高中数学选修1-1《导数及其应用》单元测试题(提高卷）

高中数学选修1-1《导数》单元测试题(提高卷）
一、单选题（共10题；共50分）
1.设f(x)=sinx+cosx，那么（）
A.???????????????????????????????????????????B.?C.???????????????????????????????????????D.?
2.设函数 ，下列结论中正确的是(??? )
A.? 是函数 的极小值点， 是极大值点?????????
?B.? 及 均是 的极大值点C.? 是函数 的极小值点，函数 无极大值????????
??D.?函数 无极值
3.已知在(－∞，－1)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.?a<3????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?>3????????????????????????????????????D.?
4.已知函数 在区间 上是单调递增函数，则 的取值范围为（?? ）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.?????????????????????D.?
5.若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则a= ?? (?? )
A.?或???????????????????B.?-1或???????????????????????????C.?或???????????????????????????D.?或7
6.函数f(x）在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x)且（x-1）f'(x)<0，若a=f(0),b=f(),c=f(3)则a,b,c的大小关系是(????)
A.?a>b>c???????????????????????????????B.?c>b>a???????????????????????????????C.?b>a>c???????????????????????????????D.?a>c>b
7.已知方程 有4个不同的实数根，则实数 的取值范围是（? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
8.（2018?浙江）已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ??）
A.?????????????? ??B.???????????????
?C.???????????????? D.?
9.函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ??）
A.??????????????B.??????????????C.?f（﹣2）＞e3f（1）?????????????D.?f（﹣2）＜e3f（1）
10.已知e是自然对数底数，若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为(?? )
A.?a<-1??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?a>-1??????????????????????????????????D.?
二、填空题（共6题；共30分）
11.已知函数 ,则函数的单调减区间为________.
12.设函数y=f（x）的导函数为f′（x），若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为x﹣y+2=0，则f（1）+f′（1）=________?
13.若曲线 上存在垂直于直线 的切线，则 的取值范围为________．
14.（2016?全国）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是________．
15.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为________?
16.已知函数f(x)＝－f′(0)ex＋2x，点P为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线l上的一点，点Q在曲线y＝ex上，则|PQ|的最小值为________．
三、解答题（共6题；共70分）
17.已知：已知函数f（x）=﹣ x3+ x2+2ax，
（1）若a=1，求f（x）的极值；
（2）当0＜a＜2 时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣ ，求f（x）在该区间上的最大值．
18.已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（ I）求实数a，b的值；（ II）若函数f（x）在区间（m，m+1）上不单调，求m的取值范围．
19.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，－11）。
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
20.已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=lnx+ ， 若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，e]，使得g（x2）≤f（x1）+ ， 求实数a的取值范围．
21.已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时， ；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．
22.（2012?广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【解析】【解答】由导数公式可知，， ， 所以.选A.
2.【答案】C
【解析】【解答】 ; 令 ； 时， 时， 时， 故 是函数 的极小值点，函数 无极大值。故答案为：C【分析】用导数研究函数的极值.
3.【答案】B
【解析】【解答】先求函数f（x)的导数，然后根据f'（x)=3x2-a≥0在R上恒成立即可得到答案．∵f（x)=x3-ax∴f'（x)=3x2-a，∵f（x)在R上单调递增∴f'（x)=3x2-a≥0在R上恒成立 即a≤3x2在(－∞，－1)上恒成立，a小于等于3x2的最小值即可∴a3，故选B【分析】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
4.【答案】A
【解析】【解答】解： ?因为 ?在区间 上是单调递增函数所以 ，而在区间 上 ?所以 ?，即 ?令 ?，则 分子分母同时除以 ?，得 令 ?，则 在区间 上为增函数所以 所以 ?在区间 上恒成立即 在区间 上恒成立所以函数 在区间 上为单调递减函数所以 故答案为：A【分析】函数在某区间单调递增，则导数大于等于0恒成立，转化为不等式恒成立问题，分离常数，构造新的函数求最值即可求出参数的取值范围.
5.【答案】A
【解析】【解答】由求导得设曲线上的任意一点处的切线方程为， 将点代入方程得或.（1）当时：切线为， 所以仅有一解，得（2）当时：切线为,由得仅有一解，得.综上知或.选A.
6.【答案】C
【解析】【解答】由f（x)=f（2-x)可知，f（x)的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（-∞，1)时，f'（x)＞0，此时f（x)为增函数，x∈（1，+∞)时，f'（x)＜0，f（x)为减函数，所以f（3)=f（-1)＜f（0)＜f（)，即c＜a＜b，故选C．【分析】小综合题，在某区间，函数的导数非负，函数为增函数，函数的导数非正，函数为减函数。比较函数值的大小，往往利用函数的单调性。
7.【答案】A
【解析】【解答】解：由于 是偶函数，所以方程 有两个根，即 有两个根．设 ，则 ，∴ 时， ， 递增， 时， ， 递减， 时， 取得极大值也是最大值 ，又 时， ， 时， ，所以要使 有两个根，则 ．故答案为：A．【分析】构造函数y，结合f(-x)=f(x)，判断奇偶性，构造函数f(x),结合导函数，判断单调性和函数图像与极值，结合图像，即可得出答案。
8.【答案】B
【解析】【解答】a1,a2,a3,a4 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q当q>0时 ， a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3) ，不成立；即a1>a3 ， a20，等式不成立，所以q≠-1；当q<-1时 ， a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3) >0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，当q∈（-1,0）时，a1>a3>0，a29.【答案】A
【解析】【解答】解：设 ，则 ，∵ ，∴ ，即 是减函数，∴ ，即 ，∴ /．故答案为：A.【分析】构造函数 g ( x ) = ,结合已知可以判断 g ( x ) 的单调性，选择支转化为 g ( x ) 的两个函数值比较大小。
10.【答案】C
【解析】【解答】∵函数的定义域为， ∴， 当即时，令， 则， 令得x=0，令得x<0，令得x>0，可知在单调递减，在单调递增，故当x=0时，g(x)有最大值， 所以， 根据补集思想可知，当时，实数的取值范围为， 故选C【分析】利用导数法求函数值域是求解此类问题的关键
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】求导 ，令 得到 ∴函数的单调减区间为 故答案为： 【分析】求导数f ' ( x )，令f ' ( x ) < 0解不等式即可求出单调递减区间.
12.【答案】4
【解析】【解答】由于y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为x﹣y+2=0，则f（1）=1+2=3，f′（1）=1，故f（1）+f′（1）=4．故答案为：4．【分析】由于y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为x﹣y+2=0，由P在切线上和x=1处的导数即为切线的斜率，即可得到答案．
13.【答案】
【解析】【解答】 有解，所以 有解，得 ，得 的取值范围为 。【分析】求出函数的导数，通过建立关于a的不等关系，解得a即可.我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
14.【答案】y=2x
【解析】【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x，则f′（x）=ex﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．；本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．
15.【答案】（0，+∞）
【解析】【解答】设g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
16.【答案】
【解析】【解答】由f′(x)＝－f′(0)ex＋2，令x＝0可得f′(0)＝－f′(0)e0＋2，即f′(0)＝1，所以f(x)＝－ex＋2x，所以切线的斜率k＝f′(0)＝1，又f(0)＝－1，故切线方程为y＋1＝x－0，即x－y－1＝0.由题意可知与直线x－y－1＝0平行且与曲线y＝ex相切的切点到直线x－y－1＝0的距离即为所求．设切点为Q(t，et)，则k1＝et＝1，故t＝0，即Q(0,1)，该点到直线x－y－1＝0的距离为d＝ ＝ ，故答案为： .【分析】由导数在x=0时的函数值即切线的斜率,求出切线方程,再求与直线x－y－1＝0平行且与曲线y＝ex相切直线x－y－1＝0,则两条直线的距离即为所求.
三、解答题
17.【答案】（1）解：当a=1时， ，f'（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2） 列表得：
x
（﹣∞，﹣1）
﹣1
（﹣1，2）
2
（2，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
单调减
单调增
单调减
所以，f（x）的极大值为 ，f（x）的极小值为 （2）解：令f'（x）=0，得 ， ； f（x）在（﹣∞，x1），（x2 ， +∞）上单调递减，在（x1 ， x2）上单调递增，当0＜a＜2 时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），f（4）＜f（1），所以f（x）在[1，4]上的最小值为 ，解得：a=1，x2=2．故f（x）在[1，4]上的最大值为
【解析】【分析】（1）当a=1时， ，求导后分析函数的单调性，进而可得f（x）的极值；（2）当0＜a＜2 时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）=﹣ ，求出a值后，可得f（x）在该区间上的最大值．
18.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b①又f′（x）=3ax2+2bx，则f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0②由①②解得a=1，b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x3+3x2 ， f′（x）=3x2+6x令f′（x）=3x2+6x=0，得：x=﹣2或x=0当x∈（﹣∞，﹣2）或（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．∵函数f（x）在区间（m，m+1）上不单调，∴m＜﹣2＜m+1或m＜0＜m+1或m＜﹣2＜0＜m+1解得：﹣3＜m＜﹣2或﹣1＜m＜0
【解析】【分析】第一问根据函数图象过点M,得到a,b关系，再根据在x=﹣2取得极值，函数求导，导数等于0，可得a,b;第二问先应用导数与函数单调性的关系，求出函数的单调性，然后根据函数f(x)在区间（m，m+1）不单调，可得函数在（m，m+1）有增有减，可得。
19.【答案】（1）【解答】解：由题意： 即 解得（2）【解答】解：f'(x)=3x2-6x+9=3(x2-2x+3)=3(x-3)(x+1)当 x<-1 或 x>3 时， f'(x)>0 ， 所以f(x) 的单调递增区间为与当 -1【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解决问题的关键是根据导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间,属基础题
20.【答案】解：（1）由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（2）由（1）知f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[﹣2，2]．从而f（x1）+≥．依题意有g（x）最小值≤函数g（x）=lnx+的定义域为（0，+∞），g′（x）=①当a≤1时，g′（x）＞0函数g（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为g（1）=a≤1＜合题意；②当1＜a＜e时，函数g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有g′（x）＞0，单调递增，所以函数g（x）最小值为f（a）=lna+1，由lna+1≤，得0＜a≤．从而知1＜a≤符合题意．③当a≥e时，显然函数g（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为g（e）=1+≥2＞，不合题意综上所述，a的取值范围为a≤
【解析】【分析】（1）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数为0，再把x=2代入函数，联立两式求出m，n的值即可．已知函数 f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．??????????? （2）由（1）知f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[﹣2，2]．从而f（x1）+≥ ． 依题意有g（x）最小值≤。
21.【答案】解：（Ⅰ） ，f'（1）=1，又f（1）=0，所以切线方程为y=x﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x＞0，令 = ． 令 ，解得x=1．易知当x＞1时，g'（x）＞0，易知当0＜x＜1时，g'（x）＜0．即g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，所以g（x）min=g（1）=0，g（x）≥g（1）=0即 ，即x＞0时， ；（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立．，a≤1时，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，满足题意．a＞1时，随x变化，h'（x），h（x）的变化情况如下表：
x
（1，a）
a
（a，+∞）
h'（x）
﹣
0
+
h（x）
↘
极小值
↗
h（x）在（1，a）上单调递减，所以g（a）＜g（1）=0即当a＞1时，总存在g（a）＜0，不合题意．综上所述，实数a的最大值为1
【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数 ，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简 = ．求出 ，令 ，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h（x）=x﹣1﹣a1nx（x≥1），依题意，对于任意x＞1，h（x）＞0恒成立． ，a≤1时，a＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．
22.【答案】（1）解：记h（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a（a＜1）△=9（1+a）2﹣48a=（3a﹣1）（3a﹣9），当△＜0，即 ，D=（0，+∞），当 ， 当a≤0， （2）解：由f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，①当 ，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点；②当 ，∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0，h（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=3a﹣a2＞0，∴1?D，a∈D，∴f（x）在D内有一个极大值点a．③当a≤0，则a?D，又∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1＜0．∴f（x）在D内有无极值点
【解析】【分析】（1）根据方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0的判别式讨论a的范围，求出相应D即可；（2）由f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可。