5.5 应用二元一次方程组
——里程碑上的数
第五章 二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学练优八年级数学上（BS）
教学课件
学习目标
1.利用二元一次方程解决数字问题和行程问题．（重点）
2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
1.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数可表示为：
2.一个三位数，若百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：
导入新课
观察与思考
10x+y
100a+10b+c
你能回答吗？
讲授新课
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
是一个两位数，它的两个数字之和为7．
十位数字与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
(3)14:00时小明看到的数可以表示为____________
(4)12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内行驶的路程
有什么关系?你能列出相应的方程吗?
100x+y
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y.那么
(1)12:00时小明看到的数可以表示为____________
(2)13:00时小明看到的数可以表示为_____________
10x+y
10y+x
(10y+x)－(10x+y)
(100x+y)－(10y+x)
=
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
解这个方程组得,
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
典例精析
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则
解方程组,得:
答:这两个两位数分别是45和23.
例1：两个两位数的和为 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数; 在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2 178, 求这两个两位数.
x+y=68
(100x+y)-(100y+x)=2178
x=45
y=23
当堂练习
1.小颖家离学校4800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ）
A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km；
C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km．
A
【解析】设上坡用x时，下坡用y时，据题意得：
6x+12y=4.8，
x＋y＝0.5.
故选A.
2.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数互换了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数是 .
18
当堂练习
【解析】设李刚在7:00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
故李刚在7:00时看到的数是18.
x+y=9
8(10x+y)-(10y+x)=10y+x-(10x+y)
解得
x=1
y=8
时刻 十位数字 个位数字 表达式
7:00 x y 10x+y
8:00 y x 10y+x
9:00 8(10x+y)
列方程组解决实际问题
增长率、利润问题
课堂小结
利用图表分析等量关系
见《学练优》本课时练习
课后作业
5.1 认识二元一次方程组
第五章 二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点）
2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．（难点）
导入新课
观察与思考
哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
真的?！
听完它们的对话，你能猜出它们各驮了多少包裹吗?
你还累?这么大的个，才比我多驮了2个.
我从你背上拿来 1个，我的包裹数就是你的 2 倍！
讲授新课
问题1：设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？
老牛的包裹数比小马的多2个;
老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，
设他们中有x个成人,y个儿童.
你能得到怎样的方程?
问题2：他们到底去了几个成人，几个儿童呢?
x＋y＝8
5x＋3y＝34
上面所列方程各含有几个未知数?
含有未知数的项的次数是多少?
答：2个未知数
答：次数是1
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
x－y＝2 x＋y＝8
x＋1＝2(y－1) 5x＋3y＝34
定义：
归纳总结
方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34中，x的含义相同吗？y呢？
x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34 ,把它们联立起来,得:
像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
问题：（1）x＝6 , y＝2适合方程 x＋y＝8吗 ?
x＝5 , y＝3呢?
x＝4 , y＝4呢?
你还能找到其他x , y的值适合方程x＋y＝8吗 ?
(2) x＝5 , y＝3适合方程5x＋3y＝34吗?
x＝2 , y＝8呢?
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
例如: x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一个解,记作
x＝6
y＝2
x＝5 ,y ＝3是否为方程 x＋y＝8的一个解?
x＝5 , y ＝3是否为方程 5x ＋3y＝34的一个解?
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
当堂练习
D.
x=4
y=3
x=3
y=6
x=2
y=4
x=4
y=2
A.
B.
C.
1.二元一次方程组
的解是( )
x+2y=10
y=2x
C
2.下列各式是二元一次方程的是( )
A.x=3y B.2x+y=3z C.x?+x-y=0 D.3x+2=5
A
x+ =1
y+x=2
3.下列不是二元一次方程组的是( )
A.
x+y=3
x-y=1
B.
C.
x=1
y=1
D.
6x+4y=9
y=3x+4
B
4.（嘉兴·中考）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（ ）
哦……我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本花了30元钱．
小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？
D
A.0.8元/支，2.6元/本
B.0.8元/支，3.6元/本
C.1.2元/支，2.6元/本
D.1.2元/支，3.6元/本
认识二元一次方程组
二元一次方程组的定义
课堂小结
二元一次方程组的解
5.2 求解二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 代入法
第五章 二元一次方程组
学习目标
1.会用代入法解二元一次方程组.（重点、难点）
导入新课
观察与思考
问题：根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分,已知某次中学生篮球联赛中，某球队共赛了12场，积20分.求该球队赢了几场？输了几场？
解：设该球队赢了x场，输了y场，则
怎么求x、y的值呢？
x+y=12
2x+y=20
讲授新课
昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢?
还记得下面这一问题吗?
设他们中有x个成人，y个儿童.
我们列出的二元一次方程组为:
x+y=8
5x+3y=34
解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：
解得：x=5.
将x=5代入
8－x=8－5=3.
答：去了5个成人， 3个儿童.
解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得：
观察:列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？
5x+3(8-x)=34
x+y=8
5x+3y=34
由①得：y = 8－x. ③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x = 5.
把x = 5代入③得：y = 3.
x+y=8①
5x+3y=34②
归纳总结
解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
典例精析
例1：解方程组
2x+3y=16 ①
x+4y=13 ②
归纳总结
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
当堂练习
y=2x
x+y=12
(1)
(2)
2x=y-5
4x+3y=65
解：
(1)
x=4
y=8
(2)
1.解下列方程组.
x=5
y=15
2.（济南·中考）二元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D.
D
3.（江津·中考）方程组
的解是（ ）
B．
C．
D．
B
解二元一次方程组
基本思路“消元”
课堂小结
代入法解二元一次方程组的一般步骤
5.2 求解二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 加减法
第五章 二元一次方程组
学习目标
1.会用加减法解二元一次方程组．（重点）
导入新课
观察与思考
信息一：
已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元；
信息二：
又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.
解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，根据题意得，
你会解这个方程组吗？
3x+2y=23
5x+2y=33
你是怎样解这个方程组的？
解：
由①得
将③代入②得
③
解得：y=4
把y=4代人③ ，得x=5
所以原方程组的解为：
除代入消元，
还有其他方法吗？
①
②
3x+2y=23
5x+2y=33
x=5
y=4
讲授新课
仔细观察这组方程，你有什么发现吗？
解：②-①得 5x-3x=33-23 ，
解得 x=5 .
将x=5代入①得 15+2y=23,
解这个方程得 y=4.
所以原方程组的解是
①
②
3x+2y=23
5x+2y=33
②-①的话就只剩下一个未知数了
x=5
y=4
这样是不是更简单呢？
归纳总结
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法.
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.
典例精析
例1：用加减法解方程组:
①
②
对于当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．
分析：
①×3得：
所以原方程组的解是
解：
③-④得: y=2
把y＝2代入①，
解得: x＝3
②×2得：
6x+9y=36 ③
6x+8y=34 ④
归纳总结
主要步骤：
特点:
基本思路:
写解
求解
加减
二元
一元
加减消元:
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出原方程组的解
同一个未知数的系数相同或互为相反数
用加减法解二元一次方程组：
当堂练习
1.（芜湖·中考）方程组
的解是 ．
①
②
2. 用加减法解方程组
6x+7y=－19①
6x-5y=17②
应用（ ）
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项
D. 以上都不对
B
解： ②×4得：
所以原方程组的解为
①
3.（青岛·中考）解方程组：
②
③
①＋③得：7x = 35，
解得：x = 5.
把x = 5代入②得，y = 1.
4x-4y=16
解二元一次方程组
基本思路“消元”
课堂小结
加减法解二元一次方程组的一般步骤
5.3 应用二元一次方程组
——鸡兔同笼
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第五章 二元一次方程组
学习目标
1.能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．（重点）
导入新课
观察与思考
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
“鸡兔同笼”题为:
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何?
“上有三十五头”的意思是什么?
“下有九十四足”的意思是什么?
你能算出鸡兔各几只吗？
《孙子算经》中记载的算法：
金鸡独立，兔子站起
94÷2=47（只）
1
2
47－35=12（只）
脚数：
头数：
35－12=23（只）
兔
鸡
你能根据“上有三十五头,
下有九十四足”列出方程吗？
讲授新课
《孙子算经》中的算法，主要是利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的倍数.可是当其他问题转化成这类问题时，脚数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.
35
94
等量关系：
x
y
2x
4y
解：设鸡为x 只,兔为y 只.则
①×2 得： 2x+2y=70，③
②-③ 得： 2y=24，
y=12.
把 y=12 代入①，得：x=23.
答：有鸡23只，兔12只.
归纳总结
列方程解应用题的步骤
1·审题 (找等量关系）2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验，作答
关键：找等量关系、列方程
典例精析
例1：古题今解
以绳测井
若将绳三折测之，绳多五尺；
若将绳四折测之，绳多一尺.
绳长、井深各几何？
(1)“将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？
(2)“若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？
用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
等量关系
×绳长－井深＝5
×绳长－井深＝1
关系一
关系二
解：设绳长x尺, 井深y尺, 则
由题意可得：
x- y=1 .
解此方程组得：
x =48,
y=11.
答：绳长48尺,井深11尺.
x -y=5 ，
当堂练习
1.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方
程组为 .
x +y=10
6x+8y=68
2. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为( ).
B
4y=6x
4x=6y
4y=6x
5y+10=5x,
5x=5y+10,
5y=5x+10,
A.
B.
C.
D.
{
{
{
{
3. 5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？
解:设每头牛值“金”x两,每头羊值“金”y两, 由题意得
5x+2y=10,
2x+5y=8.
解得
x=
y=
答:每只牛值”金” 两,每只羊值”金” 两.
列方程组解决问题
一般步骤：审、设、列、解、验、答
课堂小结
关键：找等量关系
5.4 应用二元一次方程组
——增收节支
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第五章 二元一次方程组
学习目标
1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题．（重点）
2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
导入新课
观察与思考
新年来临,爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”.
你能帮助他吗？
讲授新课
1.一个人的工资今年比去年增长了20%后变为3 000元，则该
人去年的工资为 元.
2.某药品在2011年涨价25%后，2012年降价20%至a元，则
该药品在2011年涨价前的价格为 元.
a
2 500
3.小李到银行去储蓄500元，这种储蓄的年利息为8.0%，
如果他储蓄了5年，则小李5年后得到的本息和是 元.
700
试着完成下面的填空
问1：增长（亏损）率问题的公式？
问2：银行利率问题中的公式？（利息、本金、利率）
原量×（1+增长率）=新量
原量×（1-亏损率）=新量
利息=本金×利率×期数（时间）
本息和=本金+利息
利润：总产值-总支出
利润率：(总产值-总支出)/总产值×100%
根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题
典例精析
【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
(1+20﹪)x
(1-10﹪)y
780
x
y
200
例1：某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
因此,去年的总产值是2 000万元,总支出是1 800万元.
例2：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?
解:设每餐甲、乙原料各x g、y g. 则有下表:
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
根据题意,得方程组
5x+7y=350 ①
5x+2y=200 ②
0.5x+0.7y=35
x+0.4y=40
化简,得
①- ②,得 5y=150
y=30
把y=30代入①,得x=28,即方程组的解为：
所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g.
当堂练习
1.（宁夏·中考）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，
因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是 （ ）
B.
A.
C
C.
D.
2.（丹东·中考）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）
D
3.一班和二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率为75﹪,那么一、二班的学生数各是多少?
【分析】设一、二班的学生数分别为x名，y名.则有下表.
x
y
100
87.5﹪x
75﹪y
81﹪×100
一班 二班 两班总和
学生数
达标学生数
解:设一、二班的学生数分别为x名，y名.
根据题意,得方程组.
x+y=100
87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100
解得
x=48
y=52
所以一、二班的学生数分别为48名和52名.
列方程组解决实际问题
增长率、利润问题
课堂小结
利用图表分析等量关系
5.6 二元一次方程与一次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第五章 二元一次方程组
学习目标
1.理解二元一次方程（组）与一次函数的关系．（重点）
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.（难点）
导入新课
观察与思考
今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
二元一
次方程
一次函数
x+y=5
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？
讲授新课
x+y=5
问题：是不是所有的二元一次方程都可以转化为一次函数？
y=5-x
试一试：把下列二元一次方程转化为一次函数
（1）y-2x=1； （2）2y+x=4
转化
2.在直角坐标系内分别描出以上面这些解为坐标的点，它们在一次函数y=－x+5的图象上吗？
无数个
都是
都在
1.方程x+y=5的解有多少个?
是这个方程的解吗？
3.在一次函数y=－x+5的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=－x+5的图象相同吗？
通过以上探究,你能得出二元一次方程的解与一次函数图象的关系吗?
在一次函数
y=5－x的图象上
方程
x+y=5的解
从形到数
从数到形
适合
相同
总结归纳
以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线.
反过来,一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
交点坐标与方程组
的解有什么关系？
x+y=5
2x-y=1
问题：在同一直角坐标系中分别作一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗?
总结归纳
解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值．
确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
方程组
解的情况如何？
在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和
y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？
1.两不重合的直线
当 平行于 时， ；反之也成立.
2.方程组 当 c1≠c2时，
方程组无解；反之也成立.
你发现了什么？
2.若二元一次方程组 的解为 ,
则函数 与 的图象的交点坐标
为 .
当堂练习
（2，2）
3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
解：
３
-１
2
-3
x
y
0
二元一次方程与一次函数
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
课堂小结
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第五章 二元一次方程组
学习目标
1.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．（重点）
导入新课
观察与思考
二元一次方程组与一次函数有何联系?
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解．
二元一次方程组有哪些解法？
消元法
正因如此，方程问题可以通过函数知识来解决，反之，函数问题也可以通过方程知识来解决.
图象法
是一种代数方法
讲授新课
议一议：A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米; 2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇 ?说出你的方法与同学们交流
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了
小明
乙
甲
对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b.当t=0时，s=100；当t=1时 s=80.
将它们分别代入s=kt+b中，
可以求出k，b的值，
即可以求出乙 中s 与t 之间的函数表达式.
你能求出甲的表达式吗？
1 时后乙距A地 80千米,即乙的速度是20千米/时
2 时后甲距A 地 30千米,故甲的速度是 15千米/时
设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100
总结归纳
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
典例精析
例1：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
（2）当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.进而求出一次函数的表达式.
总结归纳
当堂练习
1.甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．右图是两队所修水渠长度y(m)与修筑时间x(h)的函数图象的一部分．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ；
（2）直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 .
y=10x
y=20x-30
2.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在 同一条直线上．
解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
由题意可知，
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
∵当x=4时，y=4-2=2．
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在
同一条直线上．
3.在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少?
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b，
∵当x=1000时 y = 800;当x=2000时y = 700，
∴
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y =-10x + 9000
当 y = 400时得， -10 x + 900 =400,
∴ x =860.
答:当客户购买400kg,单价是860元.
｛
利用二元一次方程确定一次函数表达式
用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b
课堂小结
将已知条件代入上述表达式中得关于k，b的二元一次方程组
解这个二元一次方程组得k，b
*5.8 三元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第五章 二元一次方程组
学习目标
1.理解三元一次方程组的概念．
2.能解简单的三元一次方程组．
导入新课
观察与思考
1、解二元一次方程组有哪几种方法？
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化未知为已知
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
讲授新课
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
在这个方程组中，x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
（linear equation with three unknowns）
总结归纳
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解，
叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
典例精析
例1：解方程组
解：由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y=8,z=6
把y=8代入④，得x=9
所以原方程的解是
x=9
y=8
z=6
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
当堂练习
1.解方程组 ,则x＝_____，
y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6
8
3
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ D ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
3.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
课堂小结
三元一次方程组的解法
小结与复习
第五章 二元一次方程组
实际背景
二元一次方程及二元一次方程组
求解
应用
方法
思想
与一次函数的关系
消元
解应用题
图象法
加减消元
代入消元
知识构架
1.二元一次方程:通过化简后,只有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,系数都不是0的整式方程,叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
3.二元一次方程组:由两个一次方程组成,共有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组.
知识梳理
4.二元一次方程组的解:
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
5.方程组的解法
根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法.
基本思想或思路——消元
常用方法————代入法和加减法
(1)求表达式：从方程组中选一个系数比较简
单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用
含x的代数式表示;
(2)把这个含x的代数式代入另一个方程中，
消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
(3)解一元一次方程，求出x的值;
(4)再把求出的x的值代入变形后的方程，求
出y的值.
(1)利用等式性质把一个或两个方程的两边都
乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数
的系数，使其绝对值相等；
(2)把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ；
(4)把所求的这个未知的值代入方程组中较为简
便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方
程组的解 .
审：
设：
列：
解：
答：
审清题目中的等量关系．
设未知数．
根据等量关系，列出方程组．
解方程组，求出未知数．
检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
二元一次方程组和一次函数的图象的关系
方程组的解是对应的两条直线的交点坐标
两条线的交点坐标是对应的方程组的解
二元一次方程和一次函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程.
1.关于二元一次方程2m+3n=11 正确的说法是( )
A.任何一对有理数都是它的解
B.只有两组解
C.只有两组正整数解
D.没有负整数解
C
当堂练习
2.若点P(x-y,3x+y)与点Q(-1,-5)关于x轴对称,则x+y=______.
3
3.已知|2x+3y+5|+(3x+2y-25)2=0,
则x-y=______.
30
4.若两个多边形的边数之比是2:3,两个多边形的内角和是1980°,求这两个多边形的边数.
解：6和9
5.方程组 中, x与y的和为12,求k的值.
解得：k=14
解法1：解这个方程组，得
依题意：x＋y=12
所以(2k－6) ＋(4－k)=12
解法2：根据题意，得
解这个方程组，得k=14
6.甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每隔2分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每分钟各跑多少圈?
解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据
题意得方程组
解得
答:甲、乙二人每分钟各跑
、 圈.
7.已知甲、乙两种商品的标价和为100元,因市场变化,甲商品打9折,乙商品提价5﹪,调价后,甲.乙两种商品的售价和比标价和提高了2﹪,求甲、乙两种商品的标价各是多少?
答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的标价是80元.
解：设甲、乙两种商品的标价分别为x、y元，
根据题意，得
解这个方程组，得
8. 下表是某一周甲、乙两种股票的收盘价（股票每天交易结束时的价格）
张师傅在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费行等），该人账户中星期二比星期一多获利200元，星期三比星期二多获利1300元，试问张师傅持有甲、乙股票各多少股？
12.5
13.3
星期三
星期四
星期五
星期六
12.9
13.9
12.45
13.4
12.75
13.15
休盘
休盘
星期一 星期二
甲 12
乙 13.5
解：设张师傅持有甲种股票x股，乙种股票y
股，根据题意，得
解得
答：张师傅持有甲种股票1000股，乙种股票
1500股.
9.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地.两人同时出发,4小时相遇,6小时后 ,甲所余路程为乙所余路程的2倍,求两人的速度.
解:设甲、乙的速度分别为x千米/小时和y千米/小时.
依题意可得:
解得
答：甲的速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时.
