解直角三角形单元测试卷
满分150分，时间120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.2cos60°=（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB= =（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tan∠ABD= ,则线段AB的长为(??? ).
A.?????????????????????????????????????????B.?2 ????????????????????????????????????????C.?5????????????????????????????????????????D.?10
4.如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（?? ）
A.?40海里???????????????????????????B.?60海里???????????????????????????C.?20 海里???????????????????????????D.?40 海里
5.如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（?? ）
A. B.1 C. D.
6.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知 ，B点的坐标为 ，将 沿着斜边AB翻折后得到 ，则点C的坐标是（ ??）
A. B. C. D.
8.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角 ，升旗台底部到教学楼底部的距离 米，升旗台坡面CD的坡度 ，坡长 米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离 米，则旗杆AB的高度约为（??? ） （参考数据： ， ， ）
A.?12.6米????????????????????????????????B.?13.1米????????????????????????????????C.?14.7米????????????????????????????????D.?16.3米
9.如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD= ，则k的值为（?? ）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????????C.?6?????????????????????????????????????????D.?12
10.正方形 的边长 ， 为 的中点， 为 的中点， 分别与 相交于点 ，则 的长为（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.??
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________．
12.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90 °，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=________．
13.如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为 米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是________米．（结果保留根号）
14.已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC的面积等于________．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15.（8分）计算：| -2|+2cos45°- + .
16.（8分）在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A的值是方程2x2-5x+2=0的一个根,求sin A的值.
（8分）如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tanA= ?,求sinB+cosB的值.
18.（8分）如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100? 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．
19.（10分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.（参考数据： ， ， ， ， ， ）
20.（10分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】
21.（12分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： 1.414， 1.732
22.（12分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
23.（14分）如图，在直角坐标平面内，直线y=－x+5与 轴和 轴分别交于A、B两点，二次函数y= +bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且 ABP的面积为10，求点P的坐标．
解直角三角形单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.2cos60°=（?? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
解： ， 故答案为：A．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB= =（?? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3， ∴AB=5， ∴sinB= = ， 故答案为：A．
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tan∠ABD= ,则线段AB的长为(??? ).
A.?????????????????????????????????????????B.?2 ????????????????????????????????????????C.?5????????????????????????????????????????D.?10
解：∵菱形ABCD,BD=8 ∴AC⊥BD， 在Rt△ABO中， ∴AO=3 ∴ 故答案为：C
4.如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（?? ）
A.?40海里???????????????????????????B.?60海里???????????????????????????C.?20 海里???????????????????????????D.?40 海里
解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°， ∴PB=2AB， 由题意BC=2AB， ∴PB=BC， ∴∠C=∠CPB， ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°， ∴∠C=30°， ∴PC=2PA， ∵PA=AB?tan60°， ∴PC=2×20× =40 （海里）， 故答案为：D．
5.如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（?? ）
A. B.1 C. D.
解：如图，连接BC， 由网格可得AB=BC= ，AC= ，即AB2+BC2=AC2 ， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故答案为：B．
6.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=4，CP=EP． 在△OEF和△OBP中，
， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴OE=OB，EF=BP． 设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x， 又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x， ∴AF=AB﹣BF=1+x． 在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2 ， 即（1+x）2+32=（4﹣x）2 ， 解得：x= ， ∴DF=4﹣x= ， ∴cos∠ADF= ， 故答案为：C．
7.如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知 ，B点的坐标为 ，将 沿着斜边AB翻折后得到 ，则点C的坐标是（ ??）
A. B. C. D.
解： ， ， ， ≌ ， ， ， 过点C作 轴，垂直为D，则 ， ， ， ， 故答案为：C
8.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角 ，升旗台底部到教学楼底部的距离 米，升旗台坡面CD的坡度 ，坡长 米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离 米，则旗杆AB的高度约为（??? ） （参考数据： ， ， ）
A.?12.6米????????????????????????????????B.?13.1米????????????????????????????????C.?14.7米????????????????????????????????D.?16.3米
解：延长AB交地面于点H，作CM⊥DE，则四边形BHMC是矩形， ∴HM=BC=1，BH=CM， ∵ ，i=CM：DM， ∴DM=0.75CM， ∵DM2+CM2=CD2 ， ， ∴CM=1.6，DM=1.2， ∴HE=HM+DM+DE=1+1.2+7=9.2， 在Rt△AHE中，∠AEB=58°，∴tan58°= ， 即 =1.6， ∴AH=14.72， ∴AB=AH-BH=14.72-1.6=13.12≈13.1（米）， 故答案为：B.
9.如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB=4，CE=2BE，tan∠AOD= ，则k的值为（?? ）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????????????C.?6?????????????????????????????????????????D.?12
解：∵tan∠AOD= = ， ∴设AD=3a、OA=4a， 则BC=AD=3a，点D坐标为（4a，3a）， ∵CE=2BE， ∴BE= BC=a， ∵AB=4， ∴点E（4+4a，a）， ∵反比例函数y= 经过点D、E， ∴k=12a2=（4+4a）a， 解得：a= 或a=0（舍）， 则k=12× =3， 故答案为：A．
正方形 的边长 ， 为 的中点， 为 的中点， 分别与 相交于点 ，则 的长为（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.??
解：∵正方形ABCD，
∴AD=AB=BC=2，∠DAE=∠ABF=90° ∵E为AB的中点，F为BC的中点 ∴AE=BF=1 ∴ 在△ABF和△DAE中 BF=AE，∠DAE=∠ABF，AD=AB ∴△ABF≌△DAE ∴AF=DE=，∠BAF=∠ADE ∵∠BAF+∠DAM=90° ∴∠ADE+∠DAM=90° ∴∠AME=∠AMD=90° ∴ ∴ ∵AD∥BF ∴ ∴ 故答案为：C
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________．
解：如图所示： ∵∠C=90°，tanA= ， ∴设BC=x，则AC=2x，故AB= x， 则sinB= . 故答案为： ?．
12.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90 °，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=________．
解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G， ∵tan∠ABD= ， ∴ = ， 设AH=3x，则BH=4x， 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202 ， 解得，x=4， 则AH=12，BH=16， 在Rt△AHD中，HD= =5， ∴BD=BH+HD=21， ∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°， ∴∠ABD=∠CBH， ∴ = ，又BC=10， ∴BG=6，CG=8， ∴DG=BD﹣BG=15， ∴CD= =17， 故答案为：17．
13.如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为 米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是________米．（结果保留根号）
解：如图， ∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°， ∴∠A=60°，∠B=45°， 在Rt△ACD中，∵tanA= ， ∴AD= =100， 在Rt△BCD中，BD=CD=100 ， ∴AB=AD+BD=100+100 =100（1+ ）． 答：A、B两点间的距离为100（1+ ）米． 故答案为100（1+ ）．
14.已知△ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC的面积等于________．
解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D， ①如图1，当AB、AC位于AD异侧时， 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ， 在Rt△ACD中，∵AC=2 ， ∴CD= ， 则BC=BD+CD=6 ， ∴S△ABC= ?BC?AD= ×6 ×5=15 ； ②如图2，当AB、AC在AD的同侧时， 由①知，BD=5 ，CD= ， 则BC=BD-CD=4 ， ∴S△ABC= ?BC?AD= ×4 ×5=10 ． 综上，△ABC的面积是15 或10 ， 故答案为15 或10 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15.（8分）计算：| -2|+2cos45°- + .
解：原式=2-+2×-2+2=2
16.（8分）在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A的值是方程2x2-5x+2=0的一个根,求sin A的值.
解：2x2-5x+2=0得:x1=? ,x2=2,
因为∠A为锐角,
所以0所以sin A=? .
（8分）如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB=12,CD=6,tanA= ?,求sinB+cosB的值.
解：∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°. 在Rt△ACD中,CD=6,tan A=? =? ,
∴AD=4,
∴BD=AB-AD=8. 在Rt△BCD中,BC=? =10.
∴sin B=? =? ,cos B=? =? , ∴sin B+cos B=? .
18.（8分）如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100? 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．
解：∵AB=100米，α=37°， ∴BC=AB?sinα=100sin37°， ∵AD=CE=1.5米， ∴BE=BC+CE=100×sin37°+1.5≈100×0.60+1.5=61.5（米）， 答：风筝离地面的高度BE为：61.5米
19.（10分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.（参考数据： ， ， ， ， ， ）
解：由题知： ， ， .在 中， ， ， （海里）. 在 中， ，
，
（海里）. 答：还需要航行的距离 的长为20.4海里.
20.（10分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】
解：作AD⊥BC交CB的延长线于D， 设AD为x， 由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°， 在Rt△ADB中，∠ABD=45°， ∴DB=x， 在Rt△ADC中，∠ACD=35°， ∴tan∠ACD= ， ∴ = ， 解得，x≈233． 答：热气球离地面的高度约为233米．
21.（12分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： 1.414， 1.732
解：作AE⊥BC，DF⊥BC，
在Rt△DFC中， ∵∠C=30°，CD=14， ∴DF=7,CF=7 ， ∴坝高为7m； ∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD=6,AD∥BC， ∴四边形AEFD是矩形， ∴EF=AD=6，AE=DF=7, 在Rt△ABE中， ∵∠B=45°，AE=7, ∴BE=7，AB=7 ， ∴BC=BE+EF+FC=7+6+7 =13+7 ≈25.1， ∴坝底宽约为25.1m. 答：坝高为7m；坝底宽约为25.1m.
22.（12分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10， ∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10 ， ∵AB∥CF， ∴BM=BC×sin30°=10 × =5 ， CM=BC×cos30°=15， 在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°， ∴∠EDF=45°， ∴MD=BM=5 ， ∴CD=CM﹣MD=15﹣5 ．
（14分）如图，在直角坐标平面内，直线y=－x+5与 轴和 轴分别交于A、B两点，二次函数y= +bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且 ABP的面积为10，求点P的坐标．
（1）解：由直线y=－x+5得点B（0，5），A（5，0），将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，
得 ，解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-6x+5 （2）解：过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，把y=x2-6x+5配方得
∴点C（3，-4）， ∴CH=4，AH=2，AC= ∴OC=5， ∵OA=5 ∴OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∴sin∠OCA=sin∠OAC= （3）解：过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=－x+5于Q设点P（m， －6m+5），Q（m，-m+5） ∴PQ=－m+5－（ －6m+5）=－ +5m ∵S△ABP=S△PQB+S△PQA ∴ ∴ ∴ ， ∴P（1，0）（舍去），P（4，-3）
