22.4 图形的位似变换
第1课时 位似图形及性质
知识要点基础练
知识点1 位似图形
1.下列判断中,正确的是 (B)
A.相似图形一定是位似图形
B.位似图形一定是相似图形
C.全等的图形一定是位似图形
D.位似图形一定是全等图形
2.如图,△ABC经过位似变换得到△DEF,点O是位似中心且OA=AD,则△ABC与△DEF的相似比是 (D)
A.1∶6
B.1∶5
C.1∶4
D.1∶2
3.如图,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,已知四边形EFGH的面积是3,则四边形ABCD的面积是 12 .?
4.如图△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1∶2,已知DE=4,则AB的长是 2 .?
知识点2 作位似图形
5.如图,△DEF是△ABC经过位似变换得到的,位似中心是点O,请确定点O的位置,如果OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,求它们的相似比.
解:连接AD,CF交于点O,则点O即为所求.
∵OC=3.6 cm,OF=2.4 cm,
∴OC∶OF=3∶2,
∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.
6.如图,在6×8的网格中,每个小正方形的边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
(1)在图中△ABC的内部作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似中心为点O,位似比为1∶2;
(2)连接(1)中的AA',则线段AA'的长度是? .?
答案图
解:(1)如图,△A'B'C'为所作.
综合能力提升练
7.关于对位似图形的表述,下列命题正确的有 (B)
①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;
②位似图形一定有位似中心;
③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;
④位似图形上任意一组对应点P,P'与位似中心O的距离满足OP=k·OP'.
A.①②③④ B.②③④
C.②③ D.②④
8.如图,以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A'B'C'D',若OA=4,OA'=8,则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的周长的比为 (A)
A.1∶2 B.1∶4
C.2∶1 D.4∶1
9.如图6×7的方格中,点A,B,C,D是格点,线段CD是由线段AB位似放大得到的,则它们的位似中心是点 (C)
A.P1 B.P2
C.P3 D.P4
10.(六盘水中考)“标准对数视力表”对我们来说并不陌生,如图是视力表的一部分,其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形 (B)
A.左上 B.左下
C.右下 D.以上选项都正确
11.(漳州中考)如图,在10×10的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,以点A为位似中心画四边形AB'C'D',使它与四边形ABCD位似,且相似比为2.
(1)在图中画出四边形AB'C'D';
(2)填空:△AC'D'是 等腰直角 三角形.?
解:(1)如图,四边形AB'C'D'即为所求图形.
12.(安徽中考)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)把△ABC先向右平移4个单位,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1;
(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2.
答案图
解:(1)如图.
(2)如图.
13.如图,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'位似,相似比k1=2,四边形A'B'C'D'和四边形A″B″C″D″位似,相似比k2=1.四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗?相似比是多少?
解:∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'位似,
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.
∵四边形A'B'C'D'和四边形A″B″C″D″位似,
∴四边形A'B'C'D'∽四边形A″B″C″D″.
∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD.
∵对应顶点的连线过同一点,
∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形.
∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'位似,相似比k1=2,四边形A'B'C'D'和四边形A″B″C″D″位似,相似比k2=1,
∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的相似比为.
拓展探究突破练
14.如图△ABC中,AB=80 cm,高CD=60 cm,矩形EFGH中E,F在AB边上,G在BC边上,H在三角形内,且EF∶GF=2∶1.
(1)在△ABC内画出矩形GFEH的位似形,使其顶点在△ABC的边上.(保留作图痕迹)
(2)求所作的矩形的面积.
解:(1)矩形GFEH的位似形其长与宽的比为2∶1,设其宽为x,则长为2x,
根据相似三角形的性质可知①,②,
两式左右两边分别相加得=1.
解得x=24,,
∴,
由此先找出点I,然后作出IJ⊥AB于点J,作IK∥AB交AC于点K,再过点K作KL⊥AB于点L,连接各顶点,四边形IJLK即为所求.所画图如下所示.
(2)由(1)可知,该矩形的长为48,宽为24.
∴所作的矩形的面积=24×48=1152.
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
知识要点基础练
知识点1 位似图形的坐标变化规律
1.如图,已知△OAB与△OA'B'是相似比为1∶2的位似图形,点O为位似中心,若△OAB内一点P(x,y)与△OA'B'内一点P'是一对对应点,则点
P'的坐标为 (B)
A.(-x,-y)
B.(-2x,-2y)
C.(-2x,2y)
D.(2x,-2y)
2.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心.若AB=1.5,则DE= 4.5 .?
3.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的一半,则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为? .?
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC与△A'B'C'顶点的横、纵坐标都是整数.若△ABC与△A'B'C'是位似图形,则位似中心的坐标是 (8,0) .?
知识点2 坐标平面内图形的位似作图
5.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).
(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2.
答案图
解:(1)△A1B1C1如图所示.
(2)△A2B2C2如图所示.
综合能力提升练
6.如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为 (A)
A.(3,2) B.(3,1)
C.(2,2) D.(4,2)
7.如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是2,则点B的横坐标是 -2.5 .?
8.如图,在直角坐标系中,△ABC的各顶点坐标为A(-1,1),B(2,3),C(0,3).现以坐标原点为位似中心,作△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC的相似比为.则点A的对应点A'的坐标为? .?
9.如图,A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,点B,D在y轴正半轴上,△ABD是△COD关于点D的位似图形,且△ABD与△COD的相似比是1∶3,△ABD的面积为1,则该反比例函数的表达式为 y= .?
10.(遂宁中考)如图,直线y=x+1与x轴、y轴分别交于A,B两点,△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1︰2,则点B'的坐标为 (3,2)或(-9,-2) .?
11.(滨州中考)在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为C(2,3),D(1,0).现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为 (4,6)或(-4,-6) .?
12.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(1,2),B(3,1)(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1,请画出△O1A1B1;
(2)请以O为位似中心在y轴右侧画出△O1A1B1的位似图形,使它与△O1A1B1的相似比为2∶1;
(3)点P(a,b)为△OAB内一点,请直接写出位似变换后的对应点P'的坐标为 (2a+2,2b) .?
解:(1)如图,△O1A1B1即为所求.
(2)如图,△O2A2B2即为所求.
13.(眉山中考)已知,如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,-3),B(3,-2),C(2,-4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1;
(2)以点C为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1,并直接写出点A2的坐标.
答案图
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求,A2(-2,-2).
拓展探究突破练
14.如图,网格中每个小正方形的边长均为1,且点A,B,C,P均为格点.
(1)在网格中作图:以点P为位似中心,将△ABC的各边长放大为原来的两倍,A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1;
(2)若点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(3,2),则(1)中点C1的坐标为 2.8 .?
解:(1)所画图形如图,其中△A1B1C1即为所求.
