分别是(1,0),(3,1),(3,3),双曲线y=(k≠0,x>0)过点D.
(1)求双曲线的表达式;
(2)作直线AC交y轴于点E,连接DE,求△CDE的面积.
解:(1)∵在平行四边形ABCD中,点A,B,C的坐标分别是(1,0),(3,1),(3,3),∴点D的坐标是(1,2),
∴2=,得k=2,
∴双曲线的解析式是y=.
(2)S△CDE=S△EDA+S△ADC==3,
即△CDE的面积是3.
类型3 一次函数与反比例函数图象所涉及的
大小比较问题
9.(宁夏中考)正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,其中点B的横坐标为-2,当y1A.x<-2或x>2
B.x<-2或0C.-2D.-22
10.(甘肃兰州)如图,反比例函数y=(x<0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式
A.x<-3 B.-3C.-1
11.(天水中考)如图,直线y1=kx(k≠0)与双曲线y2=(x>0)交于点A(1,a),则y1>y2的解集为 x>1 .?
12.(广安中考)如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)和反比例函数y2=(m≠0)的图象交于点A(-1,6),B(a,-2).
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出y1>y2时,x的取值范围.
解:(1)把点A(-1,6)代入反比例函数y2=(m≠0),得m=-1×6=-6,∴y2=-.
将点B(a,-2)代入y2=-,得-2=,a=3,
∴B(3,-2),
将点A(-1,6),B(3,-2)代入一次函数y1=kx+b,得
∴y1=-2x+4.
(2)由函数图象可得x<-1或0
小专题(二) 二次函数的应用
二次函数的应用是中考的高频考点,主要是与代数、几何、实际情景三个方面结合考查.
二次函数与代数的结合常见题型有:求抛物线与坐标轴的交点坐标、利用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数等.掌握一元二次方程的解法和根的判别式是解答此类问题的关键.
二次函数通常会与三角形、四边形等几何图形相结合,涉及求几何图形的顶点坐标、面积等问题.解答此类问题的关键是掌握二次函数表达式的确定、二次函数的图象及性质与几何图形的性质,最终解决问题.
二次函数的实际应用,解题的关键是根据题意列出函数表达式,常见的应用题型有利润问题、图形面积问题、体育运动问题以及方案设计问题,经常需要建立函数模型,列出函数表达式进行求解.用二次函数解决实际问题是中考的必考内容.这部分内容多出现在解答题部分,也经常以选择题、填空题的形式考查.
类型1 二次函数与代数的结合
1.抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点坐标是 (C)
A.(0,-1)
B.(1,0)
C.(1+,0),(1-,0)
D.(-1+,0),(-1-,0)
2.已知抛物线y=x2-5x-6.
(1)若该抛物线与y轴交于点C,求点C的坐标;
(2)若该抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧),求点A、点B的坐标.
解:(1)当x=0时,y=-6,所以点C坐标为(0,-6).
(2)当y=0时,x2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6,因为点A在点B左侧,所以点A坐标为(-1,0),点B坐标为(6,0).
3.(绵阳中考)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是 (D)
A.b>8 B.b>-8
C.b≥8 D.b≥-8
4.求证:函数y=mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴必有交点.
证明:①当m=0时,函数为一次函数y=x-2,其图象与x轴有交点(2,0);
②当m≠0,函数为二次函数,∵Δ=(3m-1)2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0,
∴抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴必有交点.
5.如图,抛物线y=-2x2+nx-6与x轴交于点A(m,0),B(3,0).
(1)求m,n的值;
(2)点D是该抛物线在第一象限部分上的一动点,△ABD的面积是否能等于6?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由.
解:(1)抛物线y=-2x2+nx-6经过点B(3,0),所以0=-18+3n-6,n=8;抛物线为y=-2x2+8x-6,当y=0时,即-2x2+8x-6=0,解得x=1或x=3,所以点A坐标为(1,0),m=1.
(2)不能.理由:设点D的横坐标为m,则点D的纵坐标为-2m2+8m-6,由(1)得点A坐标为(1,0),点B坐标为(3,0),所以AB=2,又点D在第一象限,结合三角形面积公式有×2·(-2m2+8m-6)=6,整理为m2-4m+6=0,由于Δ=(-4)2-24=-8<0,此方程无实数解,所以△ABD的面积不能等于6.
类型2 二次函数与三角形的结合
6.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(5,0)与B(0,3).
(1)试确定该二次函数;
(2)若点C是该二次函数图象的顶点,试确定点C的坐标;
(3)点P是该二次函数对称轴上一动点,若以点P,点O,点B为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点P的坐标(不用说理).
解:(1)根据题意,得解得所以二次函数表达式为y=-x2+x+3.
(2)y=-x2+x+3=-(x2-4x)+3=-(x-2)2+,所以顶点C的坐标为.
(3)点P坐标为或(2,)或(2,-)或(2,3-)或(2,3+).
类型3 二次函数与四边形的结合
7.(湖南岳阳)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0),C(0,-2),直线l:y=-x-交y轴于点E,且与抛物线交于A,D两点.P为抛物线上一动点(不与A,D重合).
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点P在直线l下方时,过点P作PM∥x轴交l于点M,PN∥y轴交l于点N.求PM+PN的最大值;
(3)设F为直线l上的点,以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.
解:(1)将B(3,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的表达式为y=x2-x-2.
(2)设P(-1∴PN=-a2+a+=-,∵M,N在直线l:y=-x-上,PM∥x,PN∥y,∴,∴PM+PN=PN≤.
即PM+PN的最大值为.
(3)能.F点的坐标为,(-1,0),.
类型4 最值问题
8.如图,直线y=kx+b(k,b为常数)分别与x轴、y轴交于点C(-3,0),D(0,3),抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧).
(1)求直线y=kx+b的表达式;
(2)求点A和点B的坐标;
(3)若直线l与x轴垂直,在点A与点B之间移动,且与直线y=kx+b(k,b为常数)交于点E,与抛物线y=-x2+x+2交于点F,求EF的最小值.
解:(1)∵直线y=kx+b经过点C(-3,0),D(0,3),
∴解得
∴直线的表达式是y=x+3.
(2)当y=0时,即-x2+x+2=0,解得x1=-1,x2=3,又点A在点B的左侧,所以点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0).
(3)令点E,F的横坐标为a,EF=s,点F的纵坐标为-a2+a+2,点E的纵坐标为a+3,所以s=(a+3)-a2-a+1(-1又s=a2-a+1=(a2-a)+1=(a-)2+,由于>0,所以抛物线的开口向上,又-1类型5 利润问题
9.已知老王一个月销售某种服装x(件)与获得利润y(元)满足表达式:y=-x2+1200x-120000,则当一个月卖出 600 件衣服时,获得最大利润 240000 元.?
10.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?
解:(1)y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600.
(2)y=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,
∴当x=30时,y有最大值200,
即当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.
(3)当y=150时,可得方程-2(x-30)2+200=150,
解得x1=25,x2=35,
根据题意,x2=35不合题意,应舍去,
∴当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.
类型6 几何图形面积问题
11.用长为6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户,使窗户的透光面积最大(如图),那么这个窗户的最大透光面积是 (C)
A. m2 B.1 m2
C. m2 D.3 m2
12.如图,用长20 m的篱笆,一面靠墙(墙足够长)围成一个长方形的园子,园子的最大面积是 50 m2.?
13.如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛.矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上,菱形的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0(1)求S与x的函数表达式;
(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草,已知红色花草的价格为20元/平方米,黄色花草的价格为40元/平方米.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,最低总费用是多少?(结果保留根号)
解:(1)连接AC,BD,AC与EH交于点M.
∵花坛为菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC,△BEF是等边三角形,AC⊥EH.
∴EF=BE=AB-AE=4-x.
在Rt△AEM中,∠AEM=30°,易得EM=x,
∴EH=2EM=x.
∴S=EH·EF=x·(4-x),即S=-x2+4x.
(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜,∴当矩形面积最大时,购买花草的总费用最低.
又∵S=-x2+4x=-(x-2)2+4,
∴当x=2时,S最大=4.
易得S菱形ABCD=8,
此时四个三角形的面积为8-4=4.
∴最低总费用为20×4+40×4=240(元).
类型7 分段函数问题
14.(达州中考)宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:y=
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数表达式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?
解:(1)当0≤x≤4,当x=4时,7.5×4=30<70,当4(2)当0≤x≤4时,W=(60-40)×7.5x=150x,当x=4时,w有最大值为600元;
当4解得k=1,b=36,∴P=x+36.
∴W=[60-(x+36)](5x+10)=-5(x-11)2+845,
∴当x=11时,W有最大值为845.
∴第11天时,利润为最大,最大值为845元.
15.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y(件)与销售价格x(元/件)(20≤x≤60)的关系如下图所示.
(1)试确定y与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);
(2)若超市一天销售该商品的利润为w(元),写出w与商品的售价x(元/件)之间的函数表达式;
(3)求(2)中当销售价格x定为多少时,一天的利润w最大,最大利润是多少?
解:(1)分两种情况:①当20≤x≤30时,设y=ax+b,根据题意得解得∴y=20x-200;②当30(2)当20≤x≤30时,w=(x-20)(20x-200)=20x2-600x+4000;
当30w=
(3)当20≤x≤30时,w=20x2-600x+4000=20(x2-30x)+4000=20(x-15)2-500,抛物线开口向上,x>15时,y随x的增大而增大,又20≤x≤30,所以当x=30时,w最大值=20(30-15)2-500=4000;
当30综上所述,当定价为45元/件时,一天的利润w最大,最大值为6250元.
类型8 建立函数模型问题
16.(恩施中考)宜万铁路开通后,给恩施州带来了很大方便.恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A,B两种材料共50箱.已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨;B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨.不计箱子之间的空隙,设A种材料进了x箱.
(1)求厂家共有多少种进货方案?(不要求列举方案)
(2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表,请先根据下表画出简图,猜想函数类型,求出函数表达式(求函数表达式不取近似值),确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润,并求出最大利润.
x 15 20 25 30 38 40 45 50
y 10 约27.58 40 约48.20 约49.10 约47.12 40 约26.99
解:(1)38.
(2)图略,该函数为二次函数,y=-0.1x2+7x-72.5,
A种材料购进35箱,B种材料购进15箱时,能让厂家获得最大利润,最大利润为50万元.
21.5 反比例函数
第1课时 反比例函数
知识要点基础练
知识点1 反比例函数的概念
1.下面四个表达式中,y是x的反比例函数的是 (B)
A.y= B.yx=-
C.y=5x+6 D.
2.设某矩形的面积为S,相邻的两条边长分别为x和y.那么当S一定时,给出以下四个结论:
①x是y的正比例函数;②y是x的正比例函数;③x是y的反比例函数;④y是x的反比例函数.
其中正确的是 ③④ .?
知识点2 确定反比例函数表达式
3.已知函数y=(k≠0),当x=-时,y=8,则此函数的表达式为 (A)
A.y=- B.y=
C.y=- D.y=
4.(兰州中考)若反比例函数y=的图象过点(-1,2),则k= -2 .?
5.已知反比例函数y=的图象过点A(3,4),求反比例函数的表达式,并判断点B(6,2)是否在该反比例函数的图象上.
解:依题意得4=,所以k=12,
所以反比例函数的解析式为y=.
当x=6时,y=2,
所以点B(6,2)在该反比例函数的图象上.
综合能力提升练
6.如图,在平面直角坐标系中,?OABC的顶点A的坐标为(-4,0),顶点B在第二象限.∠BAO=60°,BC交y轴于点D,BD∶DC=3∶1.若函数y=(k>0,x>0)的图象经过点C,则k的值为 (D)
A. B. C. D.
7.(抚顺中考)如图,等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上,双曲线y=过OA的中点,已知等边三角形的边长是4,则该双曲线的表达式为 (B)
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
8.在平面直角坐标系中,我们把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(-1,-1),(0,0),(),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.若点P(2,m)是反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,则这个反比例函数的表达式是 (D)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
9.已知反比例函数的表达式为y=,则k的最小整数值是 1 .?
10.(烟台中考)如图,直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P,若OP=,则k的值为 3 .?
11.将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y3,…,如此继续下去,则y2017= - .?
12.(泉州中考)已知反比例函数的图象经过点P(2,-3).
(1)求该函数的表达式;
(2)若将点P沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴方向平移n(n>0)个单位得到点P',使点P'恰好在该函数的图象上,求n的值和点P沿y轴平移的方向.
解:(1)设反比例函数的解析式为y=,
∵图象经过点P(2,-3),
∴k=2×(-3)=-6,
∴反比例函数的解析式为y=-.
(2)∵点P沿x轴负方向平移3个单位,
∴点P'的横坐标为2-3=-1,
∴当x=-1时,y=-=6,
∴n=6-(-3)=9,
∴沿着y轴平移的方向为正方向.
13.(广安中考)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=6.
(1)求函数y=和y=kx+b的表达式.
(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内,求反比例函数y=的图象上一点P,使得S△POC=9.
解:(1)∵点A(4,2)在反比例函数y=的图象上,
∴m=4×2=8,
∴反比例函数的表达式为y=.∵点B在y轴的负半轴上,且OB=6,∴点B的坐标为(0,-6),
把点A(4,2)和点B(0,-6)代入y=kx+b中,得解得
∴一次函数的表达式为y=2x-6.
(2)设点P的坐标为(n,)(n>0).在直线y=2x-6上,当y=0时,x=3,
∴点C的坐标为(3,0),即OC=3,
∴S△POC=OC·yP=×3×=9,
解得n=,∴点P的坐标为,
故当S△POC=9时,在第一象限内,反比例函数y=的图象上点P的坐标为.
探究拓展突破练
14.已知函数y=(5m-3)x2-n+(n+m).
(1)当m,n为何值时,是一次函数?
(2)当m,n为何值时,为正比例函数?
(3)当m,n为何值时,为反比例函数?
解:(1)当函数y=(5m-3)x2-n+(n+m)是一次函数时,2-n=1,且5m-3≠0,解得n=1且m≠.
(2)当函数y=(5m-3)x2-n+(n+m)是正比例函数时,
解得n=1,m=-1.
(3)当函数y=(5m-3)x2-n+(n+m)是反比例函数时,解得n=3,m=-3.
第2课时 反比例函数的图象和性质
知识要点基础练
知识点1 反比例函数的图象
1.反比例函数y=的图象在第一、三象限,则m的取值范围是 (D)
A.m≥1 B.m≤1
C.m<1 D.m>1
2.如果反比例函数的图象经过点(-3,-4),那么函数的图象在第 一、三 象限.?
知识点2 反比例函数的性质
3.在反比例函数y=的每一条曲线上,y都随着x的增大而减小,则k的值可以是 (A)
A.-1 B.1 C.2 D.3
4.(成都中考)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点都在反比例函数y=的图象上,且x1 y2.(填“>”或“<”)?
知识点3 反比例函数中k的几何意义
5.如图,A,C是函数y=的图象上的任意两点,过点A作y轴的垂线,垂足为点B,过点C作y轴的垂线,垂足为点D,记Rt△AOB的面积为S1,Rt△COD的面积为S2,则 (C)
A.S1>S2
B.S1C.S1=S2
D.S1和S2的大小关系不能确定
6.如图,点A为反比例函数y=-图象上一点,过点A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则△ABO的面积为 2 .?
综合能力提升练
7.如图,已知△ABC,点A在x轴上,点B在双曲线y1=(m>0,x>0)上,点C在双曲线y2=(n<0,x<0)上.关于△ABC的面积,下列说法中正确的是 (D)
A.当点A保持不动,点C,B随意移动时,△ABC的面积不变
B.当点A移动,BC保持不动时,△ABC的面积不变
C.不管点A,B,C怎么移动,△ABC的面积始终不变
D.不管点A,B,C怎么移动,只要BC与x轴平行,△ABC的面积就不变
8.(徐州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=(m≠0)的图象相交于点A(2,3),B(-6,-1),则不等式kx+b>的解集为 (B)
A.x<-6 B.-62
C.x>2 D.x<-6或09.(潍坊中考)一次函数y=ax+b与反比例函数y=,其中ab<0,a,b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是 (C)
10.(天津中考)若点A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (B)
A.y1C.y311.(怀化中考)如图,A,B两点在反比例函数y=的图象上,C,D两点在反比例函数y=的图象上,AC⊥y轴于点E,BD⊥y轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3,则k1-k2的值是 (D)
A.6 B.4
C.3 D.2
12.已知点P(1,a)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,其中a=m2+2m+3(m为实数),则这个反比例函数的图象在第 一、三 象限.?
13.已知反比例函数y=-,则有
①它的图象在第一、三象限;
②点(-2,4)在它的图象上;
③当1④若该函数的图象上有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),那么当x1以上叙述正确的是 ②③ .?
14.(宁波中考)如图,点A为函数y=(x>0)图象上一点,连接OA,交函数y=(x>0)的图象于点B,点C是x轴上一点,且AO=AC,则△ABC的面积为 6 .?
15.如图,在平面直角坐标系中,过点M(0,2)的直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=(x<0)的图象交于点P,Q.
(1)求点P的坐标;
(2)若△POQ的面积为8,求k的值.
解:(1)∵PQ∥x轴,∴点P的纵坐标为2,
把y=2代入y=,得x=3,
∴P点坐标为(3,2).
(2)∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP,
∴×|k|+×|6|=8,∴|k|=10,
又∵k<0,∴k=-10.
探究拓展突破练
16.(内江中考)已知A(-4,2),B(n,-4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)观察图象,直接写出不等式kx+b->0的解集.
解:(1)把A(-4,2)代入y=,得m=-8.
所以反比例函数的表达式为y=-.
把B(n,-4)代入y=-,得n=2.
把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b,得解得
所以一次函数的表达式为y=-x-2.
(2)令y=0,则x=-2,
∴OC=2.
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6.
(3)由图可得,不等式kx+b->0的解集为x<-4或0
第3课时 反比例函数的应用
知识要点基础练
知识点1 反比例函数在实际生活中的应用
1.(海南中考)某村耕地总面积为50公顷,且该村人均耕地面积y(单位:公顷/人)与总人口x(单位:人)的函数图象如图所示,则下列说法正确的是 (D)
A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C.若该村人均耕地面积为2公顷,则总人口有100人
D.当该村总人口为50人时,人均耕地面积为1公顷
2.随着私家车的增加,城市的交通也越来越拥挤,通常情况下,某段高架桥上车辆的行驶速度y(千米/时)与高架桥上每百米拥有车的数量x(辆)的关系如图所示,当x≥10时,y与x成反比例函数关系,当车速低于20千米/时,交通就会拥堵,为避免出现交通拥堵,高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是 03.(湖州中考)湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘.
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式;
(2)由于受场地的限制,鱼塘的宽最多只能挖20米,当鱼塘的宽是20米时,鱼塘的长为多少米?
解:(1)由长方形面积为2000平方米,得到xy=2000,即y=.
(2)当x=20时,y==100,
则当鱼塘的宽是20米时,鱼塘的长为100米.
知识点2 反比例函数与其他学科的结合
4.在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强P与它的体积V成反比例,当V=200时,P=50,则当P=25时,V= 400 .?
5.我们知道当电压一定时,电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最大电阻为200 Ω的滑动变阻器及一电流表测电源电压,结果如图所示.
(1)电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数表达式为 I= ;?
(2)当电阻在2 Ω~200 Ω之间时,电流应在 0.72 A~72 A 范围内,电流随电阻的增大而 减小 .?
6.(连云港中考)环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么?
解:(1)y=
(2)能.理由如下:
令y==1,则x=12<15,
故能在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L.
综合能力提升练
7.某长方体的体积为100 cm3,长方体的高h(单位:cm)与底面积S的函数表达式为(B)
A.h= B.h=
C.h=100S D.h=100
8.一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系,当x=2时,y=20,则y与x的函数图象大致是 (C)
9.某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数表达式为 (C)
A.I= B.I=
C.I= D.I=-
10.已知某种近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的函数表达式为y=,如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米,那么该近视眼镜的度数为 400 度.?
11.在对某物体做功一定的情况下,力F(N)与物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系,且当s=10(m)时,F=3(N).
(1)试确定F(N)与s(m)之间的函数表达式;
(2)求当力F=15(N)时,物体在力的方向上移动的距离s.
解:(1)由于力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例函数关系,所以可设F=,又当s=10时,F=3,得3=,k=30,F与s之间的函数表达式是F=.
(2)当力F=15时,15=,s=2,即物体在力的方向上移动的距离为2 m.
12.(呼伦贝尔中考)某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式;
(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间是多少小时?
解:(1)药物浓度上升阶段的解析式为y=2x(0≤x<4),
下降阶段的解析式为y=(4≤x≤10).
(2)当4=2x,解得x=2;
当4=,解得x=8,
又8-2=6(小时),
所以血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间是6小时.
探究拓展突破练
13.(丽水中考)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车的行驶时间为t小时,平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时).根据经验,v,t的一组对应值如下表:
v(千米/小时) 75 80 85 90 95
t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
(1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式;
(2)汽车上午7:30从丽水出发,能否在上午10:00之前到达杭州市场?请说明理由;
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范围.
解:(1)根据表中的数据,可画出v关于t的函数图象(如图所示),
根据图象形状,选择反比例函数模型进行尝试.设v关于t的函数表达式为v=,∵当v=75时,t=4,∴k=4×75=300.
∴v=.将点(3.75,80),(3.53,85),(3.33,90),(3.16,95)的坐标代入v=验证,=3.75,≈3.53,≈3.33,≈3.16.
∴v与t的函数表达式是v=(t≥3).
(2)∵10-7.5=2.5,∴当t=2.5时,v==120>100.
∴汽车上午7:30从丽水出发,不能在上午10:00之前到达杭州市场.
(3)由图象或反比例函数的性质得,当3.5≤t≤4时,
75≤v≤.
答:平均速度v的取值范围是75≤v≤.
