周滚动练(23.1)
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(云南中考)sin 60°的值为 (B)
A. B.
C. D.
2.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则cos α的值是 (C)
A. B.
C. D.
3.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OD=2∶1,则△ABC和△DEF的面积比为 (A)
A.4∶1 B.2∶1
C.2∶3 D.∶1
4.比较sin 70°,cos 70°,tan 70°的大小关系是 (D)
A.tan 70°
B.cos 70°C.sin 70°D.cos 70°5.如图,下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 (C)
A.∠ABD=∠ACB
B.∠ADB=∠ABC
C.
D.AB2=AD·AC
6.已知α是锐角,cos α=,则tan α的值是 (B)
A. B.2
C.3 D.
7.在△ABC中,若∠A,∠B满足+(1-tan B)2=0,则∠C的大小是 (D)
A.45° B.60° C.75° D.105°
8.某商场以每件10元的进价新进一批商品,定价为每件20元时,每天可卖出50件.市场调查发现:这种商品如果每件降价1元,每天可多卖5件.则该商场每天销售该商品的利润y(元)与售价x(元)(10≤x≤20)之间的函数表达式是 (C)
A.y=x[50+5(20-x)]
B.y=(x-10)(50+5x)
C.y=(x-10)[50+5(20-x)]
D.y=(x-10)[50+5(x-20)]
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,那么sin B=? .?
10.已知∠A+∠B=90°,若sin A=,则cos B=? .?
11.(无锡中考)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan ∠BOD的值等于 3 .?
12.如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,且函数图象经过点(-1,0),则下列结论中①abc<0;②2a+b=0;③4a-2b+c>0;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根是x=-1.正确的结论是 ①④ .(只填序号)?
三、解答题(共52分)
13.(8分)计算下列各题.
(1)sin 60°-4cos230°+sin 45°·tan 60°;
解:原式=-4×
=-3+
=-3.
(2)|2-tan 60°|-(π-3.14)0++tan 27°·tan 63°.
解:原式=|2-|-1+4++1
=2--1+4++1=6.
14.(10分)已知点A(m,-2m)在一次函数y=-x+1的图象上,且点A关于x的对称点A'在反比例函数y=(k≠0)的图象上,试确定反比例函数的表达式.
解:∵点A(m,-2m)在一次函数y=-x+1的图象上,∴-2m=-m+1,解得m=-1,∴点A坐标为(-1,2),∴点A关于x的对称点A'的坐标为(-1,-2),∵点A'(-1,-2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,∴-2=,k=2,∴反比例函数的表达式为y=.
15.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,求cos A,sin B,tan B的值.
解:∵sin A=,
∴设AB=13x,BC=12x,
∴AC==5x,
∴cos A=,
sin B=cos A=,
tan B=.
16.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.
(1)求sin B的值;
(2)如果CD=,求BE的长.
解:(1)∵∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,
∴CD=BD,∴∠B=∠BCD,
∵AE⊥CD,∴∠CAH+∠ACH=90°,
又∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACH=90°,
∴∠B=∠BCD=∠CAH,
∵AH=2CH,
∴由勾股定理,得AC=CH,
∴sin B=sin ∠CAH=.
(2)由sin B=,∵CD=,∴AB=2CD=2,∴AC=2,∴BC==4.
∵∠B=∠CAH,∴sin ∠CAH=,
∴AE=CE,由CE2+AC2=(CE)2,解得CE=1.
∴BE=BC-CE=3.
17.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,正方形AEFG的顶点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上(不与顶点重合),边FG与矩形ABCD的边AD交于点H.
(1)求证:BC=AB+CF;
(2)若矩形ABCD的周长是20,CF=2x.
①用含x的代数式表示AB,并指出x的取值范围;
②求DH的长(用含x的式子表示).
解:(1)∵正方形AEFG,∴AE=EF,∠AEF=90°,∴∠BEA+∠CEF=90°,∵矩形ABCD,∴∠B=∠C=90°,∴∠BEA+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△BAE≌△CEF,∴BA=CE,BE=CF,∵BC=BE+CE,∴BC=AB+CF.
(2)①∵矩形ABCD的周长是20,∴AB+BC=10,由(1)得BA=CE,∴AB+BE+AB=10,AB==5-x,由解得0②∵∠EFG=90°,∴∠CFE+∠DFH=90°,∵∠CFE+∠CEF=90°,∴∠CEF=∠DFH,∵∠C=∠D=90°,∴△CEF∽△DFH,∴,CE=AB=5-x,DF=CD-CF=5-x-2x=5-3x,CF=2x,∴,DH=.
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第1课时 正切
知识要点基础练
知识点1 正切的意义
1.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=12,AC=5,那么tan B等于 (B)
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,各边长度都同时扩大为原来的2倍,则锐角A的正切值 (C)
A.扩大2倍 B.缩小一半
C.不变 D.不确定
知识点2 坡角与坡度
3.某水坝的坡度i=1∶2,坡面AB=20米,则坝的高度为 (C)
A.10米 B.40米 C.4米 D.8米
4.某小山坡的坡长为200米,山坡的高度为100米,则该山坡的坡度为 1∶ ,坡角为 30° .?
综合能力提升练
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,则tan A·tan B的值一定 (D)
A.小于1 B.不小于1
C.大于1 D.等于1
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若CD∶AC=2∶3,则tan ∠BCD的值是 (A)
A. B. C. D.
7.如图,一人乘雪橇沿坡比为1∶的斜坡笔直滑下72米,那么他下降的高度为 36 米.?
8.如图,在边长相同的小正方形网格中,
点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则的值为 3 ,tan ∠APD的值为 2 .?
9.甲坡面的坡度为1∶3,乙坡面的坡度为1∶4,则 甲 坡面比较陡.?
10.如图,P(12,a)在反比例函数y=的图象上,PH⊥x轴于点H,则tan∠POH的值为? .?
11.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB的中线,已知CD=5,AC=6,则tan ∠DCB的值为? .?
探究拓展突破练
12.如图,把n个长为1的正方形拼接成一排.
(1)易得tan ∠BA1C=1,求tan ∠BA4C;(写出求解过程)
(2)按此规律,写出tan ∠BAnC= .(用含n的代数式表示)?
解:(1)如图,过点C作CE⊥A4B于点E,易得∠A4BC=∠BA4A1,
故tan ∠A4BC=tan ∠BA4A1=,
在Rt△BCE中,由tan ∠A4BC=,
得BE=4CE,而BC=1,则BE=,CE=,而A4B=,
所以A4E=A4B-BE=,在Rt△A4EC中,tan ∠BA4C=.
(2)根据前面的规律,不难得出tan ∠BA1C=,tan ∠BA2C=,
tan ∠BA3C=,tan ∠BA4C=,
则可得规律tan ∠BAnC=.
第2课时 正弦和余弦
知识要点基础练
知识点1 正弦的意义
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,sin A=,则AC的长为 (C)
A.6 B.7.5
C.8 D.12.5
知识点2 余弦的意义
2.(湖州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos B的值是 (A)
A. B. C. D.
知识点3 锐角的三角函数
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,试求锐角A的三角函数值.
解:在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,
∴AB2=AC2+BC2=45,
∴AB=3.
∴sin A=,cos A=,tan A=.
综合能力提升练
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D.若AC=,BC=2,则sin ∠ACD的值为 (A)
A. B.
C. D.
5.(乐山中考)如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cos A的值为 (D)
A. B.
C. D.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为点E,则sin ∠CAD= (A)
A. B. C. D.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则tan B的值为 (C)
A. B. C. D.
8.已知AE,CF是锐角△ABC的两条高,若AE∶CF=3∶2,则sin ∠BAC∶sin ∠ACB等于 2∶3 .?
探究拓展突破练
9.如图,在菱形ABCD中,AC=6,BD=8.
(1)求sin ∠ABD.
(2)小明发现∠ABC=2∠ABD,于是他推测:sin ∠ABC=2sin ∠ABD,它的推测正确吗?请通过本题图形中的数据予以说明.
解:(1)设AC,BD交于点O,则AO⊥BO,AO=3,BO=4,根据勾股定理得AB==5,
所以sin ∠ABD=.
(2)不正确.
理由:如图,作AE⊥BC,垂足为E,菱形ABCD的面积=AC×BD=BC×AE,
即×6×8=5×AE,得AE=,所以sin ∠ABC=.
由(1)得sin ∠ABD=,所以2sin ∠ABD=2×≠sin ∠ABC,即小明的推测不正确.
第3课时 30°,45°,60°角的三角函数值
知识要点基础练
知识点1 30°,45°,60°角的三角函数值
1.(天津中考)cos 60°的值等于 (D)
A. B.1
C. D.
2.下列关系中正确的是 (C)
A.sin 60°B.sin 30°>cos 30°
C.cos 45°=sin 45°
D.tan 30°知识点2 根据特殊角三角函数值确定锐角的度数
3.已知α为锐角,如果sin α=,那么α等于 (B)
A.30° B.45°
C.60° D.不确定
4.已知∠A是锐角,若cos A=,则∠A的余角的度数为 30° .?
知识点3 特殊角三角函数值的运算
5.计算sin245°+tan 60°·cos 30°值为 (B)
A.1 B.2
C.3 D.4
6.计算:
(1)sin 45°+cos 45°-tan 30°·sin 60°;
解:原式=.
(2)sin260°+cos260°-tan 30°·tan 60°.
解:原式==1-1=0.
综合能力提升练
7.已知α为锐角,sin(α-20°)=,则α= (D)
A.20° B.40°
C.60° D.80°
8.将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处,使斜边CD∥AB.则α的余弦值为 (A)
A. B.
C. D.1
9.在△ABC中,若cos A=,tan B=,则这个三角形一定是 (D)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
10.(重庆中考)计算6tan 45°-2cos 60°的结果是(D)
A.4 B.4
C.5 D.5
11.在△ABC中,∠B,∠C是锐角,且=0,则∠A= (B)
A.100° B.105°
C.90° D.60°
12.(青海中考)如图所示,小芳在中心广场放风筝,已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的),且拉线与水平地面的夹角为60°.若小芳的身高忽略不计,则风筝离水平地面的高度是 50 米.(结果保留根号)?
13.已知α是锐角,tan α=2cos 30°,那么α= 60° .?
14.(烟台中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则sin=? .?
15.计算:
(1)4sin 60°-2cos245°-|1-|;
解:4sin 60°-2cos245°-|1-|=4×-2×-(-1)=2-1-+1=.
(2)tan 45°·sin 45°-4sin 30°·cos 45°+sin 60°.
解:tan 45°·sin 45°-4sin 30°·cos 45°+sin 60°=1×-4×.
16.已知α为锐角,sin (α+15°)=.计算-4cos α+tan α+的值.
解:∵sin (α+15°)=,∴α=45°,
∴-4cos α+tan α+=2-2+1+3=4.
17.如图,在△ABC中,∠C=90°,且sin A=,BC=,求AC.
解:∵∠C=90°,且sin A=,
∴∠A=60°,
∴tan A=,
∴,
解得AC=.
18.(丽水中考)数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等.于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B,C,E在同一直线上,若BC=2,求AF的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
解:在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30°,
∴AC==2,
则EF=AC=2,
在Rt△CEF中,∠E=45°,
∴FC=EF·sin E=2,
∴AF=AC-FC=2.
探究拓展突破练
19.我们规定:sin (-x)=-sin x,cos (-x)=cos x,sin (x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y.
(1)求sin (-30°)和cos (-60°);
(2)求sin 15°的值.
解:(1)sin (-30°)=-sin 30°=-,cos (-60°)=cos 60°=.
(2)sin 15°=sin (60°-45°)=sin [60°+(-45°)]=sin 60°·cos (-45°)+cos 60°·sin (-45°)=
第4课时 互余两角的三角函数关系
知识要点基础练
知识点 互余的两个锐角的正、余弦值的关系
1.若锐角α满足sin α=cos 32°,则α等于 (B)
A.32° B.58°
C.66° D.无法确定
2.已知锐角α满足cos α=,则sin (90°-α)的值为 (B)
A. B.
C. D.
3.sin272°+sin218°的值是 (A)
A.1 B.0
C. D.
综合能力提升练
4.若cos(36°-α)=,则sin(54°+α)的值是 (B)
A. B.
C. D.
5.∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角,则sin等于 (A)
A.cos B.sin
C.cos C D.cos
6.如图,A(3,0),B(0,4),且∠1=∠2,则cos β=? .?
7.已知sin 55°≈0.8192,cos 55°≈0.5736,则sin 35°≈ 0.5736 ,cos 35°≈ 0.8192 .?
8.已知α,β为锐角,且sin(90°-α)=,sin β=,求的值.
解:由题意得,cos (90°-β)=sin β=,cos α=sin(90°-α)=,∴原式=.
探究拓展突破练
9.对于锐角α,我们规定:sin2α+cos2α=1.在△ABC中,∠C=90°,若sin A+sin B=,求sin A-sin B的值.
解:∵sin A+sin B=,
∴(sin A+sin B)2=sin2A+2sin A·sin B+sin2B=,∵在△ABC中,∠C=90°,
∴sin B=cos A,
∴(sin A+sin B)2=sin2 A·2sin A·sin B+cos2 A=1+2sin A·sin B=,∴2sin A·sin B=,
∴(sin A-sin B)2=sin2A-2sin A·sin B+sin2B=sin2A-2sin A·sin B+cos2A=1-2sin A·sin B=1-,
故sin A-sin B=±.
第5课时 一般锐角的三角函数值
知识要点基础练
知识点1 用计算器求一般锐角的三角函数值
1.利用计算器求tan 27°27'的值,以下按键顺序正确的是 (D)
A.27tan=
B.tan27=
C.2ndFtan-127D·M'S27D·M'S=
D.tan27D·M'S27D·M'S=
2.利用计算器进行计算:cos 40°23'≈ 0.7617 .(结果精确到万分位)?
知识点2 已知函数值用计算器求锐角
3.已知sin A=0.25,则锐角A等于 (C)
A.30° B.14°48'
C.14°28'39″ D.15°
知识点3 三角函数大小比较
4.当锐角A>45°时,sin A的值 (B)
A.小于 B.大于
C.小于 D.大于
5.下列式子正确的是 (B)
A.sin 55°B.sin 55°>cos 36°
C.sin 55°=cos 36°
D.sin 55°+cos 36°=1
综合能力提升练
6.用计算器验证,下列不等式中成立的是 (B)
A.sin 37°24'>cos 37°24'+cos 3°10'
B.cos 45°32'>sin 45°-sin 1°12'
C.sin 63°47'D.2sin 30°12'7.计算sin 20°-cos 20°的值是(保留四位小数) (C)
A.-0.5976 B.0.5976
C.-0.5977 D.0.5977
8.若三个锐角α,β,γ满足sin α=0.848,cos β=0.454,tan γ=1.804,则α,β,γ的大小关系为(C)
A.β<γ<α B.α<β<γ
C.α<γ<β D.β<α<γ
9.如图,为测量一幢大楼的高度,在地面上距离楼底O点20 m的点A处,测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°,则这幢大楼的高度为(结果精确到0.1 m) (C)
A.42.8 m B.42.80 m
C.42.9 m D.42.90 m
10.如果∠A为锐角,且sin A=0.6,那么 (B)
A.0°C.45°11.(陕西中考)tan38°15'≈ 2.03 .(精确到0.01)?
12.已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AO=2,BO=5,则∠ABC约为 43.6° .(精确到0.1°)?
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,a∶c=3∶5,运用计算器计算∠A的度数为 37° .(精确到1°)?
探究拓展突破练
14.(1)用计算器计算并比较sin 25°+sin 46°与sin 71°之间的大小关系;
(2)若α,β,α+β都是锐角,猜想sin α+sin β与sin(α+β)的大小关系;
(3)请借助如图的图形证明上述猜想.
解:(1)sin 25°+sin 46°>sin 71°.
∵sin 25°+sin 46°=0.423+0.719=1.142,sin 71°=0.956,
∴sin 25°+sin 46°>sin 71°.
(2)sin α+sin β>sin(α+β).
(3)sin α+sin β=,sin(α+β)=,
∵OA>OB,
∴,
∴.
∵AB+BC>AE,
∴.
∴sinα+sin β>sin(α+β).
