2.1 认识无理数
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
情境引入
学习目标
1.了解无理数的基本概念．（重点）
2.借助计算器估计无理数的近似值．
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
1
导入新课
问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？
讲授新课
议一议
1.a是一个什么样的数？
不是
不是
所以 a不是有理数.
所以a2=2.
（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
（2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格
1
a
2
面积为2
2.a究竟是多少？
请同学们借助计算器进行探索
1
1.961.988 11.999 3961.999 961 64边长a 面积S
11.41.411.4141.414 2（1）边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？
为什么？
（2） a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？
事实上，a=1.414 213 56…, 它是一个无限不循环小数
想一想
估计面积为5的正方形的边长b的值，结果精确到百分位.
b=2.236067978…，它也是一个无限不循环小数
做一做
问题2：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
活动探究
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
无限不循环小数为无理数.
如π=3.14159265…，
，
0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0）
要点归纳
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，- ，0.57,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.
典例精析
. .
当堂练习
1.下列各数： 1， (相邻两个3之间0
的个数逐次加1)中，无理数的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】无限不循环小数是无理数，其中
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.
A
整数是_________________________
有理数是_______________________
无理数是_______________________
2.填空：在
认识无理数
无理数的概念及认识
课堂小结
借助计算器求无理数的近似值
2.2 平方根
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 算术平方根
情境引入
学习目标
1.了解算术平方根的概念及其性质．（重点）
2.会求一个数的算术平方根.（难点）
导入新课
观察与思考
问题：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？
5 dm
因为 52=25
讲授新课
请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
，
，
，
．
2
3
4
5
中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作“ ”，读作“根号 a ”．
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即 ．
概念学习
请大家根据算术平方根的概念，结合图形完成填空：
，
，
，
，
2
3
4
5
x＝ ;
y＝ ;
z＝ ;
w＝ .
2
解: (1)因为302＝900， 所以900的算术平方根是30， 即 ;
(2)因为12＝1， 所以1的算术平方根是1，即 ；
例1：求下列各数的算术平方根：
(1) 900；(2) 1；(3) ；(4) 14．
典例精析
(3)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ;
(4)14的算术平方根是 .
非平方数的算术平方根只能用根号表示.
例2：自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t（秒）的关系为 ．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解:将h＝19.6代入公式
，
得 ，
所以正数 (秒).
即铁球到达地面需要2秒.
典例精析
算术平方根的性质：
算术平方根具有双重非负性
(a≥0)
归纳探究
问题1：负数有算术平方根吗？
问题2：一个非负数的算术平方根可能是负数吗？
解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，又|m-1| + =0,
所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
例3 若|m-1| + =0,求m+n的值.
典例精析
当堂练习
1.填空题：
①若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ；
② 的算术平方根是 ；
③ 的算术平方根是 ；
④若 ，则 ．
7
16
49
2.求下列各数的算术平方根
（1）25； （2） ；（3）0.36 ；（4）
解：(1)因为 ，所以25的算术平方根是5，即
(2)因为 ，所以 的算术平方根是 ，
即
(3)因为 ，所以0.36的算术平方根是0.6，即
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
故每块地板砖的边长是0.5 m.
3.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
算术平方根
算术平方根的概念
课堂小结
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
2.2 平方根
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 平方根
情境引入
学习目标
1.学会进行开平方运算．（重点）
2.能够求一个数的平方根．（重点）
导入新课
观察与思考
问题：想一想-3的平方是多少？3的平方呢？
3和-3的平方都是9
讲授新课
填一填：写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
64
-11
11
0.6
0
没有
x
2
x
8
-8
4
3
4
3
-
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
121
0.36
0
-4
-0.6
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）.
平方根的定义：
平方根的表示方法、读法
被开方数
读作：正、负根号a
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0只有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根.
议一议
两种运算有什么不同？
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
x x2
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
这是什么运算？
平方运算
x2 x
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.
可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根.
平方与开平方有什么关系？
开平方的定义：
典例精析
例1 求下列各数的平方根:
(1)64 ； (2)
(4)
(5) 11.
(3)0.0004；
解：（1）∵ ，∴64的平方根为±8;
（2）∵ ，∴ 的平方根为 ;
（3）∵ ，∴0.0004的平方根为±0.02;
（4）∵ ，∴ 的平方根为 ±25;
（5）11的平方根是 .
当堂练习
2.下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0 B. 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数 的相反数
1.下列说法正确的是_________
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8.
①④⑤
B
3.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A. a+1 B.
C. a2+1 D.
D
4.已知 ，求x的值．
解：∵
∴
∴ x=12 或 x=－10.
平方根
平方根的概念
课堂小结
开平方及相关运算
平方根的性质
2.3 立方根
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
情境引入
学习目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点）
2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和
立方互为逆运算.（重点，难点）
导入新课
观察与思考
问题：要制作一种容积为27cm3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少?
设这种包装箱的边长为x cm,
那么x等于多少呢？
讲授新课
问题：(1)什么数的立方等于27？
(2)如果问题中正方体的体积为5 cm3，正方体的棱长又该是多少？
因为3的立方是27,
所以棱长为3cm.
一般地，如果一个数x的立方等于a，即 ，那么
这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）．
如：2是8的立方根，-3是-27的立方根 ，0是0的立方根．
立方根的定义：
议一议
（1）正数有几个立方根？
（2）0有几个立方根？
（3）负数有几个立方根？
注意:这个根指数3绝对不可省略.
每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号a”
如：x3=7时，x是7的立方根．
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数
典例精析
例1 求下列各数的立方根.
(1)-27； (2) ； (3) 0.
(1)因为
所以-27的立方根是-3;
(2)因为 ,
所以 的立方根是 ;
解:
(3)0的立方根是0.
( )
当堂练习
1.判断下列说法是否正确.
×
(2) 任何数的立方根都只有一个; ( )
(3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个
数一定是零; ( )
×
×
(5) 0的平方根和立方根都是0 . ( )
√
(1) 25的立方根是5; ( )
(4)一个数的立方根不是正数就是负数;
√
2.将体积分别为600 cm3和129 cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
解:因为600+129=729，
729的立方根是9，
所以正方体的棱长为9 cm.
3.求下列各式的值
解 : （1）
（2）
（3）
立方根
立方根的概念及性质
课堂小结
开立方及相关运算
2.4 估算
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
情境引入
学习目标
1.了解估算的基本方法．（重点）
2.能够运用估算解决生活中的实际问题．（难点）
导入新课
观察与思考
问题：某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2.
(1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？
1000
2000
S=400000
∵2000×1000=2000000 >400000，
∴公园的宽没有1 000m.
(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？
x
2x
S=400000
x?2x=400000,
2x2=400000,
x2=200000,
x=
大约是多少呢？
探讨交流
解：设公园的宽为x米.
所以 的值约是3.5或3.6.
讲授新课
问题：怎样估算无理数 (误差小于0.1)？
的整数部分是3，
估算无理数大小的方法：
(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数
部分；
(2)根据所要求的误差确定小数部分.
例1：生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗?
解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理
6
所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头.
当堂练习
1.通过估算，比较 与 的大小.
解：
2. 一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40m3 .如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1 m）
解：设圆柱的高为 xm，那么它的底面半径为0.5xm,则:
估算
估算的基本方法
课堂小结
估算在生活中的应用
2.5 用计算器开方
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解计算器开方的方法．（重点）
2.能够运用计算器开方比较数的大小．（重点）
导入新课
观察与思考
试着在自己的计算器里输入同样的算式
想一想开方运算要用到哪些键？
讲授新课
对于开平方运算，按键顺序为：
被开方数
=
对于开立方运算，按键顺序为：
被开方数
SHIFT
=
例1：用计算器计算：
(1) ; (2) ; (3) .
解：(1)
5.89,
(2)
(2÷7) ,
(3)
显示 2.426 932 22；
显示 0.658 633 756；
显示 －10.871 789 69.
-1285,
SHIFT
SHIFT
例2：利用计算器比较下列两数的大小.
解:
按键：
3 ，
2，
显示
显示
按键：
1.442 249 57；
1.414 213 562；
所以
与
SHIFT
任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？
计算的结果越来越接近１
试一试
改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律？
是的
当堂练习
1.用计算器比较下面两数的大小：
(1)
(2)
解:（1）
3.236 067 978；
（2） 3.339 148 045；
当堂练习
2.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（1）
解：（1）≈28.28；
（2）≈1.639；
（3）≈0.7616；
（4）≈-0.7560.
3.借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？
利用你发现的规律试写出
用计算器开方
使用计算器进行开方运算
课堂小结
用计算器开方比较数的大小
用计算器探索数的规律
2.6 实数
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解实数的意义，能对实数按要求分类．（重点）
2.了解实数范围内相关概念的意义．（重点）
3.了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上
的点表示无理数.（难点）
导入新课
观察与思考
你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
有理数
无理数
讲授新课
有理数和无理数统称为实数
即：
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实数
分数
整数
开方开不尽的数
有规律但不循环的数
正实数
负实数
数实
负有理数
正有理数
按大小分类：
0
负无理数
正无理数
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
例如：
与 互为相反数
与 互为倒数
问题：在有理数范围内，能进行哪些运算？
判断下列各式成立吗？
有理数的运算及运算律对实数仍然适用
问题：你能在数轴上找到表示 和 及 这样的无理数的点吗？
直径为1的圆
问题:边长为1的正方形,对角线长为多少?
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．
当堂练习
1.判断题：
①实数不是有理数就是无理数.（ ）
③无理数都是无限小数.（ ）
④带根号的数都是无理数.（ ）
⑤无理数一定都带根号.（ ）
⑥两个无理数之积不一定是无理数.（ ）
⑦两个无理数之和一定是无理数.（ ）
⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.（ ）
×
×
×
②无理数都是无限不循环小数.（ ）
√
√
√
√
√
【解析】因 为-3，－ ，－1为负数，小于0，所以0最大.
2.（金华·中考）在 -3，－ ， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）
A. -3 B.－ C. －1 D. 0
D
3.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ．
【解析】1＜ ＜2，2＜ ＜3，在 与 之间的整数是2.
A
B
2
实数
有理数和无理数统称实数
课堂小结
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数与数轴上的点一一对应
2.7 二次根式
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 二次根式及其化简
学习目标
1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）
2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）
导入新课
观察与思考
问题：如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC
的长是多少？
乙同学：
甲同学：
由此可见:
=
O
讲授新课
上述式子有什么共同特征？
a叫做被开方数.
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式;
都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.
⑴
⑵
(3)
(4) .
，
例1：判断下列式中哪些是二次根式.
，
解：(1)、(3)、(4)是二次根式，（2）不是二次根式.
问题：观察比较
积的算术平方根的性质
两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积
=
=
=
试着验证一下商的算术平方根是否也成立呢？
归纳：积的算术平方根等于算术平方根的积
商的算术平方根等于算术平方根的商
所以，类似 等这样的二次根式还能化简.
现在你能用上面的性质说明 吗？
最简二次根式：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
最简二次根式的条件：
①是二次根式；
②被开方数中不含分母；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
例2：化简：
解:
【解析】因为135＝15×9 , 所以要使 是整数，正整数n的最小值为15.
当堂练习
1.（自贡·中考）已知n是一个正整数， 是整数，则
n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
C
解:原式= +1-3
=3+1-3=1.
2.（淮安·中考）计算：
3. 设 ，化简下列二次根式.
解：
二次根式
二次根式的定义：形如（a≥0）的式子
课堂小结
二次根式的性质
最简二次根式
2.7 二次根式
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 二次根式的运算
学习目标
1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算.（重点）
2.灵活运用二次根式的乘法公式.（难点）
导入新课
观察与思考
下面正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释 吗？
边长
边长
讲授新课
根据什么法则化成 ?
还记得吗?
二次根式的乘法法则和除法法则
典例精析
例1：计算:
同样，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用．当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并．
典例精析
解： (1)原式=
例2：计算:
(2)原式=
(3)原式=
当堂练习
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（ ）＝10；
（ ）＝ 4；
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
B
3.已知x+y=－4,xy=2.求 的值.
解： 原式=
把 x+y=-4,xy=2 代入上式，得原式=
二次根式的运算
乘除法则
课堂小结
加减法则
乘除公式
2.7 二次根式
第二章 实数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时 二次根式的混合运算
学习目标
1.熟练掌握二次根式的综合运算.（重点、难点）
导入新课
观察与思考
如果梯形的上、下底长分别为 cm, cm，高为 cm，那么它的面积是多少？
讲授新课
例1：计算：
解：
（1）
（2）
解：
（3）
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
例2：已知 ，求
解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
解：
例3：教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.
解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论.
解：贺卡的周长为
答：李欣的彩带够用.
当堂练习
1.下列计算中正确的是（ ）
B
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：
（1）
（2）
2.计算.
解：
（3）
＝10 .
3.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.
二次根式的运算
乘除法则
课堂小结
加减法则
乘除公式
