高中数学《选修1-1》《导数及其应用》单元测试题（基础卷）

高中数学《选修1-1》《导数》单元测试题（基础卷）
一、单选题（共12题；共60分）
1.可导函数在闭区间的最大值必在（?????）取得
A.?极值点??????????????????????B.?导数为0的点??????????????????????C.?极值点或区间端点??????????????????????D.?区间端点
2."为方程的解"是为函数极值点"的 (???? )
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
3.曲线在点处切线的倾斜角为 ， 那么a的值为(?? )
A.??????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.曲线 在点 （1， ）处切线的斜率为(?? )
A.?????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????C.?-1???????????????????????????????????????D.?-?
5.函数的单调递增区间是(???????? )
A.???????????????????????????????B.?(0,3)??????????????????????????????C.?(1,4)??????????????????????????????D.?
6.函数 在 上的最大值为（?? ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?-4??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
7.函数的递减区间是(??? )
A.?或???????B.????????C.?或???????D.?
8.对于R上可导的任意函数f（x），且若满足（x－1）>0，则必有（ ???）
A.?f（0）＋f（2）<2f（1）???????????????????????????????????B.?f（0）＋f（2）32f（1）C.?f（0）＋f（2）>2f（1）???????????????????????????????????D.?f（0）＋f（2）32f（1）
9.已知函数 的图像在点 处的切线的斜率为2，则 的最小值是（??? ）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?9?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?
10.在R上可导的函数 ， 当时取得极大值，当?时取得极小值，则的取值范围是（　　）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
11.若对可导函数f(x)，恒有 ， 则f(x)（??）
A.?恒大于0??????????????????????B.?恒小于0??????????????????????C.?恒等于0??????????????????????D.?和0的大小关系不确定
12.已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集是（?? ）
A.?????????????????????B.???????????????????????C.??????????????????????????????D.?
二、填空题（共4题；共20分）
13.函数 的单调递减区间为________．
14.如图，函数 的图象在点P处的切线方程是 ，则 ________.
15.函数y=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值的和为________．
16.已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x∈________．
三、解答题（共6题；共70分）
17.已知函数
（1）求函数 在 处切线方程；
（2）求函数 的最大值和最小值．
18.已知函数 在x=1处有极值10.
（1）求a、b的值；
（2）求 在 上的最大值与最小值.
19.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，－11）。
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
20.已知曲线 经过点 ，求：
（1）曲线在点 处的切线的方程；
（2）过点 的曲线C的切线方程．
21.已知函数 ， ．（I）求 的单调区间；（II）若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围．
22.已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．
（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；
（2）令g（x）=f（x）+ （x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【分析】由导数求函数最值问题，可导函数在闭区间的最大值必在极值点或区间端点，可知答案是C。
2.【答案】B
【解析】【解答】通过研究函数 ， 可知，为方程的解是为函数f(x)极值点的必要条件不充分 。选B。
3.【答案】C
【解析】【分析】因为， 所以。因为在点处切线的倾斜角为， 所以。选C.
4.【答案】B
【解析】【解答】 ，则在点(1，－ )处切线的斜率为 ，所以倾斜角为45°.【分析】函数在某一点的导数值是该点切线的斜率，这就是导数的几何意义。
5.【答案】D
【解析】【解答】因为， 所以，由>0,得x>2,故函数的单调递增区间是， 选D。【分析】简单题，在某区间，导函数值非负，则函数为增函数；导函数值非正，则函数为减函数。
6.【答案】C
【解析】【解答】函数 的导数为f′(x)=?x2+4，由f′(x)=0,可得x=2(?2舍去)，由 可得f(x)在[0,3]上的最大值为 .故答案为：C.【分析】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，一般方法是先求出函数在区间端点处的函数值，用导数求出极值，然后进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值．
7.【答案】B
【解析】【分析】因为函数， 所以函数， 由， 所以函数的递减区间是。选B.
8.【答案】C
【解析】【解答】因为，（x－1)>0，所以在区间（1，+)，>0，函数f（x)是增函数；在区间（－， 1)，<0，函数f（x)是减函数，又， 所以，x=1是极小值点，f（0)>f（1)，f（2)>f（1)，因此f（0)＋f（2)>2f（1)，故选C。【分析】小综合题，在某区间，导函数值非负，则函数为增函数；导函数值非正，则函数为减函数。
9.【答案】B
【解析】【解答】由函数 ，所以 ，由函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，所以 ，所以 （当且仅当 ，即 时等号成立）所以 的最小值为 ，故答案为：B.【分析】由函数 f ( x）在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线的斜率为2得2 a + b = 2 ，再由基本不等式可得所求最小值.
10.【答案】C
【解析】【解答】在由所构成的三角形的内部，可看作点与点的连线的斜率，结合图形可知,故选C。【分析】函数在极值点处的导数为零且在极值点两侧导数一正一负，线性规划问题取得最值的位置一般是可行域的顶点处或边界处，本题有一定的综合性
11.【答案】A
【解析】【解答】单调递增，当时，即， 所以；同理可得当时， 由在中令得， 综上可知恒大于0.【分析】解决本题的关键是构造出函数从而知道其单调性进而知道的符号.
12.【答案】D
【解析】【解答】不等式 即 ，，构造函数，令 ，则 ，据此可得函数 是 上的单调递减函数，又 ，结合函数的的单调性可得：不等式 的解集是 .???? 故答案为：D.【分析】根据题意整理转化原有的函数代数式再构造函数 g(x) ，对其求导然后对导函数进行正负判断进而得出 g(x) 的单调性，结合函数的的单调性可得不等式的解集。
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】 ?故答案为:【分析】由导数研究函数的单调区间.
14.【答案】2
【解析】【解答】∵函数 的图象在点P处的切线方程是 ，∴ ， ∴ .故答案为：2．【分析】利用导数的几何意义求出P的坐标即可得到答案。
15.【答案】17
【解析】【解答】解析：先求导数，得y′=4x3﹣4x，令y′=0即4x3﹣4x=0解得x1=﹣1，x2=0，x3=1．函数y，y′的变化情况如下表：
x
﹣2
（﹣2，﹣1）
﹣1
（﹣1，0）
0
（0，1）
1
（1，2）
2
y′
﹣
0
+
0
﹣
0
+
y
13
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表知，当x=±2时，函数有最大值13，当x=±1时，函数有最小值4．∴最大值与最小值的和为17．故答案为：17．【分析】先求导数，得y′=4x3﹣4x，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，并列出表格即可得出最大值与最小值．
16.【答案】（﹣2， ）
【解析】【解答】解：由题意得，函数的定义域是R， 且f（﹣x）=（﹣x）3+3（﹣x）=﹣（x3+3x）=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，又f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，所以f（mx﹣2）+f（x）＜0可化为：f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x），由f（x）递增知：mx﹣2＜﹣x，即mx+x﹣2＜0，则对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，mx+x﹣2＜0恒成立，所以 ，解得﹣2＜x＜ ，即x的取值范围是（﹣2， ），故答案为：（﹣2， ）．【分析】先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x的不等式组，解出可得答案．
三、解答题
17.【答案】（1）解： ，斜率 ，切点 ．所以切线为 （2）解：
单调递增
单调递减
所以函数最小值为 ，最大值为
【解析】【分析】（1）对函数进行求导，求出斜率和切点，由点斜式写出直线方程。（2）由函数单调性求最值，列表求解。
18.【答案】（1）解：由 得 或 , .(经检验符合)（2）解： ,由 得 . 在 上单调递减， 上单调递增，又 的最大值为100，最小值为10
【解析】【分析】（1）计算f(x)的导函数，结合极值，建立等式，即可得到答案。（2）结合导函数，判断[0,4]的单调性，计算最值，即可得到答案。
19.【答案】（1）【解答】解：由题意： 即 解得（2）【解答】解：f'(x)=3x2-6x+9=3(x2-2x+3)=3(x-3)(x+1)当 x<-1 或 x>3 时， f'(x)>0 ， 所以f(x) 的单调递增区间为与当 -1【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是根据导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间,属基础题
20.【答案】（1）解：将 代入中 得t=1，∴ .∴ ，∴ ，∴曲线在点 处切线的斜率为 ，∴曲线在点 处的切线方程为 即x-y-3=0（2）解：点 不在曲线 上，设过点 的曲线 的切线与曲线 相切于点 ，则切线斜率 ，由于 ，∴ ，∴切点为 ，切线斜率 ，切线方程为 ，即y=4x
【解析】【分析】(1)由已知条件结合导数的性质求出点P处的切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程即可。(2)设出切点的坐标M计算出切线的斜率结合点M在曲线上即可得到x0的值，进而可得到点M的坐标然后求出切线的斜率由直线的点斜式求出直线的方程即可。
21.【答案】解：（I） ，????? 当 时， 恒成立，则 在 上单调递增；当 时，令 ，则 ．则 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．（II） ， 等价于 .令 ，则 ．令 ，则 ．因为当 ， 恒成立，所以 在 上单调递减．又 ，可得 和 在 上的情况如下：
+
0
-
单调递增
单调递减
所以 在 上的最大值为 ．因此 ， 等价于 ．故 ， 时，实数 的取值范围是 ．
【解析】【分析】(1)根据题意求出导函数利用导函数的性质即可得到原函数的单调性。(2)根据题意 ? x ∈ ( 0 , + ∞ ) ， f ( x ) ≤ 2 a ? 2 等价,构造函数 g ( x )，对其求导利用导函数的性质能求出? x ∈ ( 0 , + ∞ ) ， f ( x ) ≤ 2 a ? 2 时，即可求出a的取值范围。
22.【答案】（1）解：∵f′（x）=ex﹣2x﹣a，∴f′（0）=1﹣a=1，∴a=0， ∴f′（x）=ex﹣2x，记h（x）=ex﹣2x，∴h′（x）=ex﹣2，令h′（x）=0得x=ln2．当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单减；当ln2＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增，∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2＞0，故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=e﹣1．（2）解：∵g（x）=ex﹣ （x+a）2 ， ∴g′（x）=ex﹣x﹣a． 令m（x）=ex﹣x﹣a，∴m′（x）=ex﹣1，当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）min=m（0）=1﹣a．（i）当1﹣a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，∴g（x）min=g（0）=1﹣ ≥0，解得﹣ ≤a≤ ，所以﹣ ≤a≤1．（ii）当1﹣a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1﹣a＜0，当1＜a＜e2﹣2时，m（ln（a+2））=2﹣ln（2+a）＞0，∴?x0∈（0，ln（a+2）），使m（x0）=0，即e =x0+a．当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减；当x∈（x0 ， ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增．∴g（x）min=g（x0）=e ﹣ （x0+a）2=e ﹣ e =e （1﹣ e ）≥0，∴e ≤2可得0＜x0≤ln2，由e =x0+a，∴a=e ﹣x0 ． 记t（x）=ex﹣x，x∈（0，ln2]，∴t′（x）=ex﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，综上，a∈[﹣ ，2﹣ln2]．（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于ex﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1， 即ex﹣ex≥xlnx﹣x+1．∵x＞0，∴等价于 ﹣lnx﹣ ﹣e+1≥0．令h（x）= ﹣lnx﹣ ﹣e+1，则h′（x）= ．∵x＞0，∴ex﹣1＞0．当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．
【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a，设h（x）=ex﹣2x，求出导数和单调区间，以及最小值，可得f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值；（2）求得g（x）的导数，令m（x）=ex﹣x﹣a，求出单调区间和最值，讨论（i）当1﹣a≥0即a≤1时，（ii）当1﹣a＜0即a＞1时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到a的范围；（3）f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于ex﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，即ex﹣ex≥xlnx﹣x+1．等价于 ﹣lnx﹣ ﹣e+1≥0．令h（x）= ﹣lnx﹣ ﹣e+1，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到证明．