1.1 不等式的性质
一、选择题
1.若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( )
A.＞ B.＞
C.|a|＞|b| D.a2＞b2
解析 取a＝－2，b＝－1，则＞不成立，选A.
答案 A
2.已知a＞b，则下列不等式成立的是( )
A.a2－b2≥0 B.ac＞bc
C.|a|＞|b| D.2a＞2b
解析 A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立；当0＞a＞b时，C不成立；由a＞b知2a＞2b成立，故选D.
答案 D
3.设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C.若0＜a1＜a2，则a2＞
D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
解析 利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断.
设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错.
答案 C
4.已知实数x，y满足ax
A.> B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C.sin x>sin y D.x3>y3
解析 先依据指数函数的性质确定出x，y的大小，再逐一对选项进行判断.因为0y.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，<1，A不成立.B中，当x＝0，y＝－1时，ln 1答案 D
5.设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A.b－a>0 B.a3＋b3<0
C.a2－b2<0 D.b＋a>0
解析 ∵a－|b|>0，∴a>|b|>0.
∴不论b正或b负均有a＋b>0.
答案 D
二、填空题
6.已知60解析 x－y＝x＋(－y)，所以需先求出－y的范围；
＝x×，所以需先求出的范围.
∵28∴－33<－y<－28，<<.
又60即<<3.
答案 (27，56)
7.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.
解析 利用不等式求解.
因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.
因为a2＋b2＋c2＝1，
所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，
所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，
所以3a2≤2，所以a2≤，
所以－≤a≤，所以amax＝.
答案
三、解答题
8.已知a，b∈(0，＋∞)且a≠b，比较＋与a＋b的大小.
解 ∵－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)
＝＝，
∵a，b∈(0，＋∞)且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
∴>0，∴＋>a＋b.
9.已知a，b∈R，求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
证明 (a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)
＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)
＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]
＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，
∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
10.已知α，β满足
试求α＋3β的取值范围.
解 设α＋3β＝λ(α＋β)＋v(α＋2β)
＝(λ＋v)α＋(λ＋2v)β.
比较α、β的系数，得
从而解出λ＝－1，v＝2.
分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
1.2.1 绝对值不等式
一、选择题
1.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 利用三角不等式直接求解.
∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
答案 C
2.若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A.5或8 B.－1或5
C.－1或－4 D.－4或8
解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a.
(1)当－1≤－，即a≤2时，
f(x)＝
易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即1－＝3.
所以a＝－4.
(2)当－1>－，即a>2时，
f(x)＝
易知函数f(x)在x＝－处取最小值，即－1＝3，故a＝8.综上a＝－4或8.
答案 D
3.如果存在实数x，使cos α＝＋成立，那么实数x的集合是( )
A.{－1，1} B.{x|x<0，或x＝1}
C.{x|x>0，或x＝－1} D.{x|x≤－1，或x≥1}
解析 由|cos α|≤1，所以≤1.
又＝＋≥1.
∴＋＝1，当且仅当|x|＝1时成立，即x＝±1.
答案 A
4.正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|＜|b－c|，则( )
A.ad＝bc B.adC.ad>bc D.ad与bc大小不定
解析 ∴a＋d＝b＋c，
∴a2＋2ad＋d2＝b2＋2bc＋c2，
a2＋d2－b2－c2＝2bc－2ad，
∵|a－d|<|b－c|，
∴a2－2ad＋d2a2＋d2－b2－c2<2ad－2bc，
∴3bc－2ad<2ad－2bc，
即ad>bc.
答案 C
5.已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：
①f(0)＝f(1)＝0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.
若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|A. B.
C. D.
解析 先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解.
取y＝0，则|f(x)－f(0)|<|x－0|，即|f(x)|取y＝1则|f(x)－f(1)|<|x－1|，
即|f(x)|<(1－x).∴|f(x)|＋|f(x)|要使|f(x)－f(y)|∴k的最小值为.
答案 B
二、填空题
6.已知－2≤a≤3，－3解析 ∵－3又－2≤a≤3，∴－6答案 (－6，3]
7.x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________.
解析 利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x|＋|x－1|是数轴上的点x到原点和点1的距离之和，所以|x|＋|x－1|≥1，当且仅当x∈[0，1]时取“＝”.
同理|y|＋|y－1|≥1，当且仅当y∈[0，1]时取“＝”.
∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2.
而|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，
∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，
此时x∈[0，1]，y∈[0，1]，∴(x＋y)∈[0，2].
答案 [0，2]
三、解答题
8.已知|x＋1|<，|y－2|<，|z＋3|<，
求证：|x＋2y＋z|<ε.
证明 |x＋2y＋z|＝|x＋1＋2(y－2)＋z＋3|
≤|x＋1|＋|2(y－2)|＋|z＋3|
＝|x＋1|＋2|y－2|＋|z＋3|<＋＋＝ε.
∴|x＋2y＋z|<ε.
9.若a，b∈R，且|a|＋|b|<1，证明方程x2＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1.
证明 法一 设方程x2＋ax＋b＝0的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，有a＝－(x1＋x2)，b＝x1x2，
代入|a|＋|b|<1得|x1＋x2|＋|x1x2|<1，①
若用|x1|－|x2|≤|x1＋x2|对①式作放缩代换，有
|x1|－|x2|＋|x1|·|x2|<1，
即(|x1|－1)(|x2|＋1)<0.
∵|x2|＋1>0，得|x1|－1<0，∴|x1|<1.
若用|x2|－|x1|≤|x1＋x2|对①式作放缩代换，有|x2|－|x1|＋|x1|·|x2|<1.
同理，由(|x2|－1)(|x1|＋1)<0，得|x2|<1.
因此，方程x2＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1.
法二 假设方程x2＋ax＋b＝0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x1|≥1，则根据一元二次方程根与系数的关系，有
|a|＝|－(x1＋x2)|＝|x1＋x2|≥|x1|－|x2|≥1－|x2|，
|b|＝|x1x2|＝|x1|·|x2|≥|x2|.
将以上两个不等式相加，得|a|＋|b|≥1.这与已知|a|＋|b|<1矛盾.究其原因是假设错误所致.
因此方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值均小于1.
10.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且当|x|≤1时，|f(x)|≤1，
求证：
(1)|c|≤1；
(2)|b|≤1.
证明 (1)由|f(0)|≤1，得|c|≤1.
(2)由|f(1)|≤1，得|a＋b＋c|≤1，
由|f(－1)|≤1，得|a－b＋c|≤1，
∴|b|＝≤(|a＋b＋c|＋|a－b＋c|)≤1.
1.2.2 绝对值不等式的解法
一、选择题
1.如果<2和|x|>同时成立，那么x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 解不等式<2得x<0或x>.
解不等式|x|>得x>或x<－.
∴x的取值范围为.
答案 B
2.不等式(1＋x)(1－|x|)>0的解集为( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|x<0且x≠－1}
C.{x|－1解析 不等式可化为
或
∴0≤x<1或x<0且x≠－1.∴x<1且x≠－1.
答案 D
3.设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.|x－2|<1?10?x>1或x<－2.由于{x|11或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件.
答案 A
4.若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1，2)，则实数a等于( )
A.8 B.2
C.－4 D.－8
解析 由|ax＋2|<6可知－8当a>0时，－∵解集为(－1，2)，∴有，∴矛盾，
故a不可能大于0.
当a＝0，则x∈R不符合题意.
当a<0时，∵解集为(－1，2)，∴有，∴
故a＝－4.
答案 C
5.不等式1<|x＋1|<3的解集为( )
A.(0，2) B.(－2，0)∪(2，4)
C.(－4，0) D.(－4，－2)∪(0，2)
解析 原不等式等价于或
?或?0答案 D
6.若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是( )
A.(－∞，5) B.[0，5)
C.(－∞，1) D.[0，1]
解析 由绝对值的几何意义知|x－2|＋|x＋3|表示的是x与数轴上的点A(－3)及B(2)两点距离之和，A、B两点的距离为5，线段AB上任一点到A、B两点距离之和也是5.数轴上其它点到A、B两点距离之和都大于5，
∴|x－2|＋|x＋3|≥5，∵x∈R，∴a<5.
答案 A
二、填空题
7.不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.
解析 思路一：利用数轴对x进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.
方法一：要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
方法二：|x－1|＋|x＋2|表示数轴上的点x到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值为x≤－3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
答案 {x|x≤－3或x≥2}
8.已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________.
解析 ∵关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，
∴Δ＝1－4≥0，∴＋|a|≤.
当a≤0时，＋|a|＝－2a≤，∴a＝0；
当0当a>时，＋|a|＝a－＋a＝2a－≤，∴a≤，无解.
综上可知0≤a≤.
答案 0≤a≤
9.不等式≥1的实数解为________.
解析 ≥1?|x＋1|≥|x＋2|，x＋2≠0
?(x＋1)2≥(x＋2)2，x≠－2?x≤－，x≠－2.
答案 (－∞，－2)∪
三、解答题
10.解不等式x＋|2x＋3|≥2.
解 去绝对值号，化成不等式组求解.
原不等式可化为或
解得x≤－5或x≥－.
综上，原不等式的解集是.
11.设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0).
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围.
(1)证明 由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解 f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3当0综上，a的取值范围是.
1.3 平均值不等式（一）
一、选择题
1.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A.6＋2 B.7＋2
C.6＋4 D.7＋4
解析 先判断a，b的符号，再将已知的式子转化为关于a，b的方程，最后根据基本不等式求解.
由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝时取等号，故选D.
答案 D
2.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解析 设底面矩形的一条边长是x m，总造价是y元，把y与x的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.
由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.
答案 C
3.函数y＝log2 (x>1)的最小值为( )
A.－3 B.3
C.4 D.－4
解析 x>1，x－1>0，
y＝log2＝log2
≥log2(2＋6)＝log28＝3.
答案 B
4.若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2 ，则2a＋b＋c的最小值为( )
A. －1 B. ＋1
C.2 ＋2 D.2 －2
解析 a(a＋b＋c)＋bc＝4－2
?a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)＝4－2 .
而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2
＝2 ＝2 －2.
当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立.
答案 D
5.若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是( )
A.a≥0 B.a≥1
C.a≥2 D.a≥3
解析 x2＋2x＋a≥－y2－2y，对任意实数x、y都成立，
则a≥－y2－2y－x2－2x＝2－(x＋1)2－(y＋1)2恒成立，而2－(x＋1)2－(y＋1)2≤2，∴a≥2.
答案 C
6.在下列函数中，最小值是2的是( )
A.y＝＋(x∈R且x≠0)
B.y＝lg x＋(1C.y＝3x＋3－x (x∈R)
D.y＝sin x＋
解析 A中的函数式，与都不一定是正数，故可排除A；B中的函数式，lg x与都是正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x＝，即x＝10与10，3－x＝>0，∴运用基本不等式取等号的条件是3x＝，而x＝0成立，故选C.D中，∵01，sin x≠.
答案 C
7.若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得a2＝(1＋2b)(1－2b)＝1－4b2.
即a2＋4b2＝1.
∵a2＋4b2≥2，得|ab|≤且≥4，
∴＝ ＝
＝ ＝ ≤ ＝.
答案 B
二、填空题
8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为________吨.
解析 每年购买次数为次.
所以总费用＝·4＋4x≥2＝160.
当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立.
答案 20
9.若正数a，b满足a＋2b＝3，且使不等式＋－m＞0恒成立，则实数m的取值范围是________.
解析 不等式＋－m＞0恒成立，即3＞3m恒成立.又正数a，b满足a＋2b＝3，(a＋2b)＝＋＋＋2≥，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，所以实数m的取值范围是.
答案
三、解答题
10.已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4.
证明 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0，
当且仅当a＝b时，取等号.①
＋≥2>0，
当且仅当＝，即a＝b时取等号.②
①×②，得(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，取等号.
11.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.
解 设AN的长为x米(x>2)，矩形AMPN的面积为y.
∵＝，∴|AM|＝，
∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝(x>2)
(1)由S矩形AMPN>32得>32，
∵x>2，∴3x2－32x＋64>0，
即(3x－8)(x－8)>0，∴28，
即AN的长的取值范围是∪(8，＋∞).
(2)令y＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3(x－2)＝，
即x＝4时，y＝取得最小值，
即S矩形AMPN取得最小值24平方米.
(3)令g(x)＝3x＋(x≥4)，设x1>x2≥4，
则g(x1)－g(x2)＝3(x1－x2)＋
＝，
∵x1>x2≥4，∴x1－x2>0，x1x2>16，
∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在[4，＋∞)上递增.
∴y＝3(x－2)＋＋12在[6，＋∞)上递增.
∴当x＝6时，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.
1.3 平均值不等式（二）
一、选择题
1.设x、y、z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3·z的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由x、y、z＞0及≥(其中a1＞0，…an＞0)，
∴x2y3z＝··y·y·y·4z≤＝1.
答案 A
2.设a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝，则x的取值范围为( )
A. B.
C.[1，8) D.[8，＋∞)
解析 ∵x＝＝··
＝≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8.
答案 D
3.已知||⊥||，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且||
＝，则·的最大值等于( )
A.13 B.15
C.19 D.21
解析 建立平面直角坐标系，用坐标法求解.
∵⊥，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.不妨设B，C(t，0)，则＝＋＝(4，1)，
故点P的坐标为(4，1).
·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17
≤－2＋17＝13.
当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.
答案 A
4.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是( )
A.V≥π B.V≤π
C.V≥π D.V≤π
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，
则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，
于是有V＝πr2h≤π·＝π＝π，
当且仅当r＝h时取等号.
答案 B
5.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 l＝4r＋2h，即2r＋h＝，
V＝πr2h≤π＝π.
答案 A
6.在区间上，函数f(x)＝x2＋bx＋c (b，c∈R)与g(x)＝在同一点取相同的最小值，那么f(x)在区间上的最大值是( )
A. B.4
C.8 D.
解析 g(x)＝x＋＋1在x＝1时，取最小值3.
∴b＝－2，c＝4.
答案 B
二、填空题
7.函数y＝ (x≠0)有最大值______，此时x＝______.
解析 ∵x≠0，∴x2>0.
∴y＝＝≤＝，
当且仅当x2＝，即x4＝9，x2＝3，x＝±时取等号，
即当x＝±时，ymax＝.
答案 ±
8.建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为________.
解析 设池长x m，则池宽 m，水池总造价y＝180×4＋2×2××80＋2×2×x×80＝720＋320·≥720＋320×4＝2 000(元)，当且仅当x＝2时“＝”成立.
答案 2 000元
三、解答题
9.在△ABC中，如果三内角满足：sin2A＋sin2B＝5sin2C，求证：sin C≤.
证明 在△ABC中，由正弦定理，得
＝＝＝2R.
又∵sin2A＋sin2B＝5sin2C，∴a2＋b2＝5c2.
由余弦定理，得
cos C＝＝≥＝＝.
由010.某城建公司承包旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成.若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每延期一天将被罚款5千元.追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使此公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用).
解 设该城建公司获得的附加效益为y千元，
则由题意，得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2 ＝130－112＝18，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号.
∴提前11天完工，公司可获得最大附加效益.
11.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.
证明 法一 因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)①
＋＋≥3(abc)－，
所以≥9(abc)－.②
故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6③
所以原不等式成立.
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立.
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.
法二 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①
同理＋＋≥＋＋.②
故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立.
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.
1.4 不等式的证明（一）
一、选择题
1.若a，b为不等的正数，则(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1) (k∈N＋)的符号( )
A.恒正 B.恒负
C.与k的奇偶性有关 D.与a，b大小无关
解析 (abk＋akb)－ak＋1－bk＋1
＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak)
∵a>0，b>0，若a>b，则ak>bk，∴(a－b)(bk－ak)<0；
若a答案 B
2.若a>1，m＝＋，n＝＋，则m与n的关系是( )
A.mn
C.m≤n D.m≥n
答案 B
3.设a、b、c、d、m、n∈(0，＋∞)，P＝＋，Q＝·，则有( )
A.P≥Q B.P≤Q
C.P>Q D.P解析 采用先平方后作差法.
∵P2－Q2＝(ab＋cd＋2)－
＝2－ad－bc＝－≤0，
∴P2≤Q2，又∵P>0，Q>0，∴P≤Q.
答案 B
4.已知a，b，c，d都是正数，且bc>ad，则，，，中最大的是( )
A. B.
C. D.
解析 －＝<0，∴<，
－＝＝>0，
－＝＝>0，
所以最大的是.
答案 D
5.设a＝sin 15°＋cos 15°，b＝sin 16°＋cos 16°，则下列各式正确的是( )
A.a<C.b解析 a＝sin 15°＋cos 15°＝sin 60°，
b＝sin 16°＋cos 16°＝sin 61°，∴a∵>ab＝sin 60°·sin 61°＝sin 61°>sin 61°＝b，故a答案 B
6.已知a，b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当a2>b2时，a2－b2>0，即(a＋b)(a－b)>0，当a，b同为正时，有a>b；当a、b同为负时，ab2时，不一定有a>b成立.反之，当a>b时，也不一定有a2>b2，例如1>－2，而12<(－2)2.
答案 D
二、填空题
7.下列四个不等式：①a<0解析 答案 ①②④
8.设a>5，则－与－的大小关系是__________________.
解析 因为a>5，只需比较＋与2的大小，两数平方，即比较与a－4的大小，再平方，只需比较a2－8a＋15与a2－8a＋16的大小.
答案 －<－
三、解答题
9.已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).
证明 2(an＋1＋bn＋1)－(a＋b)(an＋bn)＝2an＋1＋2bn＋1－an＋1－abn－ban－bn＋1＝an＋1－abn－ban＋bn＋1＝an(a－b)－bn(a－b)＝(a－b)(an－bn).∵a＞0，b＞0，若a－b＞0，则an－bn＞0，∴(a－b)(an－bn)＞0，若a－b＜0，则an－bn＜0，∴(a－b)(an－bn)＞0，∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).
10.设m∈R，a>b>1，f(x)＝，比较f(a)与f(b)的大小.
解 f(a)－f(b)＝－＝.
∵a>b>1，∴b－a<0，a－1>0，b－1>0，
∴<0.
当m>0时，<0，f(a)当m<0时，>0，f(a)>f(b)；
当m＝0时，＝0，f(a)＝f(b).
11.设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2).
证明 由a，b是非负实数，作差得
a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)
＝(－)[()5－()5].
当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得
(－)[()5－()5]≥0；
当a(－)[()5－()5]>0.
所以a3＋b3≥(a2＋b2).
1.4 不等式的证明（三）
一、选择题
1.已知p＝a＋，q＝2－a2＋4a－2 (a>2)，则( )
A.p>q B.pC.p≥q D.p≤q
解析 ∵p＝(a－2)＋＋2，又a－2>0，
∴p≥2＋2＝4，而q＝2－(a－2)2＋2，
根据a>2，可得q<22＝4，∴p>q.
答案 A
2.不等式a>b与>能同时成立的充要条件是( )
A.a>b>0 B.a>0>b
C.<<0 D.>>0
解析 充分性显然.下面用反证法说明必要性.
若a，b同号且a>b，则有<，此时不能保证a>b与>同时成立，∴a，b只能异号，即a>0>b.
答案 B
3.若f(x)＝，a，b都为正数，A＝f，G＝f()，H＝f，则( )
A.A≤G≤H B.A≤H≤G
C.G≤H≤A D.H≤G≤A
解析 ∵a，b为正数，∴≥＝≥＝，又∵f(x)＝为单调减函数，
∴f≤f()≤f，∴A≤G≤H.
答案 A
4.设M＝＋＋＋…＋，则( )
A.M＝1 B.M<1
C.M>1 D.M与1大小关系不定
解析 M是210项求和，M＝＋＋＋…＋
<＋＋＋…＋＝1，故选B.
答案 B
5.若实数m>n，正数a>b，A＝(an＋bn)m，B＝(am＋bm)n，则( )
A.A>B
B.AC.A与B的大小关系由m与n的差决定
D.A与B的大小关系由a与b的差决定
解析 A＝(an＋bn)m＝
＝amn，
B＝(am＋bm)n＝＝amn.
∵a>b>0，∴0<<1.又m>n，∴>，
∴amn>amn，
即A>B，故选A.
答案 A
6.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，则a，b，c三数( )
A.全为正数 B.至多有两个为正数
C.至多有一个为正数 D.全为负数
解析 假设a，b，c不全为正数，
∵abc>0，∴有两个负数一个正数，
不妨设a，b为负数，c为正数，
∵a＋b＋c>0，c>－(a＋b)>0，
又∵ab＋bc＋ca>0，ab>－(bc＋ca)＝－c(a＋b)≥(a＋b)2，
这与(a＋b)2≥4ab矛盾，故假设错误，∴a，b，c全为正数.选A.
答案 A
二、填空题
7.已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是____________.
解析 m＝≤＝1，
n＝≥＝1.
答案 m≤n
8.若|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是________________.
解析 当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2；当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.综上，|a＋b|＋|a－b|<2.
答案 |a＋b|＋|a－b|<2
三、解答题
9.设x>0，y>0，z>0，求证：＋>x＋y＋z.
证明 ∵＝ >x＋，①
＝ >z＋，②
∴由①②得：＋>x＋y＋z.
10.若a＞0，b＞0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.
解 (1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立.
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立.
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
11.已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于.
证明 ∵abc＝1>0，
∴a，b，c都为正，或者a，b，c中有一正二负.
又a＋b＋c＝0，∴a，b，c中只能是一正二负.
不妨设a>0，b<0，c<0，则b＋c＝－a，bc＝，
即b，c为方程x2＋ax＋＝0的两个负实根，
∴Δ＝a2－≥0，解得a≥> ＝，
∴a，b，c中至少有一个大于.
12.已知：a，b，c，d，∈(0，＋∞)，
求证：＋≥.
证明 法一 如图所示，在Rt△ABC中，设AC＝c＋a，其中CE＝c，EA＝a；
BC＝b＋d，其中CF＝b，FB＝d.
由勾股定理得：
AB＝，
以CE与CF为邻边作矩形CEPF，并连接AP与BP.
则在Rt△AEP与Rt△BFP中分别有：
AP＝；BP＝.
若点P在线段AB上，则AP＋BP＝AB；①
若点P不在线段AB上，则AP＋BP>AB；②
故，由①，②可知：AP＋BP≥AB.
即 ＋≥.
法二 设＝(a，b)，＝(c，d)，
则＝＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)，
所以，||＝，||＝，||＝.
若与共线同向时，则有：||＋||＝||①
若与共线反向或不共线时，则有：||＋||>||，②
故由①，②可知：||＋||≥||，
即＋≥.
1.4 不等式的证明（二）
一、选择题
1.a>0，b>0，下列不等式中不成立的是( )
A.＋≥2 B.a2＋b2≥2ab
C.＋≥a＋b D.＋≥2＋
解析 由∈(0，＋∞)且∈(0，＋∞)，得＋≥2 ，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3＋b3≥a2b＋ab2?(a2－b2)(a－b)≥0.
答案 D
2.设a、b、x、y均为正数，且a、b为常数，x、y为变量，若x＋y＝1，则＋的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析 ＋≤＋＝，故选B.
答案 B
3.如果0A.cosB.cosC.cosD.cos解析 用分析法易证(或用特值法)，
0<<<<1.
由y＝cos x在上是减函数可得.
答案 A
4.已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是( )
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
解析 由已知3x>x＋y＋z＝0，3z0，z<0.由 得：xy>xz.
答案 C
5.设0A.b<2ab<B.2abC.2abD.2ab解析 取a＝，b＝，分别计算即可.
答案 B
二、填空题
6.设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是______________.
解析 a3＋b3＋c3－3abc
＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)
＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]，
而a、b、c不全相等?(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2>0，
∴a3＋b3＋c3≥3abc?a＋b＋c≥0.
答案 a＋b＋c≥0
7.已知a>b>c，则与的大小关系为______________.
解析 ∵a－b>0，b－c>0，
∴≤＝.
∴≤.
答案 ≤
三、解答题
8.已知|a|<1，|b|<1，求证：<1.
证明 要证<1，只需证|a＋b|<|1＋ab|，
也只需证a2＋2ab＋b2<1＋2ab＋a2b2，
即证(1－a2)－b2(1－a2)>0，
也就是(1－a2)(1－b2)>0，
∵|a|<1，|b|<1，∴最后一个不等式显然成立.
因此原不等式成立.
9.已知实数a，b，c，d，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
求证：|ac＋bd|≤1.
证明 法一 (分析法)
要证|ac＋bd|≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1.
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.
∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.
∴上式即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，
即证(ad－bc)2≥0.
∵a，b，c，d都是实数，∴(ad－bc)2≥0成立.
∴|ac＋bd|≤1.
法二 (综合法)
∵a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
∴|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋
＝＝1.
法三 (三角换元法)
∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，
∴可令a＝sin α，b＝cos α，c＝sin β，d＝cos β，
∴|ac＋bd|＝|sin αsin β＋cos αcos β|
＝|cos(α－β)|≤1.
10.设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.
证明 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2.
因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)，得＋＞＋.
②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，
所以ab＞cd，
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.
1.5 不等式的应用
一、选择题
1.关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0的两根异号，则实数k的范围是( )
A.－2B.－2C.k<－1或k>
D.－1解析 由题意得?－1答案 D
2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
解析 周长一定时多边形各边越接近面积越大.不妨设两直角边为a，b，则ab＝4，周长l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈7，因此7米时最合理也浪费最少.
答案 C
二、填空题
3.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是________.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)
解析 先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值.
如图，
过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.
设CO＝x m，则OP＝x m.
在Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m，
所以BC＝20 m.所以cos∠BCA＝.
所以AO＝＝(m).
所以tan θ＝＝
＝.当＝，即x＝时，tan θ取得最大值为＝.
答案
4.函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________.
解析 函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A(1，1)，则有m＋n－1＝0，即m＋n＝1.又mn>0，
法一 m＋n≥2，
∴ ≥2，＋≥2 ≥2×2＝4.
法二 ＋＝·(m＋n)＝2＋≥2＋2＝4.
答案 4
三、解答题
5.已知：3a2＋2b2＝5，试求：y＝(2a2＋1)(b2＋2)的最大值.
解 因为2a2＋1＞0，b2＋2＞0，y＝(2a2＋1)(b2＋2)，所以＝≤.
因为3a2＋2b2＝5，所以6a2＋4b2＝10.
所以≤，可得≤.
所以y的最大值为.
6.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：
s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
超速行驶应负主要责任的是哪方？
解 由题意列出不等式
s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得x<－40或x>30，x<－50或x>40.
由于x>0，从而可得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
7.学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格购买大米.每次购进大米需支付运输费用100元，已知食堂每天需要大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元.假定食堂每次均在用完大米的当天购买.
(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
(2)粮店提出价格优惠政策，一次购买量不少于20吨时大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠政策？请说明理由.
解 总支出费用由三部分组成：购粮费、运输费、贮存费，可把每天平均支出费用表示为天数的函数，再求函数的最小值，然后求出接受优惠政策后平均每天支付费用的最小值，比较两最小值的大小就可以回答题中问题.
(1)设每t天购进一次大米，因为每天需要用1吨大米，所以一次购米量为t吨，那么库存费用为2[t＋(t－1)＋…＋2＋1]＝t(t＋1).设平均每天所支付的总费用为y1，则y1＝[t(t＋1)＋100]＋1 500＝t＋＋1 501≥2＋1 501＝1 521.当且仅当t＝即t＝10时等号成立.
∴每10天购买一次大米能使平均每天支付的费用最少.
(2)如果接受优惠条件，则至少每20天订购一次，设每n(n≥20)天订购一次，每天平均支付费用为y2，则：
y2＝[n(n＋1)＋100]＋1 500×0.95＝n＋＋1 426.
∵n∈[20，＋∞)，可证n＋在[20，＋∞)上为增函数，
∴当n＝20时，y2最小值：20＋＋1 426＝1 451元＜1 521元.
∴食堂应该接受优惠条件.
8.如图为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料
60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?
解 法一 设流出的水中杂质的质量分数为y，
由题意有y＝，其中k为比例系数(k>0).
根据题意，得2×2b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0).
∴b＝(由a>0，b>0，可得a<30).
∴y＝＝.令t＝a＋2，则a＝t－2.
从而＝＝＝34－，∴y＝≥＝.
当且仅当t＝，即a＋2＝时取“＝”，∴a＝6.
由a＝6，可得b＝3.
综上所述，当a＝6 m，b＝3 m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.
法二 设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意有y＝，其中k为比例系数(k>0).要求y的最小值必须先求出ab的最大值.
依题意得4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a>0，b>0).
∵a＋2b≥2(当且仅当a＝2b时取“＝”)，
∴ab＋2≤30，可解得0由a＝2b及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3，
即a＝6，b＝3时，ab取得最大值，从而y的值最小.
