周滚动练(22.1~22.2)
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.若抛物线y=x2-bx+c的顶点坐标是(2,-1),则b和c的值分别为 (A)
A.4和3 B.3和4
C.-4和3 D.-4和-3
2.已知,则的值是 (D)
A.- B.-
C.- D.-
3.若a=2,b=4,则a,b的比例中项是 (D)
A.2 B.-2
C.± D.±2
4.如图,过反比例函数y=(k≠0)图象上一点A作AB⊥x轴于点B,若△OAB的面积为3,则k的值为 (C)
A.-3 B.3
C.-6 D.6
5.如图,方格网的小方格是边长为1的正方形,△ABC与△A1B1C1的顶点都在格点上,则∠B+∠C1的度数是 (B)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
6.如图,若AB∥CD∥EF,则下列结论中与相等的是 (D)
A. B.
C. D.
7.如图,AB,CD相交于点O,下列条件中,不能判定△AOC与△BOD相似的是 (C)
A.∠C=∠B
B.AC∥BD
C.
D.
8.如图,P是Rt△ABC的斜边BC上不同于B,C的一定点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有 (C)
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
二、填空题(每小题4分,共12分)
9.抛物线y=-2x2-3x+5可由抛物线 y=-2x2 经过平移得到.?
10.在△ABC中,D,E分别是AC,AB边上的点,AD=3,AE=2,AC=5,当AB=? 时,△ADE与△ABC相似.?
11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(0,1)和(,0),若在第四象限存在点C,使△OBC和△OAB相似,则点C的坐标是 (,-1)或(,-3)或 .?
三、解答题(共56分)
12.(10分)(1)已知a=4,c=9,若b是a,c的比例中项,求b的值.
(2)已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4 cm,CD=5 cm,求MN的长.并思考(1),(2)两题有何区别.
解:(1)∵b是a,c的比例中项,a=4,c=9,
∴b2=4×9=36,∴b=±6.
(2)∵MN是线段,∴MN>0.
∵线段MN是AB,CD的比例中项,
∴MN2=AB·CD,
∵AB=4 cm,CD=5 cm,
∴MN=2 cm.
13.(10分)如图,反比例函数y=(a≠0)的图象与正比例函数y=bx(b≠0)的图象交于点A(-1,-2)和点B.
(1)试确定这两个函数的表达式;
(2)若点P是x轴的一动点,求PB+PA的最小值;
解:(1)∵点A(-1,-2)在反比例函数y=(a≠0)的图象上,∴-2=,a=2,∴反比例函数表达式为y=.
∵点A(-1,-2)在正比例函数y=bx(b≠0)的图象上,∴-2=-b,b=2,∴正比例函数表达式为y=2x.
(2)∵点A,点B关于原点成中心对称,∴点B坐标为(1,2),由勾股定理得OA=OB=,∴PA+PB的最小值是2.
14.(12分)如图,点C是线段AB上一点,△ACD和△BCE都是等边三角形,连接AE,BD,设AE交CD于点F.
(1)求证:△ACE≌△DCB;
(2)求证:△ADF∽△BAD.
解:(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△DCB.
(2)∵△ACE≌△DCB,∴∠CAE=∠CDB.
∵∠ACD=∠CBE=60°,
∴DC∥BE,∴∠CDB=∠DBE,
∴∠CAE=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.
又∠ADF=∠BAD,∴△ADF∽△BAD.
15.(12分)已知线段x,y.
(1)当时,求的值;
(2)当时,求的值.
解:(1)∵,∴2x+6y=3x-3y,
∴x=9y,∴=9.
(2)∵,∴xy+3y2=x2-xy,
∴x2-2xy-3y2=0,∴(x+y)(x-3y)=0,
∵x>0,y>0,∴x-3y=0,∴=3.
16.(12分)如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=a,过点D作DE垂直OA的延长线于点E.
(1)证明:△OAB∽△EDA;
(2)当a为何值时,△OAB与△EDA全等?请说明理由,并求出此时点C到OE的距离.
解:(1)如图所示,
∵OA⊥OB,∴∠1+∠2=90°,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,
∵DE⊥OA,
∴∠DEA=∠BOA=90°,
∴△OAB∽△EDA.
(2)在Rt△OAB中,AB==5,
由(1)可知∠1=∠3,∠BOA=∠DEA=90°,
∴当AD=AB=5,即a=5时,△AOB与△EDA全等.
当a=5时,可知矩形ABCD为正方形,∴BC=AB,
如图,过点C作CH⊥OE,交OE于点H,则CH就是点C到OE的距离,过点B作BF⊥CH,交CH于点F,
则∠4+∠5=90°,∠1+∠5=90°,
∴∠1=∠4,
又∵∠BFC=∠BOA,BC=AB,
∴△OAB≌△FCB,
∴CF=OA=4.
易知HF=OB=3,
∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7.
小专题(四) 相似三角形的判定方法综合
本专题主要从平行型、“A”字型、旋转型、运动型几个出题形式进行考查,其中通过判定三角形相似而得到对应边的比例关系、对应角的相等关系,通过添加辅助线构造相似三角形等题目在历年的中考中屡见不鲜.
类型1 平行型
1.如图,在?ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE.EF与CD交于点G.求证:△CEG∽ADB.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,△ADB≌△CBD,
又∵DF=BE,
∴四边形BEFD是平行四边形,
∴BD∥EF,
∴△CEG∽△CBD,∴△CEG∽△ADB.
类型2 “A”字型
2.(咸宁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;
(2)选择(1)中的一对加以证明.
解:(1)△ADE≌△BDE,△ABC∽△BCD.
(2)∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD为角平分线,
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,
在△ADE和△BDE中,
∴△ADE≌△BDE(AAS).
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD为角平分线,
∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A,
∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BCD.
类型3 旋转型
3.(安徽中考)如图1,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA,GB,GC,GD,EF,若∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
(3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求的值.
解:(1)∵GE是AB的垂直平分线,
∴GA=GB,同理GD=GC.
在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,
∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC.
(2)∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.
在△AGB和△DGC中,,∠AGB=∠DGC,
∴△AGB∽△DGC.
∴,∠AGE=∠DGF,
∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF.
(3).
22.2 相似三角形的判定
第1课时 平行线与相似三角形
知识要点基础练
知识点1 相似三角形及其表示
1.下列说法正确的是 (A)
A.全等三角形一定相似
B.相似三角形一定全等
C.平行线截三角形两边所得到的线段成比例
D.两个等腰直角三角形不一定相似
2.如果两个相似三角形的对应边分别为2和8,那么这两个三角形的相似比为 (B)
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
知识点2 由平行线得到相似三角形
3.(盐城中考)如图,点F在平行四边形ABCD的边AB上,射线CF交
DA的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有 (C)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.(天津中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为? .?
5.如图,AD∥BC,EF∥AB.求证:△AOD∽△FEC.
证明:∵AD∥BC,∴△AOD∽△BOC,
又∵EF∥AB,∴△BOC∽△FEC,
∴△AOD∽△FEC.
综合能力提升练
6.如图,在?ABCD中,E是AD延长线上一点,BE交AC于点F,交CD于点G,则下列结论中错误的是 (D)
A.△ABE∽△DGE
B.△CGB∽△DGE
C.△BCF∽△EAF
D.△ACD∽△GCF
7.如图,在?ABCD中,点E在AD上,EC交对角线BD于点F,AE∶ED=2∶1,则EF∶FC等于 (C)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.2∶3
8.如图,△ABC经平移得到△DEF,AC,DE交于点G,则图中共有相似三角形 (D)
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
9.如图,△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③.其中正确的有 (A)
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
10.(滨州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则=? .?
11.如图,在△ABC中,AB=14 cm,AC=12 cm,BC=8 cm,FG∥AB,EF∥BC,若EF=2 cm,则BE=? cm,CF= 9 cm.?
12.如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为? .?
13.如图,在△ABC中,FG∥DE∥BC,且BD=DF=FA.求证:DE+FG=BC.
证明:∵FG∥BC,∴△AFG∽△ABC,
∴,
而BD=DF=AF,∴,即FG=BC.
∵DE∥BC,∴,即DE=BC,
∴DE+FG=BC+BC=BC.
14.如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E.
求证:△ABD∽△CED.
解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°.∴∠ACF=120°.
∵CE是外角平分线,
∴∠ACE=60°.∴∠BAC=∠ACE.∴CE∥AB.
∴△ABD∽△CED.
拓展探究突破练
15.如图,点M,N分别在△ABC的边AB,AC上,MN∥BC,过顶点A作BC的平行线PQ分别交CM和BN的延长线于点P和点Q.试判断线段AP与AQ之间的数量关系,并说明理由.
解:AP=AQ.
理由:∵MN∥BC,PQ∥BC,∴PQ∥MN∥BC,∴,∵MN∥AQ,∴△BMN∽△BAQ,∴,同理,∴,∴AP=AQ.
第2课时 三角形相似的判定定理1
知识要点基础练
知识点 三角形相似的判定定理1
1.在△ABC和△DFE中,若∠A=68°,∠B=40°,∠D=68°,∠F=72°,这两个三角形 (B)
A.既全等又相似 B.相似
C.全等 D.无法判定
2.如图,点D在等边△ABC的边BC上,点E在边AC上,若∠ADE=60°,则下列与△ADE相似的是 (C)
A.△ABD
B.△ABC
C.△ACD
D.△DCE
3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,则图中相似的三角形有 △BAD∽△ACD(或△ABC∽△DAC或△ABC∽△DBA) .(写出一对即可)?
4.在△ABC和△DEF中,∠A=50°,∠B=60°,∠D=50°,当∠E= 60°或70° 时,这两个三角形相似.?
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,交AB于点E.
求证:△DME∽△BCA.
证明:∵∠C=90°,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,
∴∠C=∠ENB=∠DME=90°,
∴AC∥DN,∴∠BEN=∠A,
∵∠BEN=∠DEM,∴∠DEM=∠A.
在△DME与△BCA中,
∴△DME∽△BCA.
综合能力提升练
6.下列四个选项中的三角形与已知图中的三角形相似的是 (B)
7.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,则图中相似(不含全等)的三角形共有 (B)
A.6对
B.5对
C.4对
D.3对
8.(绵阳中考)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE∶CF= (B)
A. B.
C. D.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么在下列三角形中,与△EBD相似的三角形是 (C)
A.△ABC B.△ADE
C.△DAB D.△BDC
10.(安徽中考)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为 (B)
A.4 B.4
C.6 D.4
11.如图,△ABC中,AC=10,点D是边BC上一点,且∠CAD=∠CBA.若BC=y,CD=x,则下列最能反映y关于x的函数关系的图象是 (C)
12.如图所示,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点.下列条件能判定△ADE与△ABC相似的有 (D)
①∠ADE=∠C;②∠AED=∠B;③DE∥BC;④DE为△ABC的中位线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.如图,在等腰直角△ABC中,AC=3,P为斜边上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=45°,则CD=? .?
14.如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是 AB∥DE(答案不唯一,合理即可) .(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)?
15.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M是BC的中点,过点A作AM的垂线,交CB的延长线于点D.
求证:△DBA∽△DAC.
证明:∵∠BAC=90°,点M是BC的中点,
∴AM=CM,∴∠C=∠CAM,
∵DA⊥AM,∴∠DAM=90°,
∴∠DAB=∠CAM,∴∠DAB=∠C,
∵∠D=∠D,∴△DBA∽△DAC.
拓展探究突破练
16.阅读理解:如图1,在四边形ABCD上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.
解决问题:
(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E.
解:(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.
理由:∵∠A=55°,
∴∠ADE+∠DEA=125°.
∵∠DEC=55°,
∴∠BEC+∠DEA=125°.
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC.
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.
(2)强相似点E有两种情况,作图如下.
第3课时 三角形相似的判定定理2
知识要点基础练
知识点 三角形相似的判定定理2
1.如图,△ACD和△ABC相似需具备的条件是 (C)
A.
B.BC2=BD·AB
C.AC2=AD·AB
D.CD2=AD·BD
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①,②,③,④四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是 (B)
A.①与②相似 B.①与③相似
C.①与④相似 D.②与④相似
3.(河北中考)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (C)
4.如图,在正方形ABCD中,若E为AB的中点,则当=? 时,△AEF∽△BCE.?
5.如图,在△ABC中,已知AB=AC,D,B,C,E在同一条直线上,且AB2=BD·CE,求证:△ABD∽△ECA.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB2=BD·CE,
∴,即,
∴△ABD∽△ECA.
综合能力提升练
6.如图,在△ABC中,P为AB上的一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB,能满足△APC和△ACB相似的条件是 (D)
A.①②④ B.①③④
C.②③④ D.①②③
7.如图,D,E分别是AB,AC上的点,在下列条件中:①∠AED=∠B;②;③,能判定△ADE与△ACB相似的有 (B)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8.如图,在?ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是 (D)
A.8.2 B.6.4 C.5 D.1.8
9.下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是 (B)
10.如图,平面直角坐标系中,已知点A(8,0)和点B(0,6),点C是AB的中点,点P在折线AOB上,直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似,那么点P的坐标是 (0,3)或(1.75,0)或(4,0) .?
11.(内江中考)在△ABC中,AC=6,AB=8,点D在AC上,且AD=2,如果要在AB上找一点E,使△ADE与原三角形相似,则AE=? .?
12.(黄冈中考)如图,已知△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是四个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,且AB=2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI=? .?
13.(安徽中考)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论:①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.其中正确的是 ①③④ .(把所有正确结论的序号都选上)?
14.如图,BF,CE是△ABC的高.求证:△AEF∽△ACB.
证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠AEC=∠AFB=90°.
∵∠A=∠A,∴△ABF∽△ACE,
∴AE∶AF=AC∶AB,
∴AE∶AC=AF∶AB.
又∠A=∠A,∴△AEF∽△ACB.
15.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:∠ABC= 135° ,BC= 2 ;?
(2)判定△ABC与△DEF是否相似?
解:(2)相似.
由图知∠FED=135°,∠ABC=135°,
∴∠ABC=∠FED.
∵AB=2,DE=,∴.
又∵BC=2,EF=2,∴,
∴,∴△ABC∽△DEF.
拓展探究突破练
16.如图(1),矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,∠MPN=90°,将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB(或边AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F,当PN旋转至PC处时,∠MPN的旋转随即停止.
(1)特殊情形:如图(2),发现当PM过点A时,PN也恰好过点D.此时,△ABP ∽ △PCD(填“≌”或“∽”);?
(2)类比探究:如图(3),在旋转过程中,的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
解:(2)的值为定值.
如图,过点F作FG⊥BC于点G,则FG=2.∵∠MPN=90°,∴∠EPB+∠FPG=90°.
∵∠B=90°,∴∠EPB+∠BEP=90°.
∴∠BEP=∠FPG.
∵∠B=∠PGF=90°,∴△EBP∽△PGF.
∴.
第4课时 三角形相似的判定定理3
知识要点基础练
知识点 三角形相似的判定定理3
1.如图,已知△ABC与△DEF相似,它们的相似比为1∶2,则下列图形中,满足上述条件的△DEF是 (D)
2.如图,网格线是由相同的小正方形拼成的,有四个三角形①,②,③,④.其中相似三角形是 (D)
A.①与② B.②与④
C.①与③ D.③与④
3.在△ABC与△DEF中,若AB=7,BC=5,CA=3,DE=,EF=1,DF=, 则 (B)
A.∠A=∠D B.∠A=∠E
C.∠A=∠F D.不能确定
4.在△ABC中,已知AB=4,BC=5,AC=6.如果DE=10,那么当EF=? ,FD= 15 时,△DEF∽△ABC.?
5.如图,已知,试说明∠1=∠2.
解:因为,所以△AB'C'∽△ABC,
所以∠B'AC'=∠BAC,所以∠1=∠2.
综合能力提升练
6.下列各组三角形中,两个三角形能够相似的是(C)
A.△ABC中,∠A=42°,∠B=118°,△A'B'C'中,∠A'=118°,∠B'=15°
B.△ABC中,AB=8,AC=4,∠A=105°,△A'B'C'中,A'B'=16,B'C'=8,∠A'=100°
C.△ABC中,AB=18,BC=20,CA=35,△A'B'C'中,A'B'=36,B'C'=40,C'A'=70
D.△ABC和△A'B'C'中,有,∠C=∠C'
7.如图,O为△ABC内一点,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,图中相似三角形有 (C)
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
8.如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 (B)
9.已知△ABC的三边长分别为6,8,10;△DEF的两边长分别为18,30.当△DEF的另一边是下列哪个数值时,这两个三角形相似 (C)
A.12 B.16
C.24 D.36
10.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BE=EF=FC,则∠AFE+∠ACE= (B)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
11.△ABC的三边长分别为和2,△A'B'C'的两边长分别为1和,如果△ABC∽△A'B'C',那么△A'B'C'的第三条边长应等于 (B)
A. B.
C.2 D.2
12.如图,△PQR在边长为1个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形顶点位置,其中点A,B,C,D也是小正方形的顶点,那么与△PQR相似的是 (B)
A.以点P,Q,A为顶点的三角形
B.以点P,Q,B为顶点的三角形
C.以点P,Q,C为顶点的三角形
D.以点P,Q,D为顶点的三角形
13.如图,点D在△ABC内,连接BD并延长到点E,连接AD,AE.若,且∠CAE=29°,则∠BAD= 29° .?
14.在△ABC中,AB∶BC∶CA=2∶3∶4,在△A'B'C'中,A'B'=1,C'A'=2,当B'C'= 1.5 时,△ABC∽△A'B'C'.?
15.如图,点O是△ABC外的一点,分别在射线OA,OB,OC上取一点A',B',C',使得=3,连接A'B',B'C',C'A',所得△A'B'C'与△ABC是否相似?证明你的结论.
解:△A'B'C'∽△ABC.理由如下:
由已知=3,∠AOC=∠A'OC',
∴△AOC∽△A'OC',∴=3,
同理=3,=3.∴,
∴△A'B'C'∽△ABC.
16.如图在边长为1个单位的小正方形组成的网格中,△ABC是格点三角形(三角形的顶点是网格线的交点).
(1)画一个格点△DEF,使△DEF与△ABC相似;
(2)运用所学知识说明画图的正确性.
解:(1)如图.(本题答案不唯一)
(2)理由:由勾股定理得AB=,AC=,DE=2,DF=2,又BC=2,EF=4,所以,所以△ABC∽△DEF.
拓展探究突破练
17.如图,已知A(3,0),B(0,4),C(4,2),作CD⊥x轴于点D,连接AB,BC,AC,证明:△ABC∽△ACD.
解:∵A(3,0),B(0,4),C(4,2),
由勾股定理可得AB=5,BC=2,AC=,
∵CD⊥x轴,∴AD=1,CD=2,
∵,
∴,
∴△ABC∽△ACD.
第5课时 直角三角形相似的判定
知识要点基础练
知识点 直角三角形相似的判定
1.下列说法不正确的是 (A)
A.有一组角对应相等的两个直角三角形相似
B.有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似
C.两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D.一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似
2.判定△ABC∽△DEF,已知∠C=∠F=90°,则还应有条件 (D)
A.∠B=∠E B.
C. D.以上都正确
3.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=12,AB=15,A'C'=8,则当A'B'= 10 时,△ABC∽△A'B'C'.?
4.如图,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,由可判断△ACD∽△CBD的依据是 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 .?
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,D是AB上一点,AD=2 cm,DE⊥AB,交AC于点E.求AE的长.
解:在Rt△ABC中,
∵DE⊥AB,∴∠ADE=∠C=90°.
且∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,
∴,
∴AE=2.5 cm.
综合能力提升练
6.下列命题:①所有的直角三角形都相似;②所有的等腰直角三角形都相似;③有一个锐角相等的两个直角三角形相似;④有两边对应成比例的两个直角三角形相似.其中正确的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于点F,则图中与△AEF相似的三角形的个数是(不包括它本身) (C)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8.如图,正方形ABCD的边长为2,BE=CE,MN=1,线段MN的两个端点在CD,AD上滑动,当DM的长为多少时,△ABE与以D,M,N为顶点的三角形相似 (D)
A. B.
C. D.
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,且CD=2,DE=1,则BC的长为 (B)
A.4 B.
C.2 D.4
10.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是 (C)
A.(4,0) B.(6,2) C.(6,3) D.(4,5)
11.(包头中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E是AB上一点,且DE⊥CE.若AD=1,BC=2,CD=3,则CE与DE的数量关系正确的是 (B)
A.CE=DE
B.CE=DE
C.CE=3DE
D.CE=2DE
12.如图,△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,下列条件①∠A+∠B=90°;②AB2=AC2+BC2;③;④CD2=AD×BD中,能证明△ABC是直角三角形的有 (C)
A.①②③ B.②③④
C.①②④ D.①②③④
13.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,点P在BD上,要使△ABP∽△PDC,可再添加的条件是 ∠APB=∠PCD(答案不唯一,合理即可) .?
14.如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于点F.若AB=6,AD=12,BE=8,DF的长为 7.2 .?
15.如图,已知∠ACB=∠ABD=90°,AB=8,BC=4,当AD的长为多少时,图中的两个直角三角形相似?
解:∵∠ACB=∠ABD=90°,AB=8,BC=4,∴AC==4.
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
当时,Rt△ADB∽Rt△ABC,
∴AD=×8=;
当时,Rt△ABD∽Rt△BCA,
∴AD=×8=16.
∴当BD的长为或16时,这两个直角三角形相似.
16.如图,在△ABC中,AC=50 m,∠C=90°,BC=40 m,点P由A点开始沿AC边向点C以2 m/s的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以3 m/s的速度沿着CB匀速移动,当点Q移动到点B后,两点都停止移动.当P,Q移动多少秒时,△PCQ与△ABC相似?
解:设x秒后,△PCQ与△ABC相似.
根据题意得AP=2x m,PC=(50-2x) m,CQ=3x m.
分两种情况考虑:
当∠CPQ=∠A,∠C=∠C=90°时,△CPQ∽△CAB,
此时有,即,解得x=;
当∠CPQ=∠B,∠C=∠C=90°时,△CPQ∽△CBA,
此时有,即,解得x=.
所以移动秒或秒时,△PCQ与△ABC相似.
拓展探究突破练
17.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=4.
(1)判断这两个三角形是否相似?并说明理由.
(2)能否分别过点A,D在这两个三角形中各作一条辅助线,使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似?证明你的结论.
解:(1)不相似.理由如下:∵AB=DE=3,AC=2DF=4,
∴,且∠A=∠D=90°,∴这两个三角形不相似.
(2)能作如图所示的辅助线进行分割.
作∠BAM=∠E,交BC于点M;作∠NDE=∠B,交EF于点N.
由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN.
∵∠BAM=∠E,∠NDE=∠B,∠AMC=∠BAM+∠B,∠FND=∠E+∠NDE,
∴∠AMC=∠FND.∵∠FDN=90°-∠NDE,∠C=90°-∠B,
∴∠FDN=∠C.∴△AMC∽△FND.
