周滚动练(23.2)
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是 (C)
A.5sin 36° 米 B.5cos 36° 米
C.5tan 36° 米 D.10tan 36° 米
2.如果反比例函数y=的图象经过点(-1,2),那么k的值是 (C)
A.- B. C.-2 D.2
3.(绥化中考)某楼梯的侧面如图所示,已知BC的长约为3.5,∠BCA约为29°,则该楼梯的高度AB可表示为 (A)
A.3.5sin 29° B.3.5cos 29°
C.3.5tan 29° D.
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,,BC=10,则DE等于 (A)
A.4 B.5 C.6 D.
5.(温州中考)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cos α=,则小车上升的高度是 (A)
A.5米 B.6米
C.6.5米 D.12米
6.如图,山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米,此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°,则铁塔AB的高为 (B)
A.3米 B.6米
C.3米 D.2米
7.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是 (C)
8.(玉林中考)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上,此时轮船与灯塔P的距离是 (B)
A.15海里 B.30海里
C.45海里 D.30海里
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.在△ABC中,∠C=90°,b=,三角形的面积为,则斜边c=? ,∠A的度数为 45° .?
10.(邵阳中考)如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°.n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,则火箭在这n秒中上升的高度 20-20 km.?
11.如图,斜坡AB的坡度i=1∶2,坡脚B处有一棵树BC,某一时刻测得树BC在斜坡AB上的影子BD的长度为10米,这时测得太阳光线与水平线的夹角为60°,则树BC的高度为 2+4 米.(结果保留根号)?
12.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,OC=1,P是AB边上一动点,当△OPB是直角三角形时,BP=? .?
三、解答题(共48分)
13.(10分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,若BC=14,AD=12,tan ∠BAD=,求sin C的值.
解:∵在Rt△ABD中,tan ∠BAD=,
∴BD=AD·tan ∠BAD=12×=9,
∴CD=BC-BD=14-9=5,
∴AC==13,
∴sin C=.
14.(12分)(济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α.
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.
解:(1)∵新坡面的坡度为1∶,
∴tan α=tan ∠CAB=,
∴∠α=30°.
(2)文化墙PM不需要拆除.理由如下:
过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6米,
∵坡面BC的坡度为1∶1,新坡面的坡度为1∶,
∴BD=CD=6米,AD=6米,
∴AB=AD-BD=(6-6)米,
∵6-6<8,
∴文化墙PM不需要拆除.
15.(12分)学完解直角三角形的知识后,小明运用所学知识测量底部不能到达的大树AB的高度(如图).
下面是小明的测量步骤:
第一步:在地面的C处测得大树顶端A的仰角为α;
第二步:沿CB方向前进a米到达D处;
第三步:在D处测得大树顶端A的仰角为β.
(1)请在已知图上画出测量示意图,并标注出相关的数据;
(2)若α=30°,β=45°,a=20 m,求大树AB的高度.(精确到1 m)
(参考数据:≈1.41,≈1.73)
解:(1)如图所示.
(2)设AB=x m,在Rt△ABC中,∵tan 30°=,∴BC=x.
在Rt△ABD中,∵tan 45°=,∴BD==x.
∵BC=CD+BD,∴x=20+x,x=10(+1)≈27(m).
答:大树AB的高度约为27 m.
16.(14分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是斜边AB的中点,点E,F分别在边AC,BC上.
(1)如图1,若DE⊥DF,求证:AE=CF;
(2)如图2,若AC=BC=4,CE∶AE=1∶3,∠EDF=45°,求BF的长.
解:(1)连接CD.∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°,
∵点D是斜边AB的中点,∴CD=AD,∠BCD=∠ACD=∠A=45°,∵DE⊥DF,∴∠CDF+∠CDE=90°,∵∠CDE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠CDF,∴△ADE≌△CDF,∴AE=CF.
(2)∵CE∶AE=1∶3,AC=4,∴CE=1,AE=3,由勾股定理得AB==4,∴AD=BD=2,∵∠EDF=45°,
∴∠ADE+∠BDF=135°,∵∠ADE+∠AED=135°,∴∠AED=∠BDF,∵∠A=∠B,∴△ADE∽△BFD,∴,即,∴BF=.
小专题(七) 求锐角三角函数值的方法
求锐角三角函数值的方法较多,且方法灵活,是中考中常见的题型,可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下:①直接根据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度,然后带入三角函数公式计算即可;②若已知两边的比值或一个三角函数值,而不能直接求出对应边的长,则可采用设元的方法求解;③利用互余两角的三角函数表达式,改求其余角的三角函数值;④当直接用三角函数定义求某锐角的三角函数值较为困难时,可通过相等角进行转换求解.
类型1 利用定义直接求三角函数值
1.(金华中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tan A的值是 (A)
A. B. C. D.
2.(兰州中考)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 (C)
A. B.
C. D.
3.在平面直角坐标系中,有一点P(2,5),连接OP,且OP与x轴正半轴的夹角为α,则sin α=? ,cos α=? ,tan α=? .?
类型2 巧设参数求三角函数值
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是 (C)
A. B.2
C. D.
5.若a,b,c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且a∶b∶c=1∶,则cos B的值为 (B)
A. B.
C. D.
6.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cos A=,BE=4,则tan ∠DBE的值是 2 .?
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).
(1)求证:AC=AF;
(2)求tan ∠CAE的值.
解:(1)∵∠C=90°,∴EC⊥AC.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,
∴EC=EF.
在Rt△ACE和Rt△AFE中,EC=EF,AE=AE,
∴Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF.
(2)∵点F是AB的一个三等分点(AF>BF),设BF=x,AF=2x,则AC=2x,AB=3x.
在Rt△ACB中,由勾股定理,得BC=x.
∵tan B=,
∴在Rt△EFB中,EF=BF·tan B=,
∴CE=EF=,
∴tan ∠CAE=.
类型3 利用互余两角三角函数关系求值
8.已知在△ABC中,∠C=90°,若sin B=,则cos A的值为 (C)
A. B. C. D.
9.在△ABC中,∠A,∠B为锐角,且有sin A=cos B,则这个三角形是 (B)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
类型4 利用等角转换求三角函数值
10.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1.6,BC=1.2,CD⊥AB,垂足为D,则tan ∠BCD的值是? .?
11.(咸宁中考)如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sin α=? .?
类型5 借助网格求三角函数值
12.如图,在正方形网格中,∠AOB如图放置,则cos ∠AOB的值为 (D)
A. B.2 C. D.
13.如图所示,在4×8的矩形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,则tan ∠BAC的值为 (A)
A. B.1 C. D.
类型6 巧添辅助线求三角函数值
14.在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的正弦值是 (D)
A. B. C. D.
15.如图,在正方形网格中,∠AOB的正切值是? .?
16.在6×7网格中,点A,B,C都在网格线的交点上,则cos B的值是 (B)
A. B. C. D.
17.如图,在△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,∠ADC=45°,BD=2DC,求sin ∠ABC和sin ∠BAD的值.
sin ∠ABC=,sin ∠BAD=
18.一个等腰三角形的腰是10,底边是12,求这个三角形顶角的正弦值、余弦值和正切值.
解:如图所示,作AD⊥BC于点D,作CE⊥AB于点E.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=6.
在Rt△ABD中,AD==8.
又∵S△ABC=AB·CE=BC·AD,
∴10×CE=12×8,CE=9.6.
在Rt△ACE中,AE==2.8.
∴sin ∠BAC==0.96,cos ∠BAC==0.28,tan ∠BAC=.
23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,BC=3,下列结论中错误的是 (C)
A.AC=3 B.∠A=30°
C.∠A=60° D.∠B=60°
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,若CD⊥AB于点D,且BD=4,AD=9,则tan A=? .?
知识点2 已知一条边和一个锐角解直角三角形
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,tan A=,则边BC的长是 (C)
A.2 B.2.5 C.3 D.4
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=9.求AB的长和tan B的值.
解:∵在△ABC中,∠C=90°,cos A=,
∴AB==15,
∴BC==12,
∴tan B=.
知识点3 构造直角三角形
5.在锐角△ABC中,AC=6,BC=5,sin A=,则tan B= (D)
A. B. C. D.
6.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tan A=,则CD=? .?
综合能力提升练
7.在△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1) (C)
A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
8.在△ABC中,AD是高,AD=2,BD=2,CD=2,则∠BAC的度数为 (C)
A.105° B.15°
C.15°或105° D.60°
9.如图,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为点E,sin A=,则下列结论:①DE=6 cm;②BE=2 cm;③菱形面积为60 cm2;④BD=4 cm.正确的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为 3+ .?
11.如图,在Rt△ABC中,AC=12,斜边AB=13,延长AB到点D,使BD=AB,连接CD,则tan ∠BCD=? .?
12.如果等腰三角形的腰与底边的比是5∶6,那么底角的余弦值等于? .?
13.在△ABC中,∠C=90°,b+c=30,∠A-∠B=30°,解这个直角三角形.
解:∵在△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠A=60°,∠B=30°.
∵sin B=,b+c=30,
∴b=10,c=20,∴a=10.
14.等腰△ABC的底边BC=20,面积为,求各角的大小.(结果精确到1')
解:作AD⊥BC,垂足为点D.
∵AB=AC,∴BD=CD=BC=×20=10.
又∵S△ABC=BC·AD=,∴AD=.
在Rt△ABD中,tan B=,
∴∠B≈18°26',∴∠C≈18°26',∠BAC=180°-2×18°26'=143°8'.
15.(包头中考)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若sin A=,求AD的长.
(本题中的计算过程和结果均保留根号)
解:(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tan A=,
∴∠E=30°,BE=6tan 60°=6,
又∵∠CDE=90°,CD=4,∠E=30°,
∴CE=8,
∴BC=BE-CE=6-8.
(2)∵∠ABE=90°,AB=6,sin A=,
∴设BE=4x,则AE=5x,AB=3x,
∴3x=6,解得x=2,
∴BE=8,AE=10,
∴tan E=,即,解得DE=,
∴AD=AE-DE=10-.
探究拓展突破练
16.在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,请画出所有可能情况的示意图,并求出CP的长.
解:(1)如图1,∠ABP=30°,∵∠ABC=60°,∴∠ACB=30°,
∵BC=6,∴AB=3,∴AC=3,
在Rt△BAP中,tan 30°=,AP=ABtan 30°=3×,∴CP=3=2.
(2)如图2,由图1知AB=3,又∠ABP=30°,∴AP=,
∴CP=3=4.
(3)如图3,∵∠ABC=∠ABP=30°,∠BAC=90°,∴∠C=∠P,∴BC=BP,∵∠C=60°,∴△CBP是等边三角形,
∴CP=BC=6.
故CP的长为2或4或6.
第2课时 仰角、俯角与方位角
知识要点基础练
知识点1 利用仰角、俯角解决实际问题
1.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α,AC=7 m,则树高BC为(用含α的代数式表示) (C)
A.7sin α m
B.7cos α m
C.7tan α m
D. m
2.如图,在高出海平面120米的悬崖顶A处,观测海面上的一艘小船B,并测得它的俯角为30°,那么船与观测者之间的水平距离为 120 米.(结果用根号表示)?
3.如图,两幢大楼AB,CD之间的水平距离(BD)为20米,为测得两幢大楼的高度,小王同学站在大楼AB的顶端A处测得大楼CD顶端C的仰角为60°,测得大楼CD的底部D的俯角为45°,试求大楼AB和CD的高度.(精确到1米,≈1.41,≈1.73)
解:过点A作AE⊥CD于点E,则四边形ABDE是矩形,∴AB=DE,AE=BD=20.
在Rt△ADE中,∵tan 45°=,∴DE=20×1=20=AB,
在Rt△ACE中,∵tan 60°=,∴CE=20×=20,
∴CD=DE+CE=20+20≈55.
答:大楼AB的高度是20米,大楼CD的高度约为55米.
知识点2 利用方位角解决实际问题
4.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 (A)
A.250米 B.250米
C.米 D.500米
5.王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10 m到B处,再从B处向正南方走20 m到C处,此时遥控汽车离A处 10 m.?
6.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,则它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处?(参考数据:≈1.732,结果精确到0.1海里)
解:如图,由题得AC⊥PC,∠APC=60°,∠BPC=45°,AP=20海里,
在Rt△APC中,PC=AP·cos ∠APC=10海里,AC=AP·sin ∠APC=10海里,
在Rt△PBC中,∵∠BPC=45°,
∴△PBC为等腰直角三角形,
∴BC=PC=10海里,∴AB=AC-BC≈7.3海里.
答:轮船向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处.
综合能力提升练
7.(泰安中考)如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin 68°≈0.9272,sin 46°≈0.7193,sin 22°≈0.3746,sin 44°≈0.6947) (B)
A.22.48 B.41.68
C.43.16 D.55.63
8.(烟台中考)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,向前走20米到达A'处,测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,≈1.414,tan 67.5°=2.414) (C)
A.34.14米 B.34.1米
C.35.7米 D.35.74米
9.(河北中考)如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域,甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是 (D)
A.北偏东55° B.北偏西55°
C.北偏东35° D.北偏西35°
10.如图,一渔船由西向东航行,在点A测得小岛C位于北偏东60°的方向,前进20海里到达点B,这时测得小岛C位于北偏东30°的方向,则小岛C到航线AB的距离CD等于 10 海里.?
11.如图,从热气球C上测得两建筑物A,B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时气球的高度CD为90米,且点A,D,B在同一直线上,求建筑物A,B间的距离.
解:在Rt△ACD中,AD==90米.
在Rt△BCD中,BD==30米,
∴AB=AD+BD=120米.
12.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查,一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向上,C岛在北偏东15°方向上,航行100海里到达B岛,在B岛测得C岛在北偏东45°方向上,求B,C两岛及A,C两岛的距离.(≈2.45,≈1.41,结果保留整数)
解:由题意知∠BAC=45°,∠FBA=30°,∠EBC=45°,AB=100海里,过点B作BD⊥AC于点D,
∵∠BAC=45°,∴△BAD为等腰直角三角形,
∴BD=AD=50海里,∠ABD=45°,
∵∠CBD=60°,∴∠C=30°,
∴在Rt△BCD中,BC=2BD=100≈141(海里),CD=BD=50海里,
∴AC=AD+CD=50+50≈193(海里).
答:B,C两岛的距离约为141海里,A,C两岛的距离约为193海里.
探究拓展突破练
13.(鄂州中考)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60°,再继续向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB=2米,∠BCA=30°,且B,C,D三点在同一直线上.
(1)求树DE的高度;
(2)求食堂MN的高度.
解:(1)由题意,得AF∥BC,∴∠FAC=∠BCA=30°,
∴∠EAC=∠EAF+∠CAF=30°+30°=60°.
∵∠ACE=180°-∠BCA-∠DCE=180°-30°-60°=90°,
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE=180°-60°-90°=30°.
在△ABC中,∵∠BCA=30°,AB=2,∴AC=2AB=4.
在△ACE中,∵∠AEC=30°,AC=4,∴EC=AC=4.
在△CDE中,∵sin ∠ECD=,∠ECD=60°,EC=4,
∴ED=4sin 60°=4=6.
答:树DE的高度为6米.
(2)延长NM交BC于点G,则GB=MA=3.
在△ABC中,BC==2.
在△CDE中,CD==2.
∴GD=GB+BC+CD=3+2+2=3+4.
在△GDN中,∵∠NDG=45°,∴NG=GD=3+4.
∴MN=NG-MG=3+4-2=1+4.
答:食堂MN的高度为(1+4)米.
第3课时 解直角三角形在建筑工程中的应用
知识要点基础练
知识点1 堤坝问题
1.如图是一水库大坝横断面的一部分,坝高h=7.5 m,迎水斜坡AB=12.5 m,斜坡的坡角为α,则tan α的值为(D)
A. B.
C. D.
2.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为2米,则这个坡面的坡度为 1∶2 .?
3.如图,水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为4∶3,背水坡坡比(CF与BF的长度之比)为1∶2,CD=AE=15 m,求大坝截面的周长.
解:∵DE∶AE=4∶3,AE=15 m,
∴DE=20 m,
∴AD==25 m,
∵CF∶BF=1∶2,CF=20 m,
∴BF=40 m,BC==20 m,
∴AD+CD+BC+AB=(110+20) m.
答:大坝截面的周长为(110+20) m.
知识点2 其他建筑问题
4.如图,市政府准备修建一座高AB=4.5 m的过街天桥,已知天桥的坡比为3∶4,则坡面AC的长度为 (A)
A.7.5 m B.6.5 m
C.6 m D.4 m
5.某市为改善交通状况,修建了大量的高架桥.一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A开始行驶,行驶了150米到达点B,则这时汽车离地面的高度为 75 米.?
6.如图,有一段斜坡BC长为10米,坡角∠CBD=12°,为方便残疾人的轮椅车通行,现准备把坡角降为5°.
(1)求坡高CD;
(2)求斜坡新起点A与原起点B的距离(精确到0.1米).
参考数据
sin 12°≈0.21
cos 12°≈0.98
tan 5°≈0.09
解:(1)在Rt△BCD中,CD=BCsin 12°≈10×0.21=2.1(米).
答:坡高2.1米.
(2)在Rt△BCD中,BD=BCcos 12°≈10×0.98=9.8(米),
在Rt△ACD中,AD=≈23.33(米),
AB=AD-BD≈23.33-9.8=13.53≈13.5(米).
答:斜坡新起点与原起点的距离为13.5米.
综合能力提升练
7.(重庆中考)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84) (A)
A.5.1米 B.6.3米
C.7.1米 D.9.2米
8.(金华中考)一座楼梯的示意图如图所示,BC是铅垂线,CA是水平线,BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要 (D)
A.平方米 B.平方米
C.平方米 D.(4+4tan θ)平方米
9.某数学兴趣小组的同学进行测量大树CD高度的综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD的高度约为 8.1 米.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73)?
10.某中学要修建一座图书楼,为改善安全性能,把楼梯的倾斜角由原来设计的42°改为36°.已知原来设计的楼梯长为4.5 m,在楼梯高度不变的情况下,调整后的楼梯多占地面 0.80 m.(精确到0.01 m,参考数据:sin 42°≈0.669,cos 42°≈0.743,tan 42°≈0.900,sin 36°≈0.588,cos 36°≈0.809,tan 36°≈0.727)?
11.(安徽中考)如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡角α=60°,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)
解:作AF⊥BC于点F,
由题知,在Rt△ABF中,α=60°,
∴AF=AB·sin 60°=20×=10(m).
在Rt△AEF中,β=45°,
∴AE==10(m),
答:改造后的坡长AE为10 m.
12.(黄冈中考)在黄冈长江大桥的东端一处空地上,有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示).已知标语牌的高AB=5 m,在地面的点E处,测得标语牌点A的仰角为30°,在地面的点F处,测得标语牌点A的仰角为75°,且点E,F,B,C在同一直线上.求点E与点F之间的距离.(计算结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,tan 75°≈3.73)
解:过点F作FM⊥AE于点M.∵∠AFB=75°,∠E=30°,
∴∠EAF=45°.
在Rt△ABE中,AB=5,∠E=30°,∴AE=2AB=10 m.
设MF=x m,则在Rt△EMF中,EF=2x,EM=x.在Rt△AMF中,AM=MF=x.
又∵AE=AM+EM,∴x+x=10.∴x=5(-1).∴EF=2x=10(-1)≈7.3 m.
∴点E与点F之间的距离为7.3 m.
探究拓展突破练
13.如图,梯形ABCD是一个拦河坝的截面图,坝高为6米.背水坡AD的坡角α为45°,为了提高河坝的抗洪能力,防汛指挥部决定加固河坝,若坝顶CD加宽0.8米,新的背水坡EF的坡度为1∶1.4,河坝总长度为500米.
(1)求完成该工程需要多少立方米土?
(2)某工程队在加固600立方米土后,采用新的加固模式,这样每天加固方数是原来的2倍,结果只用11天就完成了大坝加固的任务,请你求出该工程队原来每天加固多少立方米土.
解:(1)过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥AB于点H,
由题意得EH=DG=6米,GH=DE=0.8米,
∵tan 45°=,∴AG=6米,
∵,∴FH=8.4米,
∴FA=FH+GH-AG=8.4+0.8-6=3.2(米),
∴S梯形ADEF=(ED+FA)·EH=×(0.8+3.2)×6=12(平方米),
∴V=12×500=6000(立方米).
答:完成该工程需要6000立方米土.
(2)设原来每天加固x立方米土,根据题意,
得=11,
解得x=300,
经检验,x=300是原方程的解.
答:该工程队原来每天加固300立方米土.
