4.1 无理数同步练习（含答案）
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文档简介
第四章 实数
1 无理数
新知识记：
1.数的判断
（1）整数的平方是整数，分数的平方是 。
（2）如果x2=5，那么X 整数， 分数， 有理数（填“是”或“不是”）
2.有理数与无理数
（1）有理数：是指 小数或 小数。
（2）无理数：是指 小数。
典例精析·拓新知
知识点一 有理数和无理数
【典例1】（2018·东台市月考）把下列各数填入相应的集合中：
…
无理数集合：｛ ｝；
负有理数集合：｛ ｝；
整数集合：｛ ｝；
分数集合：｛ ｝。
【规范解答】无理数集合：｛5.734…｝（无理数的定义）
负有理数集合：｛-22，，｝；（负有理数的定义）
整数集合：｛-22，0，（-1）100，｝；（整数定义）
分数集合：｛，，3.1415926｝。（分数定义）
学霸提醒：
有理数和无理数的区别
1.小数区别：小数中的有限小数和无限循环小数是有理数；只有无限不循环小数才是无理数。
2.分数区别：有理数都能化为分数，而无理数不能化为分数。
【变式训练】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，321，8.818181…，1.2323323332…（相邻两个2之间逐次多1个3），3，-3.24，0，-0.1010010001.
知识点二 用“夹逼法”估算无理数
【典例2】国涛同学家的客厅是面积28平方米的正方形，那么请你判定一下这个正方形客厅的边长X是不是有理数？如果不是有理数，那么边长X的取值是多少（精确到0.1）？
【规范解答】因为客厅的面积为28平方米，所以X2=28，所以X既不是整数，也不是分数，
所以X不是有理数，（有理数的意义）
因为52=25，62=36，25<28<36，所以5因为5.22=27.04，5.32=28.09，又因为27.04<28<28.09，
所以5.2因为5.292=27.9841，5.32=28.09，又因为27.9841<28<28.09,
所以5.29所以X精确到0.1时，X≈5.3（确定X的近似值）
学霸提醒
运用“夹逼法”估算无理数的“三个步骤”
估计a的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小整数即为整数部分。
确定a的十分位上的数，按同样方法寻找它在哪两个连续数之间。
按照上述方法依次确定a的百分位，千分位，……，直到精确数位，从而确定a的值。
【变式训练】边长为X的正方形的面积为15，则与X最接近的整数位（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
达标训练·夯基础
知识点一 有理数和无理数
1.（2017·长沙中考）下列实数中，为有理数的是（ ）
A. B.π C. D.1
2.（2017·襄阳中考）下列各数中，为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
3.在下列各数中，，，，，，0.3030030003…（相邻两个3之间的0的个数逐次加1），有理数有 个，无理数有 个。
知识点二 用“夹逼法”估算无理数
1.已知正数m满足条件m2=39，则m的整数部分为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.一个正方形的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在（ ）
A.4～５cm B.5～6cm C.6～7cm D.7～8cm
3.在下象棋时，如果设棋盘中每个小正方形的边长为1，则“象走田”一次的距离约是（ ）
A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8
纠错园
判断对错，并说明理由：一个直角三角形的两边长分别为6和8，则另一边一定是有理数。
解：正确。
理由：设斜边边长为X，则62+82=X2，
即X2=102，X=10
故斜边边长为有理数。
【错因】
考题变式·提能力
（2018·历下区模拟）用48cm长的篱笆材料，在空地上围成一个圆形的绿化场地，则该场地的面积是（ ）
A.整数 B.分数 C.自然数 D.无理数
母题变式
用48cm长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地。
两种场地的面积是有理数还是无理数？
选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由。
参考答案及解析
新知识记：
（1）分数 （2）不是 不是 不是
（1）有限 无限循环 （2）无限不循环
典例精析·拓新知
【典例1】【变式训练】解：有理数有：…，-3.24，0，-0.1010010001.
无理数：1.2323323332…（相邻两个2之间逐次多1个3），3π。
【典例2】【变式训练】B
达标训练·夯基础
知识点一 1.D 2.D 3. 4 2
知识点二 1.D 2.A 3.D
【纠错园】遗漏了所求边长为直角边的情况。
考题变式·提能力
D
【母题变式】解：（1）当场地是正方形时，正方形的边长为48÷4=12m，
所以正方形的面积=12×12=144m2.
当场地是圆形时，因为2πr=48，所以r=,所以S圆形=πr2=π×==m2.
所以正方形场地的面积是有理数，圆形场地的面积是无理数。
（2）围成圆形场地面积较大，理由如下：因为π<4，所以=144，
所以围成圆形场地面积较大。
1 无理数
新知识记：
1.数的判断
（1）整数的平方是整数，分数的平方是 。
（2）如果x2=5，那么X 整数， 分数， 有理数（填“是”或“不是”）
2.有理数与无理数
（1）有理数：是指 小数或 小数。
（2）无理数：是指 小数。
典例精析·拓新知
知识点一 有理数和无理数
【典例1】（2018·东台市月考）把下列各数填入相应的集合中：
…
无理数集合：｛ ｝；
负有理数集合：｛ ｝；
整数集合：｛ ｝；
分数集合：｛ ｝。
【规范解答】无理数集合：｛5.734…｝（无理数的定义）
负有理数集合：｛-22，，｝；（负有理数的定义）
整数集合：｛-22，0，（-1）100，｝；（整数定义）
分数集合：｛，，3.1415926｝。（分数定义）
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有理数和无理数的区别
1.小数区别：小数中的有限小数和无限循环小数是有理数；只有无限不循环小数才是无理数。
2.分数区别：有理数都能化为分数，而无理数不能化为分数。
【变式训练】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，321，8.818181…，1.2323323332…（相邻两个2之间逐次多1个3），3，-3.24，0，-0.1010010001.
知识点二 用“夹逼法”估算无理数
【典例2】国涛同学家的客厅是面积28平方米的正方形，那么请你判定一下这个正方形客厅的边长X是不是有理数？如果不是有理数，那么边长X的取值是多少（精确到0.1）？
【规范解答】因为客厅的面积为28平方米，所以X2=28，所以X既不是整数，也不是分数，
所以X不是有理数，（有理数的意义）
因为52=25，62=36，25<28<36，所以5
所以5.2
所以5.29
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运用“夹逼法”估算无理数的“三个步骤”
估计a的整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小整数即为整数部分。
确定a的十分位上的数，按同样方法寻找它在哪两个连续数之间。
按照上述方法依次确定a的百分位，千分位，……，直到精确数位，从而确定a的值。
【变式训练】边长为X的正方形的面积为15，则与X最接近的整数位（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
达标训练·夯基础
知识点一 有理数和无理数
1.（2017·长沙中考）下列实数中，为有理数的是（ ）
A. B.π C. D.1
2.（2017·襄阳中考）下列各数中，为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
3.在下列各数中，，，，，，0.3030030003…（相邻两个3之间的0的个数逐次加1），有理数有 个，无理数有 个。
知识点二 用“夹逼法”估算无理数
1.已知正数m满足条件m2=39，则m的整数部分为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.一个正方形的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在（ ）
A.4～５cm B.5～6cm C.6～7cm D.7～8cm
3.在下象棋时，如果设棋盘中每个小正方形的边长为1，则“象走田”一次的距离约是（ ）
A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8
纠错园
判断对错，并说明理由：一个直角三角形的两边长分别为6和8，则另一边一定是有理数。
解：正确。
理由：设斜边边长为X，则62+82=X2，
即X2=102，X=10
故斜边边长为有理数。
【错因】
考题变式·提能力
（2018·历下区模拟）用48cm长的篱笆材料，在空地上围成一个圆形的绿化场地，则该场地的面积是（ ）
A.整数 B.分数 C.自然数 D.无理数
母题变式
用48cm长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地。
两种场地的面积是有理数还是无理数？
选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由。
参考答案及解析
新知识记：
（1）分数 （2）不是 不是 不是
（1）有限 无限循环 （2）无限不循环
典例精析·拓新知
【典例1】【变式训练】解：有理数有：…，-3.24，0，-0.1010010001.
无理数：1.2323323332…（相邻两个2之间逐次多1个3），3π。
【典例2】【变式训练】B
达标训练·夯基础
知识点一 1.D 2.D 3. 4 2
知识点二 1.D 2.A 3.D
【纠错园】遗漏了所求边长为直角边的情况。
考题变式·提能力
D
【母题变式】解：（1）当场地是正方形时，正方形的边长为48÷4=12m，
所以正方形的面积=12×12=144m2.
当场地是圆形时，因为2πr=48，所以r=,所以S圆形=πr2=π×==m2.
所以正方形场地的面积是有理数，圆形场地的面积是无理数。
（2）围成圆形场地面积较大，理由如下：因为π<4，所以=144，
所以围成圆形场地面积较大。