第22章 相似形
22.1 比例线段
第1课时 相似图形与比例线段
知识要点基础练
知识点1 相似图形
1.下列叙述中,形状一定不相同的是 (C)
A.复印前后纸上对应的图形
B.用同一张底片洗出的不同尺寸的照片中对应人物的形状
C.在同一张中国地图上,表示海南岛和台湾岛的图形
D.放大镜下的图形与原来的图形
知识点2 相似多边形
2.如图所示,下列是相似多边形的是 (A)
3.五边形ABCDE相似于五边形A'B'C'D'E',它们的相似比为1∶3.(1)若∠D=135°,则∠D'= 135° ;(2)若A'B'=15 cm,则AB= 5 cm .?
知识点3 两线段的比
4.已知AB=4 cm,CD=10 cm,则AB∶CD= (A)
A.2∶5 B.5∶2
C.2∶3 D.3∶2
知识点4 成比例线段
5.下列各组线段(单位:cm)中,成比例线段的是 (C)
A.1,2,2,3
B.1,2,3,4
C.1,2,2,4
D.3,5,9,13
6.有四组线段,每组长度如下:①2,1,;②3,2,6,4;③,1,;④1,3,5,2.其中哪些是成比例线段?哪些不是?对于能成比例的线段组,各写出一个比例式.
解:①是成比例线段,可以写成2∶∶1.
②是成比例线段,可以写成3∶2=6∶4.
③是成比例线段,可以写成∶1.
④不是成比例线段.
综合能力提升练
7.如图,有三个矩形,其中是相似图形的是 (B)
A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.甲、乙和丙
8.手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽度都相等,那么,每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 (D)
9.已知点C在线段AB所在的直线上,若AB=8 cm,BC=20 mm,则AC∶AB= (C)
A.3∶4
B.5∶4
C.3∶4或5∶4
D.3∶2或7∶2
10.如果a=10 cm,b=0.2 m,c=30 mm,d=6 cm,则下列比例式成立的是 (C)
A. B.
C. D.
11.如图,在长为8 cm,宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得截下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则截下矩形的面积是 (C)
A.2 cm2 B.4 cm2
C.8 cm2 D.16 cm2
12.如图,画线段AB的垂直平分线交AB于点O,在这条垂直平分线上截取OC=OA,以A为圆心,AC为半径画弧交AB于点P,则线段AP与AB的比是 (D)
A.∶2 B.1∶
C. D.∶2
13.长度为2的线段AB被点P分成AP和BP两段,已知较长的线段BP是AB与AP的比例中项,则较短的一条线段AP的长为 3- .?
14.在①两个等腰三角形;②两个等边三角形;③两个菱形;④两个正方形;⑤两个正六边形中,一定是相似多边形的是 ②④⑤ .(只填序号)?
15.如图所示,△DEF与△ABC相似吗?为什么?
解:相似.
在△DEF中,∠F=180°-∠D-∠E=180°-80°-60°=40°,在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=180°-80°-40°=60°.
∴∠D=∠A,∠E=∠B,∠F=∠C.
又∵DE∶AB=20∶5=4,DF∶AC=27∶6.75=4,EF∶BC=32∶8=4,
∴DE∶AB=DF∶AC=EF∶BC.
∴△DEF与△ABC相似.
16.已知三个数,2,,请你再添一个数x使它们能构成一个比例式,请求出x的值,并写出相应的比例式.
解:x的值可以为÷2=,或×2÷,或2×=2.
故这个比例式为∶2=∶2或=2∶2.
拓展探究突破练
17.如图,在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路,使得相对两小路的宽均相等,如果花坛AB=20,AD=30.试问小路的宽x和y的比值为多少时,能使得小路四周所围的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似,请说明理由.
解:x∶y=3∶2.
理由:由题意知(30+2x)∶(20+2y)=30∶20,
整理得4x=6y,
所以x∶y=3∶2.
第2课时 比例的性质与黄金分割
知识要点基础练
知识点1 比例的基本性质
1.若2a=3b,则a∶b= (B)
A.2∶3 B.3∶2
C. D.1.5
知识点2 比例的合比性质
2.已知,那么代数式等于 (A)
A. B. C. D.2
3.如果,那么的值是? .?
知识点3 比例的等比性质
4.若=2,且b+d+f=4,则a+c+e= (D)
A.2 B.4
C.6 D.8
5.已知(b+d+f≠0),求的值.
解:∵(b+d+f≠0),
∴.
知识点4 比例尺
6.在比例尺为1∶6000000的中华人民共和国地图上,某市与合肥市相距5 cm,则这两个城市的实际距离为 (A)
A.300 km B.300 m
C.300 cm D.30000000 km
知识点5 黄金分割
7.已知点C是线段AB的黄金分割点,ACA.-1 B.+1)
C.3- D.-1)
综合能力提升练
8.若线段a=2 cm,b=3 cm,c=5 cm,则下列结论中正确的是 (D)
A.a,b,c的第四比例项是cm
B.a,b的比例中项是6 cm
C.a,c的比例中项是± cm
D.b,c的比例中项是 cm
9.若=6,且4b-7d+3f≠0,那么的值为 (A)
A.6 B.
C.- D.2
10.已知线段AB,点C是AB的黄金分割点,则的值是 (D)
A. B.0.618
C. D.
11.若=k,则k的值为 (C)
A.-1 B.
C.-1或 D.无法确定
12.小明由等积式5x=6y写了以下比例式:①;②;③;④.则小明写出的比例式中正确的是 (A)
A.①③ B.②③
C.②④ D.③④
13.已知a∶b∶c=2∶3∶7,且2a-b+c=12,则2a+b-3c= -21 .?
14.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB长为20 m,试计算主持人应走到离A点至少 7.6 m处最自然得体.(结果精确到0.1 m)?
15.若x∶y=2∶3,y∶z=2∶5,则x∶y∶z= 4∶6∶15 .?
16.在△ABC和△A'B'C'中,若,且△ABC的周长是12 cm,则△A'B'C'的周长为 15 cm .?
17.如果2x=5y+3z且x-y=z,求x∶y∶z.
解:根据题意,得
解关于x,y的方程组得
∴x∶y∶z=z∶∶z=2∶(-1)∶3.
18.如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果满足,那么我们称点C是线段AB的黄金分割点,若AB=1,求AC的长.
解:设AC=x,则BC=1-x,
由,得,化简得x2+x-1=0,
解得x1=,x2=(负值舍去),
即AC的长为.
拓展探究突破练
19.如图(1),点C将线段AB分成两部分,若,则点C为线段AB的黄金分割点.
某研究学习小组,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,而给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么直线l为该图形的黄金分割线.
问题解决:
如图(2)在△ABC中,若点D是AB的黄金分割点.
(1)研究小组猜想:直线CD是△ABC的黄金分割线,你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组探究发现:过点C作直线交AB于点E,过点D作DF∥CE,交AC于点F,连接EF,如图(3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.
解:(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由:令△ABC的AB边上的高为h,则.∵点D是AB的黄金分割点,∴,∴,∴直线CD是△ABC的黄金分割线.
(2)三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.理由:∵点D是AB的中点,∴AD=BD=AB,∴=1,=2,∴,∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.
(3)直线EF是△ABC的黄金分割线.∵CE∥DF,∴S△CDF=S△EDF,∴S△ACD=S△AEF,由(1)直线CD是△ABC的黄金分割线,∴直线EF是△ABC的黄金分割线.
第3课时 平行线分线段成比例定理及推论
知识要点基础练
知识点1 平行线分线段成比例定理
1.如图,l1∥l2∥l3,AB=AC,DF=10,那么DE= 4 .?
2.如图所示,如果a∥b∥c,那么
(1);
(2);
(3)CE=EB,则=().
知识点2 平行线分线段成比例定理的推论
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,,AE=2,则EC的长是 (B)
A.8
B.4
C.6
D.1
4.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,BE=3,则EC=? .?
5.如图,线段BD与CE相交于点A,ED∥BC,已知2AB=3AD,AC=8,求AE的长.
解:由2AB=3AD,得.
∵ED∥BC,∴.
∵AC=8,∴AE=AC=×8=.
综合能力提升练
6.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,现得到下列结论:
①;②;③;④.
其中正确比例式的个数有 (B)
A.4 B.3 C.2 D.1
7.(恩施中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为 (C)
A.6 B.8 C.10 D.12
8.如图,直线l1∥l2∥l3,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在l1,l2,l3上,∠ACB=90°,AC交l2于点D,已知l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,则的值为 (A)
A. B.
C. D.
9.如图,点P是?ABCD的对角线AC上的一点,过点P分别作PE∥BC,PF∥CD,交AB,AD于点E,F.下列式子中不成立的是 (C)
A. B.
C. D.
10.如图,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于 (A)
A.5∶8 B.3∶8
C.3∶5 D.2∶5
11.如图,AB∥CD∥EF,且AO=OD=DF,OE=6,则BE= 9 .?
12.(扬州中考)如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A,B,C都在横格线上.若线段AB=4 cm,则线段BC= 12 cm.?
13.如图,在△ABC中,AB=14 cm,AC=12 cm,BC=8 cm,FG∥AB,EF∥BC,若EF=2 cm,则BE=? cm,CF= 9 cm.?
14.如图,l1∥l2∥l3,直线AC,DF被这三条直线分别截于点A,B,C和D,E,F,且AB=5,BC=3,DF=10,求DE,EF.
解:∵l1∥l2∥l3,∴,
∴,解得DE=.
∴EF=DF-DE=10-.
15.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D,过点B作BE∥CD,交AC的延长线于点E.
(1)求证:BC=CE;
(2)求证:AD∶DB=AC∶CB.
证明:(1)∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.
又∵BE∥CD,
∴∠CBE=∠BCD,∠CEB=∠ACD.
∴∠CBE=∠CEB,∴BC=CE.
(2)∵BE∥CD,∴,
又∵BC=CE,∴AD∶DB=AC∶CB.
拓展探究突破练
16.如图,在△ABC中,直线DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,且AD=3 cm,BD=2 cm.
(1)请你添加一个合适的条件,能求出线段CE的长,并求出结果.
(2)请根据所学知识判断是否成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由.
(3)请根据(1)、(2)两小题的结论,直接判断△ADE与△ABC的关系,不需要证明.
解:(1)添加AE=2 cm.(本题答案不唯一)
∵DE∥BC,∴,∴,解得CE=.
(2)成立.
过点D作DF∥AC,交BC于点F,则四边形CEDF是平行四边形,∴DE=CF.
∵DF∥AC,∴,∴.
(3)△ADE与△ABC相似.
