小专题(五) 相似三角形的判定与性质综合
相似三角形的性质与判定综合是安徽中考必考内容之一,主要考查利用相似三角形知识解决求线段的长度、证明线段成比例、证明角相等以及与相似三角形有关的探究题与新定义题,多与全等三角形知识相结合考查,有一定的难度,考查题型中,选择题、填空题和解答题都有可能出现.
类型1 计算线段的长度(或线段的比)
1.(泰安中考)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.
(1)证明:∠BDC=∠PDC;
(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE∶CP=2∶3,求AE的长.
解:(1)∵AB=AD,AC平分∠BAD,∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°,
∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°,∴∠BDC=∠PDC.
(2)过点C作CM⊥PD于点M,∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM,
∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P,
∴△CPM∽△APD,∴,
设CM=CE=x,∵CE∶CP=2∶3,∴PC=x,∵AB=AD=AC=1,∴,
解得x=,∴AE=1-.
类型2 证明线段成比例关系
2.如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
(1)求证:AG=GC;
(2)求证:AG2=GE·GF.
解:(1)如图,菱形ABCD中,AD=CD,∠1=∠2,DG=DG,∴△AGD≌△CGD,
∴AG=CG.
(2)如图,菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠F=∠4,由(1)得△AGD≌△CGD,∴∠3=∠4,
∴∠3=∠F,又∵∠AGF=∠AGF,∴△AGE∽△FGA,∴,即AG2=GE·GF.
类型3 证明角的关系
3.(宿迁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.
(1)求证:△BDE∽△CEF;
(2)当点E移动到BC的中点时候,求证:FE平分∠DFC.
解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,
∴∠CEF=∠BDE,∴△BDE∽△CEF.
(2)由(1)得△BDE∽△CEF,∴,
∵E是BC的中点,∴BE=CE,∴,即,
∵∠C=∠DEF,∴△EDF∽△CEF,∴∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC.
4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点E,点F在边AB上,连接CF交线段BE于点G,CG2=GE·GD.求证:∠ACF=∠ABD.
解:∵CG2=GE·GD,∴.
又∵∠CGD=∠EGC,
∴△GCD∽△GEC.
∴∠BDC=∠ACF.
∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.
∴∠ACF=∠ABD.
类型5 探究性问题
5.如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4,点P为线段BE延长线上一点,连接CP,以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F.
(1)求证:;
(2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由.
解:(1)在等腰Rt△CPD和等腰Rt△BEC中,∵∠CBE=∠CDP=45°,∠CEB=∠CPD=90°,∴△CEB∽△CPD,∴.∴.
(2)AC∥BD.
理由如下:在等腰Rt△CPD和等腰Rt△BEC中,∵∠BCE=∠DCP=45°,
∴∠BCD=∠ECP,又∵,∴△BCD∽△ECP,∴∠CBD=∠CEP=180°-∠BEC=90°,
在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CBD,∴AC∥BD.
6.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC;
(2)如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2;
(3)如图3,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.
解:(1)∵点D,F关于直线AE对称,∴DE=EF,∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.∵AB=AC,AD=AF,∴=1.∴△DAF∽△BAC.
(2)∵∠DAF=2α=∠BAC,∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF.
又∵AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF.∴BD=CF,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=2α=2×45°=90°,AB=AC,∴∠ABD=∠ACB=45°,∴∠ACF=45°.
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°.∴EF2=EC2+CF2.
∵BD=CF,DE=EF,∴DE2=EC2+BD2.
(3)还成立.理由如下:如图,∵点D,F关于直线AE对称,∴AD=AF,DE=EF,∠DAE=∠FAE=α.∴∠DAF=2α=∠BAC.∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠CAF=∠BAD.
又∵AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF.∴BD=CF,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=2α=2×45°=90°,AB=AC,∴∠ABD=∠ACB=45°,∴∠ACF=45°.
∴∠ECF=180°-∠ACB-∠ACF=90°.∴EF2=CF2+CE2.∵EF=DE,CF=BD,
∴DE2=BD2+CE2.
类型6 实际应用问题
7.(凉山中考)如图,若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂BC长2米,且与灯柱AB成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直,当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好,此时,路灯的灯柱AB高应该设计为多少米?(结果保留根号)
解:如图,延长OC,AB交于点P.∵∠ABC=120°,∴∠PBC=60°,
∵∠OCB=∠A=90°,∴∠P=30°,∵AD=20米,∴OA=AD=10米,
∵BC=2米,∴在Rt△CPB中,PB=2BC=4米,由勾股定理得PC=2米,
∵∠P=∠P,∠PCB=∠A=90°,∴△PCB∽△PAO,∴,
∴PA==10米,∴AB=PA-PB=(10-4)米.
答:路灯的灯柱AB高应该设计为(10-4)米.
小专题(六) 相似三角形的辅助线添作技巧
本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三角形,运用相似三角形的知识来解决数学问题.添作辅助线的方法有:添作平行线、添作垂线、连接线段等.
类型1 巧添平行线求线段的比
1.如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC上,BE与AD交于点F,且BD=DC,AE∶AC=1∶3,求的值.
解:过点A作AG∥BC交BE的延长线于点G,则△AEG∽△CEB,△AFG∽△DFB,
∴,又BD=DC,
∴AG=BD,∴=1.
2.如图,在?ABCD中,E是BC的中点,在AB上截取BF=FA,EF交BD于点G,求BG∶GD的值.
解:过点E作EM∥AB交BD于点M,则△BFG∽△MEG,∴.
∵AB∥CD,∴EM∥CD,∵BE=EC,∴BM=MD,∴EM=CD,∵BF=FA,∴BF=AB,
∵AB=CD,∴,
∵BM=MD,∴BG∶GD=2∶8=1∶4.
类型2 巧连线段证线段之间的关系
3.如图,在正方形ABCD中,M为AD中点,以M为顶点作∠BMN=∠MBC,MN交CD于点N.
求证:DN=2NC.
解:延长MN,BC交于点E,连接MC,设AB=2a,则AM=a,BM=a.
由△BAM≌△CDM,则BM=MC,且∠BCM=∠CBM=∠BMN.
∴△BMC∽△BEM.
∴,即,∴BE=a,∴CE=BE-BC=a-2a=a.
∵四边形ABCD为正方形,∴∠D=∠DCB=90°,即∠D=∠NCE=90°.
∵∠DNM=∠CNE,∴△MDN∽△ECN,∴=2,即DN=2NC.
4.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处(AE为折痕,点E在CD上),在AD上截取DG,使DG=CF.求证:
(1)△ABF∽△FCE;
(2)BD⊥GE.
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°,∴∠BAF+∠BFA=90°,由折叠的性质可得∠AFE=∠ADC=90°,∴∠CFE+∠BFA=90°,
∴∠BAF=∠CFE,∴△ABF∽△FCE.
(2)由(1)知,又EF=ED,AF=AD,FC=GD,∴.
又∵∠BAD=∠GDE=90°,∴△BAD∽△GDE,∴∠ADB=∠DEG,又∠ADB+∠BDC=90°,∠DEG+∠BDC=90°,∴BD⊥GE.
类型3 巧添垂线求线段的长
5.如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,点F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,求MN的长.
解:过点F作FH⊥AD于点H,交ED于点O,
则FH=AB=2,∵BF=2FC,BC=AD=3,∴BF=AH=2,FC=HD=1,
∴AF==2,∵OH∥AE,∴,∴OH=AE=,∴OF=FH-OH=2-,∵AE∥FO,
∴△AME∽FMO,∴,即,
∴AM=AF=,∵AD∥BF,∴△AND∽△FNB,∴,∴AN=AF=,∴MN=AN-AM=.
类型4 巧添垂线求线段的比
6.如图,在△ABC中,AB=AC,E,F,G分别是BC,AB,AC上一点,∠FEG=2∠B.
(1)求证:∠BFE=∠AGE;
(2)若,求的值.
解:(1)∵2∠B+∠A=180°,∴∠FEG+∠A=180°,∴∠BFE=∠AGE.
(2)过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥AC于点N,∴△EMF∽△ENG,
∴,易证△EBM∽△ECN,∴,∴.
7.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC<60°,D为BC延长线上一点,E为∠ACD内部一点,且∠ABE=∠ECD=45°,求的值.
解:作AF⊥BC于点F,BG⊥CE交EC的延长线于点G.∵AB=AC,∴BF=FC=BC.∵∠ABE=∠ECD=∠BCG=45°,∴∠CBG=45°,BG=BC=BF.
又∵∠ABF=∠EBG,∴Rt△ABF∽Rt△EBG,∴,∴.
8.如图,将一个直角三角板的直角顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点E,且AD=10,DC=8,求AP∶PE的值.
解:过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,易证△APM∽△EPN,
则AP∶PE=PM∶PN=AD∶DC=10∶8=5∶4.
22.3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质定理1及应用
知识要点基础练
知识点1 相似三角形的性质定理1
1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3∶4,则△ABC与△DEF对应中线的比为 (A)
A. B. C. D.
2.若△ABC∽△DEF,且AB=2 cm,DE= cm,则对应角平分线的比为 3∶2 .?
3.如图,已知△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是这两个三角形的高,EF,E'F'分别是这两个三角形的中位线,相等吗?为什么?
解:相等.理由如下:
∵EF,E'F'分别是这两个三角形的中位线,
∴,
∴.
又∵△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是这两个三角形的高,
∴,
∴.
知识点2 相似三角形的性质定理1的简单应用
4.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中标注的尺寸,如果物体AB的高度为36 cm,那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 (A)
A.16 cm B.24 cm
C.18 cm D.12 cm
5.如图,一个人拿着一把厘米刻度尺,站在距电线杆30 m的地方,把手臂向前伸直,刻度尺竖直,尺上从0~12 cm部分刚好遮住电线杆,若手臂的长为60 cm,求电线杆的高度.
解:如图标注字母,过点O作OF⊥CD于点F,交AB于点E,则AB=0.12 m,OE=0.6 m,OF=30 m.
∵AB∥CD,∴△OAB∽△OCD,
∴,
∴,∴CD=6 m.
综合能力提升练
6.顺次连接三角形三边的中点,所成的三角形与原三角形对应高的比是 (D)
A.1∶4 B.1∶3 C.2∶1 D.1∶2
7.一张等腰三角形纸片,底边长15 cm,底边上的高长22.5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是 (C)
A.第4张 B.第5张
C.第6张 D.第7张
8.已知D,E分别是△ABC中的AB,AC边上一点,DE∥BC,且AD∶BD=4∶5,那么△ADE与△ABC的对应高的比等于 (D)
A. B. C. D.
9.如图,菱形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,连接CE,CF交对角线BD于点M,N,连接EF,则BM∶EF= (C)
A.1∶1 B.1∶2
C.2∶3 D.3∶2
10.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为 (B)
A.9米 B.10米
C.11米 D.12米
11.已知△ABC与△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A',BC=6,AC=8,A'B'=20,则△A'B'C'的斜边上的高为? .?
12.(安顺中考)如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为? .?
13.如图,路灯距地面8米,身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处,沿OA所在的直线行走14米到点B.小明从A处走到B处时人影的长度减小了 3.5 米.?
14.如图,矩形ABCD中,AD=3 cm,AB=a cm(a>3),动点M,N同时从点B出发,分别沿B→A,B→C运动,速度是1 cm/s,过点M作直线QM垂直于AB,分别交AN,CD于点P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)若a=4 cm,t=1 s,则PM=? cm;?
(2)若a=5 cm,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比.
解:(2)连接PD,PB,过P点作PE⊥AD于点E,作PF⊥BN于点F,∵若△PNB∽△PAD,则,又∵PF=MB,PE=MA,∴,即,解得t=2,所以当t=2秒时,△PNB∽△PAD,相似比为2∶3.
15.如图,已知∠A=∠CBD=90°,Rt△ABC∽Rt△BDC,AB=3,AC=4.
(1)求BD,CD的长;
(2)过点B作BE⊥DC于点E,求BE的长.
解:(1)BD=,CD=.
(2)3.
拓展探究突破练
16.如图所示,已知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC,AC的长分别是3 cm和4 cm,分别采用(1),(2)两种剪法,剪出一块正方形铁片,为使所得的正方形面积最大,问哪一种剪法好?为什么?
解:由勾股定理得AB==5,图(1)中设正方形的边长为x,根据相似三角形的性质有,解得x=,此时面积为cm2.图(2)中设正方形的边长为y,直角三角形斜边上的高为,根据相似三角形的性质有,解得y=,此时面积为 cm2,所以图(1)剪得的正方形面积较大.
第2课时 相似三角形的性质定理2、3及应用
知识要点基础练
知识点1 相似三角形的性质定理2
1.△ABC与△DEF的相似比为1∶4,则△ABC与△DEF的周长比为 (C)
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶16
2.如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9,那么它们的周长比是 4∶9 .?
3.已知△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为7∶9,若△ABC的周长为56 cm,那么△A'B'C'的周长为 72 cm .?
知识点2 相似三角形的性质定理3
4.已知△ABC∽△DEF,且相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的面积比是 (A)
A.1∶4 B.4∶1
C.1∶2 D.2∶1
5.如果两个相似三角形的相似比是2∶3,较小三角形的面积为4 cm2,那么较大三角形的面积为 9 cm2.?
6.如图,在△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S四边形BCED=1∶2,BC=2,求DE的长.
解:∵S△ADE∶S四边形BCED=1∶2,
∴S△ADE∶S△ABC=1∶3.
又DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴,即,
∴DE=2.
综合能力提升练
7.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为 (A)
A.8,3 B.8,6
C.4,3 D.4,6
8.如图,△ABC是等边三角形,它被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等份,则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 (C)
A. B.
C. D.
9.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 (A)
A.1∶3 B.2∶3
C.∶2 D.∶3
10.两个相似三角形,他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15,周长较小的三角形的最小边为3,则周长较大的三角形的面积是(D)
A.48 B.50
C.52 D.54
11.如图,圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形),已知桌面的直径为1.2米,桌面距地面1米,若灯泡距离地面3米,则地上的阴影部分的面积为 (B)
A.0.36π平方米
B.0.81π平方米
C.2π平方米
D.3.24π平方米
12.(遵义中考)如图,△ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是 (A)
A.4.5
B.5
C.5.5
D.6
13.如图,在△ABD中,∠ACB=90°,直线EF∥BD,交AB于点E,交AC于点G,交AD于点F,若S△AEG=S四边形EBCG,则=? .?
14.(内江中考)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线,且CM⊥AB,M为垂足,AM=AB.若四边形ABCD的面积为,则四边形AMCD的面积是 1 .?
15.(娄底中考)如图,?ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是 9 .?
16.(孝感中考)如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1,△2,△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC的面积是 144 .?
17.如图,在△ABC中,ED交AB于点E,交AC于点D,,且△ABC与△ADE的周长之差是16,求△ABC和△ADE的周长.
解:设△ABC的周长与△ADE的周长分别为a,b,
∵,且∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADE.
∴,
∴3a-5b=0①;
由题意得a-b=16②,
联立①②并解得a=40,b=24.
即△ABC和△ADE的周长分别为40,24.
18.如图,AC∥BD,AB和CD相交于点E,AC=6,BD=4,F是BC上一点,S△BEF∶S△EFC=2∶3.
(1)求EF的长;
(2)如果△BEF的面积为4,求△ABC的面积.
解:(1)∵AC∥BD,∴,
∵△BEF和△EFC同高,且S△BEF∶S△EFC=2∶3,
∴,
∴,即,
∴△BEF∽△BAC,
∴,即EF=×6=.
∴EF=.
(2)∵△BEF∽△BAC,
∴,
∴S△ABC=25.
拓展探究突破练
19.如图,D,E分别是△ABC的边BC,AB上的点,△ABC,△BDE,△ACD的周长依次为m,m1,m2.
(1)当∠2=∠3,BD=BC时,求的值;
(2)当∠1=∠2,BD=BC时,求的值.
解:(1)∵∠2=∠3,
∴DE∥AC,
∴△BDE∽△BCA,
∴,
由BD=BC,得,即.
(2)∵∠1=∠2,∠C是公共角,
∴△ACD∽△BCA,∴,
∴,由BD=BC,得DC=BC,
∴.
